电磁场理论：习题11

1、习题11前部 习题11 111 仿照入射波为垂直极化时的讨论过程，讨论在入射波为平行极化时，在理想电解质与理想导体交界面处的反射情况。解： 所谓平行极化，即入射电场处于入射面之内，而磁场是线极化的，且与入射面垂直，假如入射波和反射波的方向如图所示。 （有一图） 入射方向为：；反射方向为：可将入射和反射的磁场分别表示为： ; 根据电场与磁场彼此垂直及它们数量上的关系，应有，所以：； 根据边界条件，在时，电场切线分量相等，所以： ， 根据， 设有两种电介质，它们的分介面为平面，区域（I域）中，电解质和介质常数为，折射指数为；域（II域），电介质的介质常数为，折射指数为。两种电介质的，且，（有一图）

2、 设入射波为方向极化之均匀平面波，入射角如图所示，反射波和折射波与分界法线所成夹角分别为和，由此， ； ；媒质I和II的传播常数分别为： , 于是入射波的磁场可表示为： 由 可得 反射波表示为： ； 折射波为： 其中：，为媒质I，II的波阻抗。以上 和为未知数量，由平面上的边界条件可得： 由此代入以上相应各式，则故 若要求对任意值上式均成立，必有：故 和 由此可得： 由电场的切向分量连续的边界条件，可得： ， 11-2 已知空气中有一均匀平面波： 若该平面波在处碰到与轴垂直的理想导体平板，求反射波的和。对于，总电场和总磁场值等于什么？求出平面上感应电流的大小和方向。 解：（有一图） 由于理想导

3、体内场量为零，故由处的边界条件可得： ，其中 且的方向传播。 对于均匀平面波，磁场可直接由 求得，其中为传播方向。，区域中的总磁场和总电场为： 面上的感应电流为： ； ； ， 11-3 已知空气中的均匀平面波电场为： a) 求它的磁场； b) 若在处有一垂直轴的无限大 板，求反射场的磁场和电场；c) 板内的透射场，板内波长，相速以及趋肤深度。 解：可见 (弧/秒); (弧/米)（1） 求入射磁场即用多种方法，即：采用麦克斯韦方程组求解，或根据均匀平面波电磁场与传播方向的关系及电磁场幅度间相差一个波阻抗来求得。 即： (这是一个在自由空间中方向传播的UPW)所以若采用麦氏方程组，则应先将电场写成

4、复数形式：代入 中得：所以磁场的瞬时式为：(2) 板中：传播常数：因为铅属于良导体，故有，其中, 将代入可得，铅版中的传播常数为： （弧、米）即 将入射波写成复数形式： ； 设反射波和投射波为：其中； 将入射波、反射波、透射波代入处的边界条件中，可得 可解得： ； 其中 ； ； 于是 ； 所以，反射波和透射波为： ； 所以， ； ； ; (3) 波内波长为： （米）相速： 趋肤深度 11-4 自由空间中的均匀平面波正射到处的一个无限大理想电介质平板上，已知电介质的，且入射波电场为： 式中为一常数。求：（1） 这个波在空气中的波长、频率以及它在电介质中的波长和频率；（2） 复数形式的入射磁场；（

5、3） 求出处的反射系数；（4） 求反射场和透射场；（5） 在两个区域中，求总电场的时域表达式；（6） 求两个区域内平均功率的表达式。解：（1） 由可知 所以这个波在空气中的波长为 频率为 （弧/秒） 故 介质中的波长和频率为；（弧/米）介质中的频率等于自由空间的频率 （2） 复数形式的入射磁场： 这是一个沿方向传播的均匀平面波，且入射场在真空中传播。故 （3）处的反射系数和透射系数由反射系数和透射系数公式可得 ；（3） 反射场和透射场为 ， 其中 所以反射场为；。透射场为（4） 总场为 部分：部分： 且时域表达式为 （5） 平均功率为 区域中： ； 故 ;故 区域中：； 所以 故 11-5 频

6、率的方向极化均匀平面波，在空气中正入射到一无损耗电介质平板，在它的背后放上一层理想导体板。电介质的，且 厚为1米。a) 空气与电介质分界面上的反射系数是多少b) 在电介质外和电介质内，画出随 变化的曲线；c) 如果电介质厚度为2米，重做（1）和（2）。解：；设 ， 入射波： ； 反射波：，透射波：； 反透射波： 根据边界条件： 在处， 故 ； 在处 故 故 a), 在空气一介质分界面反射系数当介质厚度为2m时，空气一介质分界面反射系数，依据前面的步骤计算可得 b)，和随的变化曲线如图所示：（有一图） 116为降低反射闪光，人们在玻璃上贴上一层电介质薄膜，假设玻璃板无限厚，且，为消除自由空间波长

7、的光波正入射到玻璃上时的反射，求电介质薄膜的和厚度。 解 以题意，可设三个区域中的场为：区域，由方向传播的波及负方向传播的波组成，设 ： +表明向方向传播，1表明在介质中传播。 同理区域中的波为 区域中的波为 在处，由电场磁场的切向边界条件可得：习题11后部 处：可解得：可见，若使的光波的反射消除，即，应有： 将 代入中得： 故 由 得： （结论：中间介质的阻抗为厚度为） 11-7在电介质媒质中的均匀平面波入射到空气边界处，入射方向与轴成角，如图所示，已知时，复数形式的入射波为 式中为实数，求：（有一图）a) 入射波的磁场；b) 计算入射角，反射角和折射角；c) 每个区域中，波在传播方向波长和

8、频率；d) 空气域中的透射场和，以及空气域中在方向传输的平均功率。 解：， 实数，这是一个垂直极化波的斜入射问题。（1） 由麦克斯韦方程知： ， 故 写成瞬时式为：（2） 入射角、反射角可通过传播方向求得：由 知：故 ，故 入射波传播方向为：所以，入射角为： 又因为入射角等于反射角，所以，透射角：由（1182）式可知， 即：，将及代入可得： ，所以，这正是全反射的临界情况。（3） 区域中的波长和频率为 , 在区域中，此时波是沿着与边界平行的方向传播的，即：，且折射场正比于： 可见，这是一个沿着方向传播的波，且相速为： 波长： ， 频率： （4） 空气域中的透射场为： 故 ， ； 故 ， 故 1

9、18 导出§112的（11101）式和（11102）此题的推导完全等同于111题，且结论也完全相同。 119 证明§112的（11133）式和）（11134）式。 证：（有一图）利用与111相类似的方法，我们不难求出垂直极化和水平极化的反射系数。1 垂直极化时设入射波为方向线性极化之均匀平面波，入射角为，反射波和折射波与分界法线所夹角分别为，由此，。媒质和的传播常数分别为： 故 入射波的电场可表示为： ， 反射波可表示为：, 折射线为： 以上为未知的量，由平面上的边界条件可得： ； （为表面的切向分量）把相应的表达式代入此式，则 若要求对任意值上式均成立，必有 ，故 ，以及

10、 另外，由磁场切向分量连续的边界条件，还可得到 故 因 故 2 对水平极化设入射波磁场为方向，入射角为，反射波和折射波与分界法线所成夹角，由此, , 媒质和的传播常数分别为： 于是，入射波的磁场可表示为： , 反射波可表示为： ，折射波为：，以上，为未知量，由平面上的边界条件可得： （为表面界面上的切向分量）由此代入相应各式，则可得：=故若要求对所有分量等式都成立，则必须 故 ， 由此可得： 由电场的切向分量连续性可知： = 11-10 证明右旋圆极化波垂直入射到有耗损媒质的平面边界上时，其反射波是左旋圆极化的（相对于反射波传播方向）。 证：（有一图） 根据以前的经验，可设： ；则反射波方程为

11、：；。则透射波为：； 根据电、磁场切向分量在的边界面上连续，可列出如下方程组：对分量 ；对分量：故 ，代入方程则方程成立。故，前面对入射、反射、透射波的假定是正确的；故，从和的表达式，即可确定为左旋圆极化波；而为右旋圆极化波。 1111 频率的均匀平面波由媒质斜入射到自由空间的交界面时，试求：a) 临界角；b) 垂直极化平面波以入射时，求折射波的传播方向和它的相速；c) 圆极化平面波以入射时，反射波的极化状态怎样？ 解：（有一图）（1） 系统示意图如图1111所示，由折射定律知，透射角与入射角的关系为： 因为 所以， 当入射角等于临界角时，时有,所以， 故，限界角为； （2）时，即，折射波应正

12、比于：因为， 所以，（弧/米）， 所以， 可见，波的传播方向为方向，相速为：（2） 如果入射波是极化平面波，且，则有，根据圆极化平面波的概念， 有：，其中为与入射面垂直的单位矢量，为与入射面平行的单位矢量，不妨取 当上面的波入射到界面时，因为，所以垂直极化分量波全反射。由于 , 而： ，故，故，故 而平行极化分量，由于此时，布鲁特角而故不会发生全折射，反射系数为： 将代入可得于是比较和有：其间相位差：由于，故不再是圆极化，而是椭圆极化了。 1112 一线极化平面波从自由空间投射到的电介质分界面，若入射波的电场与入射面的夹角为，试问：（1） 当反射波只有垂直极化状态时，入射角；（2） 这时反射波

13、的平均功率流是入射波的百分之几。 解：依题意有：，且入射波的电场与入射面的夹角为，可见，此时，电场既有平行极化分量，也有垂直极化分量。（1） 当反射波中只有垂直极化状态时，意味着入射波中的平行极化分量处于全折射状态，于是入射角等于布鲁特角 所以，入射角为（2） 由题设可知入射波电场可写为：则由（1）的分析知，反射波中，具有垂直分量，即 , ,故 ， 所以，反射波的平均功率流为：故反射波的平均功率流是入射波的18。 1113 一线极化均匀平面波：止入射到一块厚的介质板上，板的媒质参数为。介质板两边为自由空间，求透射波的电场和磁场。 （有一张表） 解：意味在区域即为一导电介质板 故，故 ， 根据（11161）式故可推出：故 故 11-14 具有一定厚度的无