数值分析华理试题(共8页)

1、精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业数值计算方法试题一数值计算方法试题一填空题（每空 1 分，共 17 分）1、 如果用二分法求方程043 xx在区间2 , 1 内的根精确到三位小数， 需对分 （）次。2、迭代格式)2(21kkkxxx局部收敛的充分条件是取值在（） 。3、已知31) 1() 1() 1(2110)(233xcxbxaxxxxS是三次样条函数，则a=()，b=（） ，c=（） 。4、)(,),(),(10 xlxlxln是以整数点nxxx,10为节点的 Lagrange 插值基函数，则nkkxl0)()，nkkjkxlx0)()，当2n时)()3(204xlxxkknkk

2、()。5、设1326)(247xxxxf和节点, 2 , 1 , 0, 2/kkxk则,10nxxxf和07f。6、5 个节点的牛顿-柯特斯求积公式的代数精度为，5 个节点的求积公式最高代数精度为。7、0)(kkx是区间 1 , 0上权函数xx )(的最高项系数为 1 的正交多项式族，其中1)(0 x，则104)(dxxx。8、给定方程组221121bxaxbaxx，a为实数，当a满足，且20时，SOR迭代法收敛。9、解初值问题00( , )()yf x yy xy的改进欧拉法),(),(2),(011101nnnnnnnnnnyxfyxfhyyyxhfyy是阶方法。10、设11001aaaa

3、A，当a（）时，必有分解式TLLA ，其中L为下三角阵，当其对角线元素)3 , 2 , 1( ilii满足（）条件时，这种分解是唯一的。精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业二、选择题（每题 2 分）1、解方程组bAx 的简单迭代格式gBxxkk)()1(收敛的充要条件是（） 。（1）1)(A,(2)1)(B,(3)1)(A,(4)1)(B2、在牛顿-柯特斯求积公式：baniinixfCabdxxf0)()()()(中，当系数)(niC是负值时，公式的稳定性不能保证，所以实际应用中，当（）时的牛顿-柯特斯求积公式不使用。（1）8n，（2）7n，（3）10n，（4）6n，3、有下列数表x00

4、.511.522.5f(x)-2-1.75-10.2524.25所确定的插值多项式的次数是（） 。（1）二次；（2）三次；（3）四次；（4）五次4 、 若 用 二 阶 中 点 公 式),(4,2(1nnnnnnyxfhyhxhfyy求 解 初 值 问 题1)0(,2yyy，试问为保证该公式绝对稳定，步长h的取值范围为（） 。(1)20 h,(2)20 h,(3)20 h,(4)20 h三、1、 （8 分）用最小二乘法求形如2bxay的经验公式拟合以下数据：ix19253038iy19.032.349.073.32、 （15 分）用8n的复化梯形公式（或复化 Simpson 公式）计算dxex1

5、0时，(1)试用余项估计其误差。（2）用8n的复化梯形公式（或复化 Simpson 公式）计算出该积分的近似值。精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业四、 1、 （15 分） 方程013 xx在5 . 1x附近有根， 把方程写成三种不同的等价形式（1）31xx对应迭代格式311nnxx； (2)xx11对应迭代格式nnxx111；（3）13 xx对应迭代格式131nnxx。 判断迭代格式在5 . 10 x的收敛性， 选一种收敛格式计算5 . 1x附近的根，精确到小数点后第三位。选一种迭代格式建立 Steffensen 迭代法，并进行计算与前一种结果比较，说明是否有加速效果。2、 （8 分）

6、已知方程组fAX ，其中4114334A，243024f（1）列出 Jacobi 迭代法和 Gauss-Seidel 迭代法的分量形式。（2）求出 Jacobi 迭代矩阵的谱半径，写出 SOR 迭代法。五、1、 （15 分）取步长1 . 0h，求解初值问题1)0(1yydxdy用改进的欧拉法求) 1 . 0(y的值；用经典的四阶龙格库塔法求) 1 . 0(y的值。2、 （8 分）求一次数不高于 4 次的多项式)(xp使它满足)()(00 xfxp,)()(11xfxp,)()(00 xfxp,)()(11xfxp,)()(22xfxp六、 （下列 2 题任选一题，4 分）1、 数值积分公式形如

7、10) 1 ()0() 1 ()0()()(fDfCBfAfxSdxxxf（1）试确定参数DCBA,使公式代数精度尽量高； （2）设 1 , 0)(4Cxf，推导余项公式10)()()(xSdxxxfxR，并估计误差。2、 用二步法),()1 (),(111101nnnnnnnyxfyxfhyyy求解常微分方程的初值问题00)(),(yxyyxfy时，如何选择参数,10使方法阶数尽可能高，并求局部截断误差主项，此时该方法是几阶的。精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业数值计算方法试题二数值计算方法试题二一、判断题： （共 16 分，每小题分）、若A是nn阶非奇异阵，则必存在单位下三角阵L和

8、上三角阵U，使LUA 唯一成立。（）、当8n时，Newtoncotes 型求积公式会产生数值不稳定性。 （）3、形如)()(1iniibaxfAdxxf的高斯（Gauss）型求积公式具有最高代数精确度的次数为12 n。 （）、矩阵210111012A的范数2A。 （）5、设aaaaA000002，则对任意实数0a，方程组bAx 都是病态的。 （用）（）6、 设nnRA，nnRQ， 且有IQQT（单位阵） ， 则有22QAA。（）7、区间ba,上关于权函数)(xW的直交多项式是存在的，且唯一。 （）8、对矩阵 A 作如下的 Doolittle 分解：60010322110120015427743

9、22baA，则ba,的值分别为a2，b2。 （）二、填空题： （共 20 分，每小题 2 分）1、设102139)(248xxxxf，则均差2 ,2 ,2810f_，3 ,3 ,3910f_。2、设函数)(xf于区间ba,上有足够阶连续导数，bap,为)(xf的一个m重零点，Newton 迭代公式)()(1kkkkxfxfmxx的收敛阶至少是 _阶。、区间ba,上的三次样条插值函数)(xS在ba,上具有直到_阶的连续导数。精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业4、向量TX)2, 1 ( ,矩阵1327A，则1AX_，)(Acond_。5、为使两点的数值求积公式：1110)()()(xfxf

10、dxxf具有最高的代数精确度，则其求积基点应为1x_，2x_。6、设nnRA，AAT，则)(A（谱半径）_2A。 （此处填小于、大于、等于）7、设2141021A，则kkAlim_。三、简答题： （9 分）1、 方程xx24在区间2 , 1内有唯一根*x，若用迭代公式：2ln/ )4ln(1kkxx), 2 , 1 , 0(k，则其产生的序列 kx是否收敛于*x？说明理由。2、 使用高斯消去法解线性代数方程组，一般为什么要用选主元的技术？3、 设001. 0 x，试选择较好的算法计算函数值2cos1)(xxxf。四、 （10 分）已知数值积分公式为：)()0()()0(2)(20hffhhff

11、hdxxfh，试确定积分公式中的参数，使其代数精确度尽量高，并指出其代数精确度的次数。五、 （8 分）已知求)0(aa的迭代公式为：2 , 1 , 00)(2101kxxaxxkkk证明：对一切axkk, 2 , 1，且序列 kx是单调递减的，从而迭代过程收敛。精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业六、 （9 分）数值求积公式30)2() 1 (23)(ffdxxf是否为插值型求积公式？为什么？其代数精度是多少？七、 （9 分）设线性代数方程组bAX 中系数矩阵A非奇异，X为精确解，0b，若向量X是bAX 的 一 个 近 似 解 ， 残 向 量XAbr， 证 明 估 计 式 ：brAcon

12、dXXX)(（假定所用矩阵范数与向量范数相容） 。八、(10 分)设函数)(xf在区间3 , 0上具有四阶连续导数，试求满足下列插值条件的一个次数不超过 3 的插值多项式)(xH，并导出其余项。i012ix012)(ixf-113)(ixf3九 、 (9 分 ) 设)(xn是 区 间,ba上 关 于 权 函 数)(xw的 直 交 多 项 式 序 列 ，) 1, 2 , 1(nnixi为)(1xn的零点，) 1, 2 , 1)(nnixli是 以 ix为 基 点 的 拉 格 朗 日 (Lagrange) 插 值 基 函 数 ，11)()()(nkkkbaxfAdxxwxf为高斯型求积公式，证明：

13、（1）当jknjk,0时，0)()(11ijikniixxA（2）bajkjkdxxwxlxl)(0)()()(（3）112)()()(nkbabakdxxwdxxwxl精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业数值计算方法试题三数值计算方法试题三一、 （24 分）填空题(1)(2 分)改变函数f xxx( ) 1(x 1)的形式，使计算结果较精确。(2)(2 分)若用二分法求方程 0 xf在区间1,2内的根，要求精确到第 3 位小数，则需要对分次。(3)(2 分)设 212221xxxxxf，则 xf (4)(3 分)设 21,10,2233xcbxaxxxxxS是 3 次样条函数，则a=,

14、 b=, c=。(5)(3 分)若用复化梯形公式计算10dxex，要求误差不超过610，利用余项公式估计，至少用个求积节点。(6)(6 分)写出求解方程组24 . 016 . 12121xxxx的 Gauss-Seidel 迭代公式，迭代矩阵为，此迭代法是否收敛。(7)(4 分)设A 5443,则A， CondA。(8)(2 分)若用 Euler 法求解初值问题 10,10yyy，为保证算法的绝对稳定，则步长 h 的取值范围为二. (64 分)(1)(6 分)写出求方程 1cos4xx在区间0,1的根的收敛的迭代公式，并证明其收敛性。精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业(2)(12 分)以 100,121,144 为插值节点，用插值法计算115的近似值，并利用余项估计误差。(3)(10 分)求 xexf在区间0,1上的 1 次最佳平方逼近多项式。(4)(10 分)用复化 Simpson 公式计算积分 10sindxxxI的近似值，要求误差限为5105 . 0。(5)(10 分)用 Gauss 列主元消去法解方程组：276234532424321321321xxxxxxxxx(6)(8 分)求方程组1251121312