第二、三章习题(1)

1、第二章习题第二章习题解：解：（1）以球心为原点，取z轴沿外电场 的方向，建立球坐标系。 0E在导体球外空间，电势满足拉普拉斯方程： . 20由于本问题具有轴对称性，故通解形式为 (1)0()(cos )nnnnnnA RB RP通解中的系数由下列边界条件确定： 时， ，（其中 为未置入导体球前坐标原点的电势）. R 00cosE R0由此得 0010,0 (0,1)nAAEAn 2. 在均匀外电场中置入半径为在均匀外电场中置入半径为 的导体球，试用分离变量法求下列两种的导体球，试用分离变量法求下列两种情况的电势：情况的电势：（1）导体球上接有电池，使球与地保持电势差）导体球上接有电池，使球与地

2、保持电势差 ；（2）导体球上带总电量）导体球上带总电量Q. 0R0 面上， ，由此得 0RR0 30000100(),0 (0,1)nBRBE RBn 所以 300000002()coscosRE RE RRR 300000003()RE RE RRRR （ ）0RR（2）导体球上带总电量 时，导体球仍为等势体，设其与地的电势差为 .由前一问的结果，球外电势为 Q0300000002()coscosRE RE RRR （ ）0RR再由导体球上带总电量为 Q的条件，应有关系： 00R RdSQR 由于 0220000000 0000003cossin4(),R RdSERd dRRR 故 000

3、0()4QR 所以 3000020coscos4QE RE RRR（ ）0RR解法一：应用分离变量法求解解法一：应用分离变量法求解 根据提示，可令 4fQuR其中为球面极化电荷产生的电势，满足下列拉普拉斯方程： 2102200,()0.()uRRuRR由于本问题是球对称的，上述拉普拉斯方程的通解形式为 12,.buaRducR3. 均匀介质球的中心置一点电荷均匀介质球的中心置一点电荷 ，球的电容率为，球的电容率为 ，球外为真空，使用，球外为真空，使用分离变量法求空间电势，把结果与使用高斯定理所得结果比较。分离变量法求空间电势，把结果与使用高斯定理所得结果比较。提示：空间各点的电势是点电荷提示：

4、空间各点的电势是点电荷 的电势的电势 与球面上的极化电荷所与球面上的极化电荷所产生的电势的叠加，后者满足拉普拉斯方程。产生的电势的叠加，后者满足拉普拉斯方程。 QfQfRQf4/由边界条件确定上述通解中的系数： 时， 应有限。因此 ，故 0R 1u0b 10,()4fQaRRR 时， 。因此 ，故 R 20u 0c 20.()4fQdRRRR 面上， 即 0RR12120,.RR0000000002220000,1,444.1.444ffffffQQQdaaRRRRQQQddRRR所以 010001;()44ffQQRRRR020001.()444fffQQQRRRRR解法二：利用高斯定理求解

5、解法二：利用高斯定理求解 由 ，可得 ，因此 fSD dSQ34fQDRR进而可通过积分求得电势： 2200;()4RfQE dRRRR 0012100000004441.()44RRfffRffQQQE dRE dRRRRQQRRRR 可见，两种方法所得结果相同 。10320300;()4.()4ffQDERRRRQDERRRR9. 接地的空心导体球的内外半径为接地的空心导体球的内外半径为R1和和R2 ，在球内离球心为，在球内离球心为a (a a)，试用电像法求，试用电像法求空间电势。空间电势。 解：解：取直角坐标系，以球心为原点，系统对称轴为轴。 由电像法，为使边界条件（导体表面电势为零）

6、得到满足，可用如图所示的三个像电荷来替代导体表面上的感应电荷。各电荷的电量和坐标如下： 导体表面上方的电势为 122222220222222214()(/ )1;(/ )()Qaxyzbb xyzabab xyzabxyzb导体表面下方的电势为 20原电荷 电量 坐标 (0,0, )bQ像电荷1 电量 坐标 像电荷2 电量 坐标 像电荷3 电量 坐标 /QaQ b 2(0,0,/ )ab/QaQ bQQ 2(0,0,/ )ab(0,0,)b12. 有一点电荷有一点电荷Q位于两个互相垂直的接地导体平面所围成的直角空间内，位于两个互相垂直的接地导体平面所围成的直角空间内，它到两个平面的距离为它到两

7、个平面的距离为a和和b，求空间电势。，求空间电势。 解：解：取直角坐标系。 设原电荷 位于点 ，由电像法，为使边界条件（导体表面电势为零）得到满足，可用三个像电荷来替代导体表面上的感应电荷，各像电荷的电量和坐标如下： Q( , ,0)a b原电荷 电量 坐标 像电荷1 电量 坐标 像电荷2 电量 坐标 QQ QQ QQ (, ,0)a b(,0)ab( ,0)ab12222220222222114()()()()11;()()()()(0,0)Qxaybzxaybzxaybzxaybzxy20(00)xy或空间电势分布为 第三章习题第三章习题1. 试用试用A表示一个沿表示一个沿z 方向的均匀恒

8、定磁场方向的均匀恒定磁场 B0，写出写出A的两种不同表示的两种不同表示式，证明两者之差是无旋场式，证明两者之差是无旋场00,xyzBBBB解：沿 Z 轴方向的均匀磁场由定义式0 , 0yxzyxzzAABBxyAAAAyzzxBA有解00, ( )zyxAAAB y f x另一解00,( )zxyAAAB x g y00, ( )zyxAAAB y f x00,( )zxyAAAB x g y10( )xAB y f x e 20( )yAB x g ye00( )( )xyAB y f x eB x g ye 000000( )( )( )0 ( )0 ( )( ) 0 xyxyzAB y

9、f x eB x g yeB x g yeyzB y f xezyB x g yB y f xexy 说明两者之差是无旋场说明两者之差是无旋场解解1：在分界面（面）上，磁场圆柱坐标分量应满足边界条件： 121212,rrzzBBHHHH设满足以上边界条件的尝试解的形式为 （D为待定系数），则 12BBDIe120,DIDIHeHe由 得 LH dlI11120()rHrHrDII解得 00()Dr 4. 设设 半空间充满磁导率为半空间充满磁导率为 的均匀介质，的均匀介质， 空间为真空，今有线电空间为真空，今有线电流流I沿沿z轴流动，求磁感应强度分布和磁化电流分布。轴流动，求磁感应强度分布和磁化电流分布。 0 x0 x 所以 0120()IBBer 在紧贴线电流的介质一侧有线磁化电流，磁化电流强度为 1010011()MLCIM dlB dlI解解2：设本题中的磁场分布呈轴对称，则可写作 在介质中： 22BIHer 而 2002BIHMeMr 2IBer （1） 其满足边界条件： 2121()0()0nBBnHH （2） 所以