2019年高考数学考纲解读与热点难点突破专题08三角恒等变换与解三角形热点难点突破理含解析

1、1三角恒等变换与解三角形3tan 70 tan 50 的值为()【答案】D.2 2 2 .b+ca b2bc=c,【答案】DABC中,acosB+bcosA= 2ccos C,B+ sinBcosA= 2sin 60s C,即 sin(A+E) = 2sinCcosC,/ sin(A+B) = sinCM0,. cosC= !,C=；,23由余弦定理可得，a2+b2c2=ab,22即(a+b) 3ab=c= 7,1鸟亦又S=2absinC=4ab=2, ab= 6,2(a+b) = 7 + 3ab= 25,a+b= 5,ABC的周长为a+b+c= 5+7.A. .3 B.fD._3【答案】D【

2、解析】因为tan 120tan 701 tan70+ tan 50tan 50=一 I3,tan 70 + tan 50J3tan 70 tan 503.已知ABC的内角A,B, C所对的边分别为a,b,c,且满足 cosA=b,则该三角形为cA.等腰三角形等腰直角三角形C. 等边三角形直角三角形化简得c2=a2+b2,所以ABC为直角三角形.3 .在ABC中，角A,B,为色则厶ABC的周长为C的对边分别为a,b,c,acosB+bcosA= 2ccos C,c= 7,且ABC的面积A. 1 +7B. 2 +7C. 4 +7D. 5 +71. tan 70 + tan 50【解析】由 cosA

3、=b，即【解贝 U sinAcos24 .已知a为锐角，则 2tana+的最小值为（）tan 2aA. 1 B . 2 C. 2 D. 3【答案】D【解析】方法一由 tan 2a有意义，a为锐角可得a工 45a为锐角， tana0,【答案】A【解析】因为 2sin0= 1 cos0,0 02020所以 4sin cos = 1 1 2sin = 2sin ,22i2 丿20 0 0 0解得 sin 2 = 0 或 2cos ? = sin ?，即 tan ? = 0 或 2,92tan2又 tan0=,201 tan 一2/ 2tan当且仅当3tan a= tana，即ntana=3,a= 3

4、 时等号成立.故选 D.方法a为锐角， sina0,cosa0,/ 2tan2sina3cos 2aa +=+.tan 2acosa4sin2a2sinacosa1 sina3cosa2 cosa +sin当且仅当sinacosa3cossinaa= 3 时等号成立.故选D.5.已知 2sin0= 1 cos0，贝 U tan0等于(4一3 4一3B D o或4-3 4-3- -A.G=3,3t9丄当 tan 2 = 0 时，tan0= 0;4rB r4当 tan2=2 时，tan0=232a6 在锐角厶ABC中，角A所对的边为a, ABC勺面积S=-，给出以下结论:1si nA= 2sinB

5、sinC;2tan B+ tanC= 2tanBtanC;3tanA+ tanB+tanC= tanAtanBanC;4tanAtanBtanC有最小值 8.其中正确结论的个数为()A. 1 B 2 C 3 D 4【答案】Da2i【解析】由S= 4 = absin C,得a= 2bsin C,ab又 =,，得 sinA= 2sinBsin C,故正确；sinAsinB由 sinA= 2sinBsin C,得 sin(B+C) = sinBcosC+ cosBsinC= 2sinBsinC,两边同时除以 cosBcosG可得 tanB+ tanC= 2tanBtanC,故正确;由 tan(A+E

6、)=tanA+ tanB1 tanAtanB且 tan(A+B)=tan(n C=tan C,tanA+ tanB1 tanAtanB整理移项得 tanA+ tan B+ tanC= tan Atan BtanC,故正确；由 tanB+ tanC= 2tanBtanC,tanB+ tanCtanA= tan( B+C=,tan BtanC 1且 tanA, tanB, tanC都是正数，tanB+ tanC得 tanAtanBtanC= tanBtanCtanBtan C-12tanBanCBtanC2 tanBtan CtanBtanC1tanBtanC1设m= tanBtan C-1,贝

7、Um0,所以25tanAtanBtanCm+当且仅当 m= tanBtanC 1= 1,即 tanBtanC= 2 时取=”，7 A. B.9【答案】D9在ABC中,a2,b= 3,B=，则A等于（）Ann3n n. 3n此时 tanBtanC= 2, tanB+ tanC= 4, tanA= 4,所以 tanAtanBtanC的最小值是 8,故正确，故选D.+n+6+A.口 B.C.337 .已知sincosa，贝 y cos -6 a=13【解析】由sin+寺+亦即芒血討+扌=-D.1萌诵3话sina+ -cosdc+ tos6t=?艮卩4- -cosa=KJ1JMJ【答8.已知故选c.=

8、3,a) =sin*. a+r ?则 cos 2nn+a的值是（【解/sin=3，cos7t=1 2sin2 cos 團才+ a !cos=cos7tcosn32a=-7m1m+44+i7T=26A. ? B. 4 C. T D. 丁或nAB,所以A=4.【解析】 由正弦定理得2Xsinsi；A=J B，所以sinA；Bn。二乎，所以【答案】B710.在厶ABO中，内角A,B, C的对边分别为a,b,c,且B= 2C,2bcosC 2ccosB=a,则角A的大小为（）Ann n A.TB.3C.4D.【解析】由正弦定理得2sinBcosC 2sinCcosB=sinA=sin(B+C) = s

9、inBcosC+ cosESinC,sinBcosC=222213sinCcosB,sin2CcosC= 3sinCcos2C,2cosC= 3(cosCsinC) , tanC=3,vB= 2C,二C为锐角，二 tanC= 33,C=-,B=,A=，故选 A.3632【答案】A211.在ABC中,a、b、c分别是内角A、B、C的对边.若bsinA=3csinB, a= 3 , cosB= 3,贝V b=()A. 14 B . 6 C. 14 D. 62【解析】bsinA= 3csinE?ab= 3bc?a= 3c?c= 1，二b2=a2+c22accosB= 9+ 1 2x3x1x3= 6

10、,b=J6 ,故选 D.【答案】D12.如图所示，在平面四边形ABC中 ,AB=1,BC= 2, ACD为正三角形，则厶BCD面积的最大值为（）D. 3 + 1【解析】在厶ABC中，设/ABC=a, /ACB=3,由余弦定理得：AC= 12+ 22 2x1x2cosa, /ACC为A. 2 3+ 2B.3 + 12C.正三角形,CD=AC=54cosa ,SBCD= 2 2 =231CD-cos3 +2CD-sin3 =CD-sin【答案】B8CD-sin3,在厶ABC中，由正弦定理得：1ACsin3=sina，A。sin3=sina，CDsin3=sina，(CDcos3)=CD(1sin3

11、)=CDsina =54cosa sina宀31角，CD-cos3= 2 cosa, SBCD=丁CDcos3+CD-sin2=(2cosa),33 =2(2/ 3in40=COS407cos40【答案】苗15.AABC的内角A, B,C的对边分别为a,b,c,若 cosC-,bcosA+acosB= 2,则厶ABC的外接圆3面积为_ .【解析】已知bcosA+acosB= 2，由正弦定理可得 2RsinBcosA+ 2RsinAcosB= 2(RABC的外接圆半径).利厂2、121用两角和的正弦公式得2Rsi n(A+B) = 2,则 2Rsi ng 2,因为 cosC= *,所以 si n

12、C=-，所以R= 3.故厶33ABC的外接圆面积为 9n.【答案】 9n16.在ABC中,a,b,c分别为内角A, B, C的对边，且满足2(1)若 sinA= ,a+b= 10,求a；5若b= 3 5,a= 5，求ABC的面积S.瓜i5解Ti cacosB=bcosA,45亠 55qSin C sinA cosB=sinBcosA,即有 qSinGbosB=sinAcosB+ cosAsinB,则 qSin C- cosB【解析】4cos50Dtan403= 4sm40rcos40=5cacos B=由正弦定理104=sin C.Tsin GO,., cos B=.543(1)由 cosB=

13、 5，得 sinB= 5,2asinA2VsinA= s：b= sinB= 3.又；a+b= 10,.a= 4.(1)证明：a+b= 2c；求 cosC 的最小值.化简得2(sin.4coiB+ smcoi4)=SIIL4+ sinSf艮卩2sin(.4 + B)= $tn.4 + sin.因为A-hBC=n,所kA盘+ 方)=SIH(IT CisinC.从而+ sin5=2sinC.由正弦定理得廿匸肚a+b(2)由(1)知c=,2 2222a+ba+b c所以 cosC=o-2ab=3a+b11a厂 4 = 2,当且仅当a=b时，等号成立.1故 cosC的最小值为218 .设ABC内切圆与外

14、接圆的半径分别为r与R.且 sinA :sin B: sinC= 2 : 3 : 4,则 cosC=当BC= 1 时，ABC勺面积等于31516(2)Tb2=a2+c2 2accos B,b= 3 寸 5,a= 5,22 45 = 25+c- 8C,即c 8c 20= 0,解得c= 10 或c2(舍去）,1- S= gacsin B= 15.17.在ABC中，角A,B, C的对边分别为.tanAtanBa,b,c.已知 2(tanA+ tanE) =cOAsin5解证明：由瀬肌黑+遥卜虑+品囲a+b2.2 2ab1【答案】-111【解析】TsinA: sin B : sinC= 2 : 3 :

15、 4,12a:b:c= 2 : 3 : 4.令a= 2t，b= 3t，c= 4t,则 cosC=2 24t+ 9t 16t12t2 sin当BC= 1 时，AC=3,133 压 SMBC=2X1X2X4=16.n19.如图，在厶ABC中,BC= 2, /ABC=3,AC的垂直平分线3DE与AB AC分别交于D, E两点，且DE=,62贝yBE=_BDC=2A,丫 3sin 2A又DE= CDinA=32cosA所以 cosA=乎,而A (0 ,n)，故A= 4，因此ADE为等腰直角三角形,所以AE= DE=6.由题设，有/2sin 2A故CD=13在ABC中，/ACB=75，所以ABsin 7

16、52 sin45故AB=3 + 1,在厶ABE中，BE= (、3 + 1)2+-2X(p +1)X尊X芈=|+e614n的图象关于直线x= 对称.6(1)求函数f(x)的解析式，并求f(x)的单调递减区间;在厶ABC中，角A B, C的对边分别为a,b,c,若f(A) = 2，且b= 5,c= 2 3,求厶ABC外接圆的面积.解(1)f(x)=ab=*j2sin 2xcos0+“/2cos 2xsin0=./2sin(2x+ 0),n函数f(x)的图象关于直线x=6对称，nn 2X + 0 =kn + c ,kZ,420 =kn + ,kZ,6,nn3n由 2kn + c2x+ W2kn +门,kZ,2 6 2n2n得kn+qWxwkn+ ,kZ.63、7 n2n 1-f(x)的单调递减区间为 队冗+石,kn