圆锥曲线知识点归纳及配备练习(有答案)

1、数学概念、方法、题型、易误点技巧总结一一圆锥曲线1.圆锥曲线的两个定义：（1 1 ）第一定义中要重视“括号”内的限制条件：椭圆中，与两个定点FI,F2的距离的和等于常数2a，且此常数2a一定要大于| RF?|，当常数等于lhF2|时，轨迹是线段F1F2，当常数小于|F1F2|时，无轨迹；双曲线中，与两定点FjF?的距离的差的绝对值等于常数2a,且此常数2a一定要小于| F,F2|, 定义中的“绝对值”与2av|F,F2I不可忽视。若2a=| F,F2|，则轨迹是以F,F2为端点的两条射线，若2aIRF?|，则轨迹不存在。若2a=0=0，则轨迹是线段RF?的中垂线；若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表

2、示双曲线的一支。比如：已知定点 片（-加）用（孔） ，在满足下列条件的平面上动点P的轨迹中是椭圆的是 （）A A 丁 + r 一 B B .巧 + =C C阀+阴卜 1010D D阿 f+f+阴7272 （答: C C）；2_方程 y y 研+产血+介+/航表示的曲线是_ （答：双曲线的左支）（2 2）第二定义中要注意定点和定直线是相应的焦点和准线，且“点点距为分子、点线距为分母”，其商即是离心率 1 1。圆锥曲线的第二定义，给出了圆锥曲线上的点到焦点距离与此点到 相应准线距离间的关系，要善于 运用第二定义对它们进行相互转化。如已知点Q（2 血）及抛物线丫 4 4 上一动点 P P（X,yX,

3、y ）, ,则 y+|PQ|y+|PQ|的最小值是_（答：2 2）2.圆锥曲线的标准方程（标准方程是指中心（顶点）在原点，坐标轴为对称轴时 的标准位置的方程）：22 2x x十y y_x = acosPcos0,b0a0,b0 ）中，离心率 e e ，2,2,则两条渐近线夹角 B B 的取值范围是_（答:亍 7 7）; ;: （0）（3 3）抛物线（以为例）：范围；焦点：一个焦点一其中一的几何意义是：焦点到准线的距离；对称性：一条对称轴-，没有对称中心，只有一个顶点（0,00,0 ）;准线：一条准线一；离心率： 二，抛物线 L -； - - I I如设，则抛物线 尸仏2的焦点坐标为 _ （答：

4、1616 丿）；+ 於-1 15、点次心扛和椭圆一 （ II ）的关系:（1 1 ）点在椭圆外：匚二；6 直线与圆锥曲线的位置关系：（代数法）4-4=1点在椭圆上 0=1 1；（3 3 ）点PM在椭圆内二:2 22 2 个交点）；1 1 个交点）；0 0 个交点）；I I 与渐近线平行（1 1 个交点）或重合（0 0 个交点）；I I 与抛物线的对称轴平行或重合（1 1 个交点）；比如：直线 y ykxkx 仁 0 0 与椭圆1 1(答:11,5 5)U(5 5,+ +R);对于抛物线c：:，我们称满足的点亠，一在抛物线的内部，若点二沢心；：在抛物线的内部，则直线 .：叮，厂*；亠 与抛物线

5、C C 的位置关系是(答:相离）；特别提醒:直线与双曲线、抛物线只有一个公共点时的位置关系有两种情形：相切和相交。1 1，双曲线1过双曲线内一点的直线只有一个公共点的直线有2过双曲线上一点的直线只有一个公共点的直线有2 2 条（2 2 与渐近线平行）3 3 条（1 1 切线+2+2 与渐近线平行）4 4 条（2 2 切线+2+23过双曲线外一点（除渐近线上点）的直线与双曲线只有一个公共点的直线有 与渐近线平行） 若点在两条渐近线之间且不含双曲线的区域内时，有两条与渐近线平行的直线和分别与双曲线 两支相切的两条切线，共四条；若在两条渐近线之间且包含双曲线的区域内时，有两条与渐近线平行的直线和只与

6、双曲线一支 相切的两条切线，共四条； 注意：点在两条渐近线上但非原点，只有两条（ 时不存在这样的直线；2 2，抛物线1过抛物线内一点的直线只有一个公共点的直线有2过抛物线上一点的直线只有一个公共点的直线有1 1 切线+2+2 与另一渐近线平行）； P P 为原点1 1 条（与对称轴平行）1 1 条（1 1 切线+1+1 与对称轴平行）3 3 条（2 2 切线+1+13过抛物线外一点（除渐近线上点）的直线与双曲线只有一个公共点的直线有 与对称轴平行）2 2比如：过点-作直线与抛物线只有一个公共点，这样的直线有（答：2 2）；消元得ax bx c = 0(或ay by c= 0)0=0=直线与曲线

7、相交（丄=0=0 ：=直线与曲线相切（ Q)顶点 o o 的两条互相垂直的弦，则直线 ABAB 恒经过定点 m m1313.动点轨迹方程：(1)求轨迹方程的步骤：建系、设点、列式、化简、确定点的范围;(2)求轨迹方程的常用方法：直接法：直接利用条件建立之间的关系 恥 j)j) = = 0 0；如已知动点 P P 到定点 F(1,0)F(1,0)和直线的距离之和等于 4 4,求 P P 的轨迹方程.(答:待定系数法：已知所求曲线的类型，求曲线方程一一先根据条件设出所求曲线的方程，再由 条件确定其待定系数。如线段 ABAB 过 x x 轴正半轴上一点 M M（ m m 0 0） I I，端点A B

8、到 x x 轴距离之积为 2m,2m,以 x x 轴为对称轴，过 A A、O O B B 三点作抛物线，则此抛物线方程为_（答：jj 一；）；（答:的双曲线方程为3定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程；| 2如（1 1）由动点 P P 向圆_.1I I 作两条切线 PAPA PBPB 切点分别为 A A、B,B,ZAPB=6APB=6（ ,则动点 P P 的2 2 2 2轨迹方程为_ （答: . _ ）;（2 2）点 M M 与点 F F（4,04,0）的距离比它到直线 4+5=04+5=0 的距离小于 1 1，则点 M M 的轨迹方程是 _（答

9、: L=L=）; ;（3 3） 一动圆与两圆oMx x +y+y =1=1 和N：盂+丿 8 8 乳+1212 二 0 0 都外切，则动圆圆心的轨迹 为 （答：双曲线的一支）；4代入转移法：动点依赖于另一动点 丄一 .1的变化而变化，并且，丄一 .1又在某已知曲线上，则可先用1的代数式表示，再将代入已知曲线得要求的轨迹方 程；如动点 P P 是抛物线 I I 上任一点，定点为门 ，点 M M 分 d d 所成的比为 2 2，则 M M 的轨21 1y=Cx -迹方程为_ （答：3 3）；5参数法：当动点 畑）坐标之间的关系不易直接找到，也没有相关动点可用时，可考虑将均用一中间变量（参数）表示，

10、得参数方程，再消去参数得普通方程）。女口（ 1 1） ABAB 是圆 O O 的直径，且|AB|=2a|AB|=2a, M M 为圆上一动点，作 MNMNLABAB 垂足为 N,N,在 OMOM 上取点 F F, ,使冃求点 F F 的轨迹。（答：，+宀川儿；(2(2)若点 耳心) 在圆+於=1 1 上运动，则点 矗舟可+为)的轨迹方程是 _ (答:(3)_过抛物线 厂- I I 的焦点 F F 作直线.交抛物线于 A A、B B 两点，则弦 ABAB 的中点 M M 的轨迹方程 是(答： = =2 2)；注意：如果问题中涉及到平面向量知识，那么应从已知向量的特点出发，考虑选择向量的 几何形式

11、进行“摘帽子或脱靴子”转化，还是选择向量的代数形式进行“摘帽子或脱靴子”转 化。如已知椭圆外的动点，满足 I I 砂 2a2a 点 P P 是线段 F FiQ Q 与该椭圆的交点，点 T T 在线段 F F2Q Q 上，并且满足时不存在；当时存在，此时/ F FiMFMF= 2 2)曲线与曲线方程、轨迹与轨迹方程是两个不同的概念，寻求轨迹或轨迹方程时应注意轨迹 上特殊点对轨迹的“完备性与纯粹性”的影响 在与圆锥曲线相关的综合题中， 常借助于 “平面几何性质” 数形结合 （ 如角平分线的双重身 份一一对称性、利用到角公式）、“方程与函数性质”化解析几何问题为代数问题、“分类讨论思想”化整为零分化处理、“求值构造等式、求变量范围构造不等关系”等等. .)；P=a+-x“;(2 2)求点 T T 的轨迹 C C 的方