空气动力学第一章

1、第一章 流体属性和流体静力学1.1 流体属性1.2 作用在流体微团上力的分类1.3 理想流体内一点的压强及其各向同性1.4 流体静平衡微分方程1.5 重力场静止液体中的压强分布规律1.6 液体的相对平衡问题1.7 标准大气1.1 1.1 流体属性流体属性1.1.1 连续介质的概念 流体力学和空气动力学是从宏观上研究流体（空气）的运动规律和作用力规律的学科，流体力学和空气动力学常用“介质”一词表示它所处理的流体。流体包括液体和气体。 从微观角度而言不论液体还是气体，其分子之间都存在间隙，但这个距离与我们宏观上关心的物体（如飞行器）的任何一个尺寸L相比较都是微乎其微的。 例：海平面条件下，空气分子

2、的平均自由程为l=10-8mm, 1m3 含31021个分子，1mm3气体含2.61016个分子。（注：平均自由程：气体分子两次碰撞自由程的平均值）1.1.1 连续介质的概念 当受到物体扰动后，流体或空气所表现出的是大量分子运动体现出的宏观特性变化如压强，密度，而不是个别分子的行为。 流体力学和空气动力学所关注的正是这样的宏观特征而不是个别分子的微观特征。 如果我们将流体的最小体积单位假设为具有如下特征的流体质点：宏观上充分小，微观上足够大，则可以将流体看成是由连绵一片的，彼此之间没有空隙的流体质点组成的连续介质，这就是连续介质假设。由连续质点组成的质点系称为流体微团。1.1.1 连续介质的概

3、念 一般用努生数即分子平均自由程与物体特征尺寸之比来判断流体是否满足连续介质假设： l / L 1 对于常规尺寸的物体只有到了外层大气中，l / L才可能 等于甚至大于 1 一旦满足连续介质假说，就可以把流体的一切物理性质如密度，压强，温度及宏观运动速度等表为空间和时间的连续可微函数，便于用数学分析工具来解决问题。1.1.1 连续介质的概念 在连续介质的前提下，流体介质的密度可以表达为：流体为均值时：流体为非均值时：其中， 为流体空间的体积， 为其中所包含的流体质量。r= limDv0DmDvr=DmDvDmDv1.1.1 连续介质的概念：介质内部一点处的密度下图为 时平均密度的变化情况 (绕

4、A点的微团体积)：当微团体积趋于宏观上充分小，微观上充分大的某体积 时，密度达到稳定值，但当体积继续缩小到分子平均自由程 量级时，其密度就不可能保持为常数。 Dv0AxyzDvrArDv()03l(Dv)0l3Dv1.1.2 流体的易流性 流体与固体的宏观差别：固体可保持一定体积和形状 液体可保持一定体积但不能保持形状 流体与固体在力学特性上最本质的区别在于：二者承受剪应力和产生剪切变形能力上的不同。 如图所示，固体能够产生一定的剪切角变形量 （弧度）来抵抗剪切应力：qq=tG固体t1.1.2 流体的易流性静止流体在剪切力作用下（不论所加剪切应力 多么小，只要不等于零），将产生持续不断的变形运

5、动（流动），换句话说，静止流体不能承受剪切应力，将这种特性称为流体的易流性。12t2t1流体tt1.1.3 流体的压缩性与弹性流体受压时其体积发生改变的性质称为流体的压缩性，而抵抗压缩变形的能力和特性称为弹性。# # 体积弹性模量定义为产生单位相对体积变化所需的压强增体积弹性模量定义为产生单位相对体积变化所需的压强增高：高：压缩性系数定义为单位压强差所产生的体积增量：bp=-dv vdp=1E,(1N/m2)E=-dpdv v,(N/m2)1.1.3 流体的压缩性与弹性当E 较大时， p p 较小，流体不容易被压缩，反之则容易被压缩。液体的E 较大，通常可视为不可压缩流体，气体的E 通常较小且

6、与热力过程有关，故一般认为气体具有压缩性。由于 ，E 还可以写为：后面降到高速流动时会证明， ，即音速的平方等于压强对密度的变化率。所以气体的弹性决定于它的密度和声速：rrdvdv=-rrrrddpddpE=rddpa =22aEr=1.1.3 流体的压缩性与弹性由于气体的弹性决定于声速，因此马赫数的大小可看成是气体相对压缩性的一个指标。当马赫数较小时，可认为此时流动的弹性影响相对较大，即压缩性影响相对比较小（或一定速度，压强变化条件下，密度的变化可忽略不及），从而低速气体有可能被当作不可压缩流动来处理。反而当马赫数较大之后，可以认为此时流动的弹性影响较小，即压缩性影响相对较大（或一定速度，压

7、强变化条件下，密度的变化不能忽略不计），此时必须考虑流动的压缩性效应。因此尽管一般我们认为气体是可以压缩的，但在考虑其流动时按照其速度快慢即马赫数大小将其区分为不可压缩流动和可压缩流动。可以证明，当马赫数小于0.3时，此时的流动为不可压缩流动；当马赫数大于0.3 时，此时的流动为可压缩流动。1.1.4 流体的粘性实际流体都有粘性。粘性的物理本质是？数学表达是？任取相邻流层，考察可知，外层的流体受到内层流体摩擦，速度有变慢趋势；反过来内层流体受到外层流体摩擦拖拽，其速度有变快趋势。直接贴着壁面的一层速度降为零。流层间的互相牵扯作用一层层向外传递，离板面一定距离后，牵扯作用逐步消失，速度分布变为均

8、匀。（边界层）1.1.4 流体的粘性流层间阻碍流体相对错动（变形）趋势的能力称为流体的粘性，相对错动流层间的一对摩擦力即粘性剪切力。牛顿（1686）发现，流体作用在平板上的摩擦力正比于速度U和平板面积A, 反比于高度h，而 是与流体介质属性有关的比例常数：m1 1F2 2t t2 2t t1 1流体hUAF=mAU/h1.1.4 流体的粘性设 表示单位面积上的内摩擦力（粘性剪切应力），则如果高度h无限接近 （设为y方向），即两个相邻流层无限接近，则流层间速度变化趋向于线性。则可以化为速度梯度：这就是著名的牛顿粘性应力公式，它表明粘性剪切应力与速度梯度有关，与物性有关。 （注：该公式也是流体易流

9、性的数学表达式。）thUAFmt=)/(,2mNdydu=帕mt1.1.4 流体的粘性从牛顿粘性公式可以看出：1.流体的剪应力与压强无关。2.当 时， ， 无论剪应力多小，只要存在剪应力，流体就会发生变形运动。3.当 时， ， 即只要流体静止或无变形，就不存在剪应力，流体不存在静摩擦力。4.牛顿粘性应力公式可以看成流体易流性的数学表达。t0dudy 0dudy= 0t=01.1.4 流体的粘性综上所述：v 流体的粘性是指流体抵抗剪切变形或者质点之间的相对运动的能力。v 流体的粘性力是抵抗流体质点之间相对运动（例如流体层间的相对运动）的剪切力或摩擦力。v 在静止状态下，流体不能承受剪切力；但是在

10、运动状态下，流体可以承受剪力，粘性应力大小与流体变形速度梯度有关，而且与流体种类有关。1.1.4 流体的粘性液体和气体产生粘性的物理原因不同，前者主要来自液体分子间的内聚力，后者主要来自于气体分子的热运动。因此液体与气体动力粘性系数随稳定变化的趋势相反：液体：温度升高， 变小，反之变大气体：温度身高， 变大，反之变小如气体动力粘性系数的萨特兰公式等。mm1.1.4 流体的粘性在许多空气动力学问题里，粘性力和惯性力同时存在，在式子中 和 （质量）往往以 的组合形式出现，所以用符号 表示mrmrn:)(,:)(,sN,22njusmmjum读，称为运动粘性系数读称为动力粘性系数=rmnm1.2 作

11、用 在流体微团上力的分类按照作用力的性质和作用方式，可分为彻体力和表面力两类。彻体力：外力场作用于流体微团质量中心，大小与微团质量成正比的非接触力。例如重力，惯性力和磁流体具有的电磁力等都属于彻体力。彻体力也称为体积力或质量力。由于彻体力按照质量分布，故一般用单位质量的彻体力表示，并且往往写出分量形式：,limkfjfifvFfzyx=DD=r其中其中 是微团体积是微团体积， 为为密度密度， 为作用于微团的彻体力，为作用于微团的彻体力，i i 、j j、 k k 分别是三分别是三个坐标方向的单位向量，个坐标方向的单位向量，f fx x 、f fy y 、f fz z 分别是三个方向的单位质量彻

12、体力分量分别是三个方向的单位质量彻体力分量 。DvFD1.2 作用 在流体微团上力的分类表面力：相邻流体或者物体作用于所研究物体团块外表面，大小与流体团块表面积成正比的接触力。由于按面积分布，故用接触应力表示，并可将其分解为法向应力和切向应力：AFpcnDD=limATAPAFpcnDDDD=DD=limlimlimATPcFDn0DA0DA0DA0DA1.2 作用 在流体微团上力的分类法向应力与切向应力即摩擦应力组成接触应力：上述画出的表面力对整个流体而言是内力，对所画出的流体团块来说则是外力。流体内任取一个剖面一般有法向应力和切向应力，但切向应力完全是由粘性产生的。p=pnt1.3 理想流

13、体内一点的压强及其各向同性 理想和静止流体中的法向应力称为压强 p，其指向沿着表面的内法线方向，压强的量纲是力/长度2，单位为（N/m2）或 （帕：pa）在理想（无粘）流体中，不论流体静止还是运动，尽管一般压强是在理想（无粘）流体中，不论流体静止还是运动，尽管一般压强是位置的函数位置的函数 P=P(x,y,z),P=P(x,y,z), 但在同一点处压强不因受压面方位不同而变但在同一点处压强不因受压面方位不同而变化，这个结果称为理想流体内压强是化，这个结果称为理想流体内压强是各向同性各向同性的。的。1.3 理想流体内一点的压强及其各向同性如讨论P点处压强，在周围取如图微元4面体ABCo, 作用在

14、各表面的压强如图所示，理想流体无剪切应力，由于dx, dy, dz 的取法任意，故面ABC的法向方向n方向也是任意的。分别沿 x、y、z 三个方向建立力的平衡关系：x方向合外力质量加速度（x方向） , , , 0 xnxdxdydzaxndspdydzp61),cos(21r=-yxzdxdydzpzpxpypnnABCoPdydzpdydzpnx2121-px=pnnypp =pz=pnpx=py=pz=pn因为图中的因为图中的n n方向为任方向为任取，故各向同性得证。取，故各向同性得证。01.4 理想流体内一点压强及其各向同性压强的各向同性说明：无粘流体内部一点的压强，其值与压力方向无关，

15、其沿各个方向受到的压力大小都是一样的；无论流体是静止的还是流动的，这个结论都是成立的。 1.4 流体静平衡微分方程下面我们研究压强在平衡流体中的分布规律在平衡流体（静止或者相对静止）中取一笛卡尔坐标系Oxyz，坐标轴方位任意。在流体内取定一个点P (x, y, z), 然后以该点为中心沿坐标轴三个方向取三个长度dx, dy, dz, 画出一个微元六面体作为分析对象： O xyzPdxdydz1.4 流体静平衡微分方程假设：假设：六面体体积：六面体体积：d d =dxdydz=dxdydz中心点坐标：中心点坐标： x ,y ,zx ,y ,z中心点压强：中心点压强：p = pp = p（x,yx

16、,y ,z ,z）中心点密度：中心点密度： = = （x,y,zx,y,z）中心点处三个方向的单位质量彻体力中心点处三个方向的单位质量彻体力: : f fx x, f, fy y, f, fz z 微元微元六面体的表面力可以六面体的表面力可以用中心点处压强表示用中心点处压强表示: ?: ? xyzPdxdydz?1.4 流体静平衡微分方程x方向的表面力为：x方向的彻体力为流体静止，则x方向的合外力为零： dxdydzxpdydzdxxppdydzdxxpp-=-22dxdydzfxr0=-dxdydzfdxdydzxpxr1.4 流体静平衡微分方程两边同除以两边同除以 d d =dxdydz

17、=dxdydz ，可得可得 x x方向平衡方程：方向平衡方程：y, z 方向同理可得： 流体平衡微分方程流体平衡微分方程 - -EulerEuler 静平衡方程静平衡方程 表明当流体平衡时，若压强在某个方向有梯度的话，表明当流体平衡时，若压强在某个方向有梯度的话，必然是由于彻体力在该方向有分量造成缘故必然是由于彻体力在该方向有分量造成缘故。 xfxpr=yfypr=zfzpr=1.4 流体静平衡微分方程将上三个式子分别乘以将上三个式子分别乘以dx，dy，dz，然后相加起来，然后相加起来，得到：得到： 此式左端是个全微分：此式左端是个全微分： 如果右端括号也如果右端括号也是某函数是某函数 = =

18、 （x,y,z）的全微分的全微分d d ，则称则称 为彻体力的势函数，或称彻为彻体力的势函数，或称彻体力有势。体力有势。 ()dzfdyfdxfdzzpdyypdxxpzyx=rdzzpdyypdxxpdp=（1）1.4 流体静平衡微分方程根据数学分析，上述括号是全微分要求右端的三个根据数学分析，上述括号是全微分要求右端的三个彻体力分量彻体力分量 fx ，fy ，fz 满足下列关系满足下列关系：这就这就是是全微分的充分条件全微分的充分条件. . zfxfyfzfxfyfxzzyyx=,1.4 流体静平衡微分方程则方程（则方程（1 1）右侧括号也是）右侧括号也是 （x,y,z）的全微分，并规定它

19、在）的全微分，并规定它在x, y, z三个方向导数的负值为其三个分量三个方向导数的负值为其三个分量则平衡微分方程可写为：则平衡微分方程可写为：如果我们知道某一点的压强值如果我们知道某一点的压强值 p pa a 和彻体力势函数和彻体力势函数 a 的值的值, ,则则任何其它点的压强和势函数之间的关系便可表出：任何其它点的压强和势函数之间的关系便可表出： dzfdyfdxfdzyx=-zfyfxfzyx-=-=-=,-=ddpr)(aapp-=r1.4 流体静平衡微分方程等压面的概念：流场中压强相等的空间点组成的几何曲面或等压面的概念：流场中压强相等的空间点组成的几何曲面或平面平面在等压面上满足：在

20、等压面上满足：或或上式积分分为一几何曲面或平面，该曲面上满足上式积分分为一几何曲面或平面，该曲面上满足dp=0dp=0，上方上方程称为等压面方程称为等压面方程，也是彻体力的等势面。程，也是彻体力的等势面。 p=c等压面0=dp0=dzfdyfdxfzyx1.4 流体静平衡微分方程例如：例如：1. 1.在重力场下静止液体等压面必然为水在重力场下静止液体等压面必然为水平面平面2. 2. 在加速上升电梯中的液体除了受到重力之外，还在加速上升电梯中的液体除了受到重力之外，还受到向下的惯性力，二者合成的彻体力均为向下，受到向下的惯性力，二者合成的彻体力均为向下，因此等压面也是水因此等压面也是水平面平面

21、1.5 重力场静止流体中的压强分布规律设封闭容器自由面处压强为设封闭容器自由面处压强为p p0 0，如图建立坐标系，考，如图建立坐标系，考虑距水平轴高度为虑距水平轴高度为 y y 处的某单位质量流体，其彻体处的某单位质量流体，其彻体力可表示为力可表示为：其中g为重力加速度。 0, 0=-=zyxfgffgdydyfdy=-=p0。xygy1.5 重力场静止流体中的压强分布规律 p0。xygy积分得（注意重度积分得（注意重度 g g）：）：)(常数Hyp=此式称为此式称为平衡基本方程。平衡基本方程。上式表明，在平衡流体中上式表明，在平衡流体中 p p/ / 与与 y y 之和为常数。显然，静止之

22、和为常数。显然，静止流体中等压面为水平面流体中等压面为水平面 y yc c代入平衡微分方代入平衡微分方程程 得得：0=dygdpr-=ddpr1.5 重力场静止流体中的压强分布规律 的物理意义为的物理意义为: :y -y -代表单位重量流体的重力势能简称势能代表单位重量流体的重力势能简称势能 p p/ / -代表单位重量流体的压力势能简称压力能代表单位重量流体的压力势能简称压力能H -H -代表平衡流体中单位重量流体的总能量代表平衡流体中单位重量流体的总能量平衡基本方程平衡基本方程 表明表明: :平衡平衡流体中势能与压力能可以互相转换，但总能量保持不流体中势能与压力能可以互相转换，但总能量保持

23、不变变Cyp=p1y1=p2y2=H 在以匀加速运动或匀角速度转动的相对平衡流体在以匀加速运动或匀角速度转动的相对平衡流体中，如果将坐标系固连在以匀加速运动或匀角速度中，如果将坐标系固连在以匀加速运动或匀角速度转动的容器上，对液体引入惯性力转动的容器上，对液体引入惯性力( (达朗伯原理达朗伯原理) )，则同样可以利用平衡微分方程求解问题。则同样可以利用平衡微分方程求解问题。 如图圆筒作匀角速转动如图圆筒作匀角速转动 ，求其中液体的等压面形状和压强求其中液体的等压面形状和压强分布规律。分布规律。 ()1秒yzg将坐标系固连于转筒，并建如图将坐标系固连于转筒，并建如图坐标系。考虑距底壁为坐标系。考

24、虑距底壁为 z z , ,半径为半径为 r r 处单位质量流体，会受到一个向处单位质量流体，会受到一个向下的彻体力大小为下的彻体力大小为 g g , ,此外还受到此外还受到一个向外的惯性力大小为一个向外的惯性力大小为 2 2r r。在直角坐标系中，三个方向的彻体在直角坐标系中，三个方向的彻体力可表为力可表为： gfyfxfzyx-=,22yxr2r2y2xyzg求等压面：由等压面方程求等压面：由等压面方程0=dzfdyfdxfzyx022=-gdzydyxdx可得：可得：积分得：积分得：()cyxgz=2222cgrz=222即：即：为旋转抛物面族为旋转抛物面族yzgHh特别地，设自由面最低点

25、距坐标原点高特别地，设自由面最低点距坐标原点高 H H 时，可时，可定出自由面对应的常数：定出自由面对应的常数：r r = = 0 0 时，时，c c = z = = z = H H，故自故自由面方程为：由面方程为：()Hyxgz=2222其中其中 称为超高，即液面高出抛物线顶点称为超高，即液面高出抛物线顶点的部分。的部分。grz222=yzgHh求压强分布：将彻体力代入平衡微分方程方程可求压强分布：将彻体力代入平衡微分方程方程可得：得：)(22gdzydyxdxdp-=r积分得：积分得：()cgzyxp-=rr2222由自由面条件定出积分常数：由自由面条件定出积分常数：x x = = y y

26、 = = 0 0 ， z z = = H H 时时, , p p = = p pa a，定得积分常数，定得积分常数 c c = = p pa a+ + g Hg H， 带入上述积分带入上述积分结果，得结果，得：()-=)(2222zHyxggppar 无论做飞行器设计，还是做实验研究，都要用无论做飞行器设计，还是做实验研究，都要用到大气的条件，为了便于比较，工程上需要规定到大气的条件，为了便于比较，工程上需要规定一个标准大气。这个标准是按中纬度地区的平均一个标准大气。这个标准是按中纬度地区的平均气象条件定出来的。这样做计算时，都依此标准气象条件定出来的。这样做计算时，都依此标准进行计算；做实验

27、时，也都换算成标准条件下的进行计算；做实验时，也都换算成标准条件下的数据。数据。 标准大气规定在海平面上，大气温度为标准大气规定在海平面上，大气温度为 15 15 或或 T T0 0 = = 288.15K288.15K ，压强，压强 p p0 0 = = 760760 毫米汞柱毫米汞柱 = = 101325101325牛牛/ /米米2 2，密度，密度 0 0 = 1.225= 1.225千克千克/ /米米3 3 从基准面到从基准面到11 km11 km的高空称为对流层，在对流层的高空称为对流层，在对流层内大气密度和温度随高度有明显变化，温度随高内大气密度和温度随高度有明显变化，温度随高度增加

28、而下降，高度每增加度增加而下降，高度每增加1km1km，温度下降，温度下降 6.5 K6.5 K，即：即：T= 288.15-0.0065H 从从 11 km 11 km 到到 21km 21km 的高空大气温度基本不变，的高空大气温度基本不变，称为同温层或平流层，在同温层内温度保持为称为同温层或平流层，在同温层内温度保持为 216.5 K216.5 K。普通飞机主要在对流层和平流层里活动。普通飞机主要在对流层和平流层里活动。在如图坐标系中考虑某高度上的单位在如图坐标系中考虑某高度上的单位质量空气微元，其受到的彻体力分量质量空气微元，其受到的彻体力分量为：为：某个高度上的大气压强可以看作是面积

29、为某个高度上的大气压强可以看作是面积为1 1米米2 2的一的一根上端无界的空气柱的重量压下来所造成的根上端无界的空气柱的重量压下来所造成的 ，如图，如图0, 0=-=zyxfgffdpg dyr= -代入平衡微分方程可得：代入平衡微分方程可得：根据气体状态方程根据气体状态方程 ，密度写为压强和温，密度写为压强和温度的表达即度的表达即 代入平衡微分方程得：代入平衡微分方程得：RTpr=/p RTr=dpgpdyRT= -T T 是高度是高度 y y 的已知函数，严格说的已知函数，严格说 g g 也随也随 y y 有所变化，有所变化，但在对流层范围内其影响极小，这里就把它当常但在对流层范围内其影响极小，这里就把它当常数看，其值为数看，其值为9.806659.80665米米/ /秒秒2 2。将。将