高中必修一二次函数与一元二次方程根的分布(2013年)

1、 一般地，对于函数一般地，对于函数y=f(x)，我们把使，我们把使f(x)=0的的实数实数x就做函数就做函数y=f(x)的零点的零点. 由此得出以下三个结论等价：由此得出以下三个结论等价： 方程方程f(x)=0有实根有实根 函数函数y=f(x)的图象与的图象与x轴有交点轴有交点 函数函数y=f(x)有零点有零点 实根分布问题实根分布问题 一元二次方程一元二次方程20(0)axbxca1、当、当x为全体实数时的根为全体实数时的根2(1)40 bac 当当时时，方方程程有有两两个个不不相相等等的的实实数数根根2(2)40 bac 当当时时，方方程程有有两两个个相相等等的的实实数数根根2(3)40

2、bac 当当时时，方方程程没没有有实实数数根根 一元二次方程一元二次方程 在某个区间在某个区间上有实根，求其中字母系数的问题称为上有实根，求其中字母系数的问题称为实根分布问题实根分布问题。20(0)axbxca实根分布问题一般考虑四个方面，即实根分布问题一般考虑四个方面，即： （1）开口方向）开口方向（2）判别式）判别式（3）对称轴）对称轴（4）端点值）端点值 的符号。的符号。 24bac 2bxa ( )f m2、当、当x在某个范围内的实根分布在某个范围内的实根分布问题一、二次函数的图像可从哪些方面描述？问题一、二次函数的图像可从哪些方面描述？ 开口方向开口方向 对称轴对称轴 与与x x轴的

3、交点轴的交点 与与y y轴的交点轴的交点xyO问题二、二次函数与一元二次方程（不等式）问题二、二次函数与一元二次方程（不等式）有什么关系？有什么关系？函数值即函数值即y等于等于0时就成了一个一元二次方程。时就成了一个一元二次方程。函数值即函数值即y大于或小于大于或小于0时就成了一个一元二次时就成了一个一元二次不等式。不等式。xyO问题三、解下列一元二次不等式1、x22x30对应方程对应方程x22x3 0的的4120函数函数yx22x3恒为正，故不等式解集为恒为正，故不等式解集为R。2、x26x70函数函数y x26x7开口向上，且与开口向上，且与x轴的交点轴的交点横坐标分别为横坐标分别为7、1

4、，由图像得原不等式的解集为（由图像得原不等式的解集为（7,1）O 1xy-7xyO问题四、解下列一元二次方程 1、x22x30 无实根无实根 2、x22x10 有两相等实根有两相等实根x1x21 3、x26x50 有两相异实根有两相异实根x15，x21 4、x26x70 有两相异实根有两相异实根x17，x21思考： 可否用二次函数的相关知识反过来理解或解决可否用二次函数的相关知识反过来理解或解决一元二次方程相关问题？一元二次方程相关问题？ 可以。如用二次函数的图像与可以。如用二次函数的图像与x轴交点的位置来轴交点的位置来判断实根的位置。判断实根的位置。 一元二次方程的实根存在时，有两等根、正根

5、、一元二次方程的实根存在时，有两等根、正根、负根、一正一负根等情况，其中有何规律？负根、一正一负根等情况，其中有何规律？ 这就是一元二次方程实根的分布问题，即是本这就是一元二次方程实根的分布问题，即是本节课研究的内容。节课研究的内容。问题五、关于问题五、关于x的一元二次方程的一元二次方程X2（m3)xm=0有两个正根，求有两个正根，求m的范围。的范围。 2121 2340300(m)mxxmxxm 01mm你首先想到了什么方法？你首先想到了什么方法？韦达定理韦达定理你还有其他思路吗？你还有其他思路吗？能从二次函数入手思考该问题吗？能从二次函数入手思考该问题吗？解：设方程的两实根分别为解：设方程

6、的两实根分别为x1、x2，则，则解：设f(x) x2(m3)xm，要使二次函数与，要使二次函数与x轴的轴的交点在交点在x轴的正半轴，由图像知只需满足以下条件：轴的正半轴，由图像知只需满足以下条件：2(3-m) -4m0b3-m-=-02a20 =m0f()问题五、关于问题五、关于x的一元二次方程的一元二次方程x2(m3)xm=0有两个正根，求有两个正根，求m的范围。的范围。m|0m1xy比较两种思路，作出评价：比较两种思路，作出评价：2121 2340300(m)mxxmxxm 2(3-m) -4m0b3-m-=-02a20 =m0f()法一：韦达定理法法一：韦达定理法法二：二次函数法法二：二

7、次函数法1、形式不同，本质一样；、形式不同，本质一样；2、在本问题中韦达定理法更简洁。、在本问题中韦达定理法更简洁。以本问题的条件，你还能提出其他问题吗？以本问题的条件，你还能提出其他问题吗？以本问题的条件，你还能提出其他问题吗？以本问题的条件，你还能提出其他问题吗？问题五、关于问题五、关于x的一元二次方程的一元二次方程x2(m3)xm=0有两个有两个正根正根，求，求m的范围。的范围。问题是数学的心脏，问题是数学的心脏，是我们思维的起点。是我们思维的起点。（2）两负实根；（）两负实根；（3）两实根均小于）两实根均小于1；（4）两实根均大于）两实根均大于0.5；（5）两实根均在）两实根均在(0,

8、2)；（6）一正一负两实根；）一正一负两实根；（7）两实根中，一根大于）两实根中，一根大于1，一根小于，一根小于1；（8）两实根中有且只有一根在）两实根中有且只有一根在(0,2)；（9）两实根中，一根在）两实根中，一根在(2,0)，一根在，一根在(1,3)；（10）两实根中，一根在）两实根中，一根在(2,0)，一根在，一根在(0,4)；（11）一个根小于）一个根小于2，一个根大于，一个根大于4。问题六：方程满足下列条件问题六：方程满足下列条件x2+（m-3)x+m=0，求，求m的范围。的范围。（1）两正实根）两正实根(已解决已解决)其他问题：其他问题：思考二、思考二、上述问题有什么规律？上述问

9、题有什么规律？你能从不同角度对上述问题进行归类吗？你能从不同角度对上述问题进行归类吗？思考一、思考一、上述（上述（2）（）（10）共九个问题你会模仿）共九个问题你会模仿第（第（1）问进行解决吗？你有什么初步感觉？）问进行解决吗？你有什么初步感觉？（难还是简单？思维清晰还是有点乱？）（难还是简单？思维清晰还是有点乱？）特点一：特点一：(1)(2)(6)与原点有关，其余与原点无关；与原点有关，其余与原点无关；这么多问题如何在最短时间内解决？这么多问题如何在最短时间内解决？与原点有关的问题便于用什么方法求解？与原点有关的问题便于用什么方法求解？韦达定理法韦达定理法特点二特点二：(1)-(5)都是两根

10、在同一区间内；都是两根在同一区间内；(6)-(10)都是两根在不同的区间内。都是两根在不同的区间内。现在的问题变成了现在的问题变成了“如何解决这两类问题？如何解决这两类问题？”分成两组研究分成两组研究:第一组第一组：(1)-(5)第二组：第二组：(6)-(10)问题六：方程满足下列条件问题六：方程满足下列条件x2+（m-3)x+m=0，求求m的范围。的范围。 （2）有两个负根）有两个负根9mm解法一：设方程的两实根分别为解法一：设方程的两实根分别为x1、x2，则，则2121 2340300(m)mxxmxxm （2）有两个负根）有两个负根问题六：方程满足下列条件问题六：方程满足下列条件x2+（

11、m-3)x+m=0，求求m的范围。的范围。解法二：设f(x) x2(m3)xm，要使二次函数与，要使二次函数与x轴轴的交点在的交点在x轴的负半轴，由图像知只需满足以下条件：轴的负半轴，由图像知只需满足以下条件：2(3-m) -4m0b3-m-=-0f()9mm y x （3） 两个根都小于两个根都小于1022) 1 (123204)3(2mfmabmm9mm问题六：方程满足下列条件问题六：方程满足下列条件x2+（m-3)x+m=0，求，求m的范围。的范围。解解：设设f(x) x2(m3)xm，要使二次函数与，要使二次函数与x轴的交轴的交点在点在x轴上轴上1的左边，由图像知只需满足以下条件：的左

12、边，由图像知只需满足以下条件：yx1 （4） 两个根都大于两个根都大于0.5234030 522650 504( m)mbm.amf (.) 516mm问题六：方程满足下列条件问题六：方程满足下列条件x2+（m-3)x+m=0，求，求m的范围。的范围。解解：设设f(x) x2(m3)xm，要使二次函数与，要使二次函数与x轴的交轴的交点在点在x轴上轴上0.5的右边，由图像知只需满足以下条件：的右边，由图像知只需满足以下条件： 0.5x y O （5） 两个根都在（两个根都在（0 ,2）内）内2340322002320(m)mm 0f( )mf( )m 12m m3问题六：方程满足下列条件问题六：

13、方程满足下列条件x2+（m-3)x+m=0，求，求m的范围。的范围。解解：设设f(x) x2(m3)xm，要使二次函数与，要使二次函数与x轴的交轴的交点在点在0与与2的之间，由图像知只需满足以下条件：的之间，由图像知只需满足以下条件：yx2O问题六：方程满足下列条件问题六：方程满足下列条件x2+（m-3)x+m=0，求求m的范围。的范围。（6） 一个正根，一个负根一个正根，一个负根0m m 解法一：设方程的两实根分别为解法一：设方程的两实根分别为x1、x2，则，则21 23400(m)mxxm解法二：设解法二：设f(x) x2(m3)xm，要使二次函数与，要使二次函数与x轴轴的交点分别在的交点

14、分别在x轴的正、负半轴，由图像知只需满足：轴的正、负半轴，由图像知只需满足：0 =m02a20 =m0f()0m m xy（7） 一个根大于一个根大于1，一个根小于，一个根小于11mmf(1)=2m-2 0 问题六：方程满足下列条件问题六：方程满足下列条件x2+（m-3)x+m=0，求，求m的范围。的范围。解解：设设f(x) x2(m3)xm，要使二次函数与，要使二次函数与x轴的交轴的交点在点在x轴上轴上1的两边，由图像知只需满足以下条件：的两边，由图像知只需满足以下条件：1 x y （8） 两个根有且仅有一个在（两个根有且仅有一个在（0 ,2）内）内f(0)f(2)=m(3m-2) 0）根的

15、分布根的分布两个根都在两个根都在（k .k )内内210)(0)(202121kfkfkabkyxkk12O2、当一元二次方程的根分布在不同的区间时，、当一元二次方程的根分布在不同的区间时，限定要考虑哪些方面？限定要考虑哪些方面？区间端点对应的函数值一般可以作出简洁限制。区间端点对应的函数值一般可以作出简洁限制。kxyyxkk12Ok1k2p1p2xy3、由此请你总结解决一元二次方程、由此请你总结解决一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)实根分布的方法、步骤：实根分布的方法、步骤：（1）确定方程根是在同一区间还是不同区间；）确定方程根是在同一区间还是不同区间；（2）分别用相应的限制规律得到相

16、应不等式）分别用相应的限制规律得到相应不等式（组）；（组）；（3）求解不等式即得相应参数的范围。）求解不等式即得相应参数的范围。 一元二次方程一元二次方程ax2+bx+c=0 （a0）根的分布根的分布小 结两个根有且仅有两个根有且仅有一个在一个在（k .k )内内12x1(k1,k2) x2(p1,p2)f(k )f(k )01212120000f ( k)f ( k)f ( p)f ( p)k1k2p1p2xyyxkk12O一个根小于一个根小于k，一个，一个根大于根大于kkxyf(k)000f( )m|0m1也可用韦达定理法也可用韦达定理法问题八：问题八：1Oxy问题八：问题八：练习：练习：

17、2.-12a03.-1m01.1132mm1或的的取取值值范范围围。求求的的值值恒恒大大于于零零，时时，当当函函数数、已已知知x f(x)1k1- 42k-4)x-(kxf(x) 52 的的取取值值范范围围。均均成成立立，求求实实数数对对于于任任意意实实数数、若若不不等等式式ax 05a-2)x-8(a8x424 思考：思考：1a52X3上面是具体实例分析，总结。上面是具体实例分析，总结。下面进行一般性概括，总结。下面进行一般性概括，总结。221212( )(0)0(0), ()f xaxbxc aaxbxcaxxxx 设设一一元元二二次次方方程程的的两两根根为为(1)(k k方方程程两两根根

18、都都小小于于为为常常数数）02( )0bkaf k (2)(k k方方程程两两根根都都大大于于为为常常数数）02( )0bkaf k 12(3)(xkxk 为为常常数数）( )0f k 112212(4)(,kxxkkk 为为常常数数）121202()0()0bkkaf kf k 112212(5)(,xkkxkk 为为常常数数）12()0()0f kf k 1212(6),xxkk，有有且且只只有有一一个个根根在在（）内内1k2k1k2k1k2k1k2k12() ()0f kf k 1202bkka 或或1121()022f kkkbka 或或2122()022f kkkbka 或或12(7

19、) (, ,mxnpxqm n p q 为为常常数数）()0( )0( )0( )0f mf nf pf q (8)方方程程有有两两个个不不相相等等的的正正根根可用韦达定理表达式来书写条件可用韦达定理表达式来书写条件002(0)0baf 也可也可( )f xx1x2x01212000 xxx x ( )f xx1x2x0(9)方方程程有有两两个个不不相相等等的的负负根根可用韦达定理表达式来书写条件可用韦达定理表达式来书写条件也可也可002(0)0baf (10)方方程程有有一一正正根根一一负负根根可用韦达定理表达式来书写：可用韦达定理表达式来书写：ac0也可也可f(0)0即或解2(2) (2)

20、(21)0 1012 .mxmxmm已知二次方程 的两根分别属于（， ）和（， ）求的取值范围21210 1)(87)01122 17480011 42mmmmmffmffm(-1) (0)()() 解：由题(1(4 ) (2) 例例3.就实数就实数k的取值，讨论下列关于的取值，讨论下列关于x的方程的方程解的情况：解的情况：223xxk2 4 =43 43 33.2kkkkkyxxyk ： 将方程视为两曲线 与相交，其交点横坐标便是方程的解，由图知：时， 无解；或时，有两解；时有四个解；时有三个解解34yx24.1(0,3),(3,0).yxmxABABm 例 若二次函数的图像与两端点为 的线段有两个不同的交点，求 的取值范围223(03)3(03)1(1)400,3.0103103.23(0)40(3)93(1)4010(3,3ABxyxxyxyxmxxmxmmffmm 解：线段的方程为 由题意得： 有两组实数解 整理得 在上有两个不同的实根