【创新设计】2011届高三数学一轮复习 8.1 椭圆课件 文 大纲人教版VIP

1、2011届高三数学文大纲版创新设计一轮复习课件：8.1 椭圆【考纲下载考纲下载】1. 掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质2了解椭圆的参数方程了解椭圆的参数方程.第八章第八章 圆锥曲线方程圆锥曲线方程第第1 1讲讲 椭椭 圆圆(1)第一定义：在平面内，到两定点的距离第一定义：在平面内，到两定点的距离 等于定长等于定长2a(定长大于两定点间定长大于两定点间的距离的距离)的动点的轨迹叫做椭圆其中两个定点叫做椭圆的的动点的轨迹叫做椭圆其中两个定点叫做椭圆的 ，两两 之间的距离之间的距离2c叫做椭圆的焦距叫做椭圆的焦距(2)第二定义：一动点到定点的距

2、离和它到一条定直线的距离的第二定义：一动点到定点的距离和它到一条定直线的距离的 是是一个在一个在(0,1)内的常数内的常数e，那么这个点的轨迹是椭圆其中定点是椭圆的，那么这个点的轨迹是椭圆其中定点是椭圆的 ，定直线是椭圆的定直线是椭圆的 ，常数，常数e就是椭圆的就是椭圆的 .【思考思考】 定义中若没有条件定义中若没有条件“2a|F1F2|”的限制，动点的轨迹还是椭圆吗？的限制，动点的轨迹还是椭圆吗？ 答案：答案：不是若不是若2a|F1F2|，动点轨迹是线段，动点轨迹是线段F1F2；若；若2ab0)；焦点在焦点在y轴上时轴上时，椭圆的标准方程为椭圆的标准方程为： (ab0)2椭圆的方程椭圆的方程

3、 (2)椭圆椭圆 1(ab0)的参数方程是的参数方程是 ； 椭圆椭圆 1(ab0)的参数方程是的参数方程是 椭圆的标准方程椭圆的标准方程提示：提示：求椭圆的标准方程时，必须先确定焦点是在求椭圆的标准方程时，必须先确定焦点是在x轴上或是在轴上或是在y轴上当焦点的位置不能确定时，为避免分类讨论，也可设轴上当焦点的位置不能确定时，为避免分类讨论，也可设成：成：Ax2By21，其中，其中A、B是不等的正常数，是不等的正常数， 或设成：或设成： 1(m2n2)3椭圆的几何性质椭圆的几何性质标准标准方程方程 1(ab0) 1(ab0)简图简图范围范围|x|a，|y|b|y|a，|x|b顶点顶点坐标坐标，对

4、称轴对称轴x轴、轴、y轴轴x轴、轴、y轴轴对称对称中心中心坐标原点坐标原点O坐标原点坐标原点O焦点焦点坐标坐标(a,0) (0，b)(0，a) (b,0)(c,0)(0，c)准线准线方程方程焦半焦半径公径公式式|PF1|aex0，|PF2|aex0|PF1|aey0，|PF2|aey0离心离心率率ee提示提示：1.椭圆的几何性质主要是围绕椭圆中的椭圆的几何性质主要是围绕椭圆中的“六点六点”(两个焦点、四个顶点两个焦点、四个顶点)，“四线四线”(两条对称轴、两条准线两条对称轴、两条准线)，“两形两形”(中心、焦点以及短轴端中心、焦点以及短轴端点构成的三角形，椭圆上一点和两焦点构成的三角形点构成的

5、三角形，椭圆上一点和两焦点构成的三角形)，研究它们之间的相，研究它们之间的相互联系互联系2.(1)焦半径公式：设焦半径公式：设P(x0，y0)为椭圆为椭圆 1(ab0)上一点，焦点上一点，焦点F1(c,0)，F2(c,0)，则，则|PF1|aex0，|PF2|aex0.此公式不要求记忆，此公式不要求记忆，但要掌握其推导过程但要掌握其推导过程(2)离心率离心率e越接近越接近0，则椭圆越圆；，则椭圆越圆；e越接近越接近1，则椭圆越扁，则椭圆越扁1椭圆椭圆x24y21的离心率为的离心率为() A. B. C. D. 解析：解析：由由x24y21得得x2 1，a21，b2 ， c2 ，离心率是，离心率

6、是 e 答案答案：A2设设P是椭圆是椭圆 1上的点若上的点若F1、F2是椭圆的两个焦点，则是椭圆的两个焦点，则|PF1| |PF2|等于等于() A4 B5 C8 D10 解析：解析：依椭圆的定义可知依椭圆的定义可知|PF1|PF2|2510. 答案：答案：D3椭圆椭圆 1的焦距为的焦距为2，则，则m的值为的值为() A5 B3 C5或或3 D8 解析：解析：由已知由已知c1，a2b2c2，当，当m4时，时，m415.当当mb0)，将点，将点(5,4)代入得代入得 1又离心率又离心率e 解之得解之得a245，b236，故椭圆的方程为故椭圆的方程为 1.答案答案： 1一般地，当遇到与焦点距离有关

7、的问题时，首先应考虑用定义来解题椭圆上一般地，当遇到与焦点距离有关的问题时，首先应考虑用定义来解题椭圆上的点到焦点的距离，在直接处理较困难时，可以运用第二定义转化成点到相应的点到焦点的距离，在直接处理较困难时，可以运用第二定义转化成点到相应的准线的距离，也可以运用第一定义转化成点到另一焦点的距离来解决的准线的距离，也可以运用第一定义转化成点到另一焦点的距离来解决【例例1 1】 设设F1、F2为椭圆为椭圆 1的两个焦点，的两个焦点，P为其上一点，已知为其上一点，已知P、 F1、F2是一个直角三角形的三个顶点，且是一个直角三角形的三个顶点，且|PF1|PF2|， 求求 的值的值 思维点拨：思维点拨

8、：由定义知由定义知|PF1|PF2|6，再由直角三角形的边的，再由直角三角形的边的 关系求关系求|PF1|与与|PF2|，注意在直角不确定的情况下要分类讨论，注意在直角不确定的情况下要分类讨论解解：若：若PF2F1为直角为直角，由已知由已知|PF1|PF2|6，|PF1|2(6|PF1|)220，得得|PF1| ，|PF2| ，故故 ；若若F1PF2为直角为直角，|PF1|PF2|6，|PF1|2|PF2|220，解得解得|PF1|4，|PF2|2，故故 2.故故 的值为的值为 或或2.2.（1）求椭圆的标准方程，一般分三步完成：求椭圆的标准方程，一般分三步完成：定型定型确定它是椭圆；确定它是

9、椭圆；定位定位 判断中心在原点，焦点在哪条坐标轴上；判断中心在原点，焦点在哪条坐标轴上；定量定量建立关于基本量建立关于基本量a，b，c，e的的 关系式，解出即得所求标准方程关系式，解出即得所求标准方程（2）当椭圆的焦点位置不明确而无法确定其标准方程时，可设为）当椭圆的焦点位置不明确而无法确定其标准方程时，可设为 1(m0， n0，mn)，可避免讨论和繁杂的计算，也可设为，可避免讨论和繁杂的计算，也可设为Ax2By21(A0，B0， AB)，这种形式在解题中较为方便，这种形式在解题中较为方便(1)已知已知P点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P到两焦点的距离分别到两焦

10、点的距离分别为为 过过P作长轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点；作长轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点；(2)经过两点经过两点A(0,2)和和B思维点拨思维点拨：(1)可用待定系数法求解，但应注意两种形式；可用待定系数法求解，但应注意两种形式；(2)可采用设法：可采用设法：mx2ny21(m0，n0，mn)【例例2 2】 根据下列条件求椭圆的标准方程：根据下列条件求椭圆的标准方程：解：解：(1)设椭圆的标准方程是设椭圆的标准方程是 1 1或或 1(ab0)由题意知由题意知2a|PF1|PF2| ，a在方程在方程 1 1中，令中，令xc得得|y|在方程在方程 1 1中，令中，令yc得得|x|依题意并结合图形

11、知依题意并结合图形知即椭圆的标准方程为即椭圆的标准方程为(2)设椭圆的标准方程为设椭圆的标准方程为mx2ny21(m0，n0，mn)，A(0,2)，B 在椭圆上，在椭圆上，所求椭圆方程为所求椭圆方程为x2 1.变式变式2 2：(20092009宁夏、海南卷宁夏、海南卷)根据下列条件求椭圆的标准方程根据下列条件求椭圆的标准方程 (1)已知椭圆已知椭圆C的中心为直角坐标系的中心为直角坐标系xOy的原点，焦点在的原点，焦点在x轴上，它的轴上，它的 一个顶点到两个焦点的距离分别是一个顶点到两个焦点的距离分别是7和和1； (2)以短轴的一个端点和两焦点为顶点的三角形为正三角形，且焦以短轴的一个端点和两焦

12、点为顶点的三角形为正三角形，且焦 点到椭圆的最短距离为点到椭圆的最短距离为解解：(1)设椭圆长半轴长及半焦距分别为设椭圆长半轴长及半焦距分别为a，c，由已知得由已知得解得解得a4，c3，所以椭圆所以椭圆C的方程为的方程为 1.(2)由已知条件和椭圆的定义知由已知条件和椭圆的定义知a2c，且，且aca2 ，c ，b2a2c29.当焦点在当焦点在x轴上，所求方程为轴上，所求方程为 1；当焦点在当焦点在y轴上，所求方程为轴上，所求方程为 1.椭圆的离心率椭圆的离心率e 是刻画椭圆性质的不变量，当是刻画椭圆性质的不变量，当e趋近于趋近于1时，时， 椭圆越扁，当椭圆越扁，当 e 趋近于趋近于 0 时，椭

13、圆越圆时，椭圆越圆 求椭圆的标准方程需要两个条件，而求椭圆的离心率只需要根据一个条件得求椭圆的标准方程需要两个条件，而求椭圆的离心率只需要根据一个条件得 到关于到关于a、b、c的齐次方程，结合的齐次方程，结合a2b2c2即可求出椭圆的离心率即可求出椭圆的离心率【例例3】 已知点已知点A，F分别是椭圆分别是椭圆 1(ab0)的右顶点和左焦点的右顶点和左焦点，点点 B 为椭圆的一个短轴端点，若为椭圆的一个短轴端点，若 0，则椭圆的离心率则椭圆的离心率e为为 () A. B. C. D.思维点拨思维点拨：寻找：寻找|BO|2|FO|OA|，转化为，转化为a、b、c的关系式，再整理为关于的关系式，再整

14、理为关于e的的方程可解得方程可解得 0，BFBA，又，又BOFA，|BO|2 |FO|OA|，即即b2ac.a2c2ac，e2e10.又又0eb0）的左焦点为）的左焦点为F，右顶点为，右顶点为 A A，点，点 B 在椭圆在椭圆 上，且上，且BF x 轴，直线轴，直线 ABAB 交交 y y 轴于点轴于点 P P. .若若 则椭圆的离心则椭圆的离心 率是率是() A. B. C. D. 解析解析 OA2OF，a2c，e . 答案：答案：D比如比如ac，ac是椭圆上的点到其焦点距离的最大值和最小值；通径长是椭圆上的点到其焦点距离的最大值和最小值；通径长 是过椭圆是过椭圆焦点的直线被椭圆所截得的弦长

15、的最小值等，解决与椭圆相关的最值问题一般要化焦点的直线被椭圆所截得的弦长的最小值等，解决与椭圆相关的最值问题一般要化归为函数问题，然后去求函数的最值或利用椭圆定义与不等式联手求最值归为函数问题，然后去求函数的最值或利用椭圆定义与不等式联手求最值【例例4】 已知点已知点P为椭圆为椭圆 1(ab0)上一点上一点，F1、F2分别为椭圆的左、右焦分别为椭圆的左、右焦 点，求点，求|PF1|PF2|的最大值和最小值的最大值和最小值 解：解法一解：解法一：由椭圆的定义：由椭圆的定义：|PF1|PF2|2a； |PF1|PF2| a2(当且仅当当且仅当|PF1|PF2|时等号成立时等号成立)，可知，可知 |

16、PF1|PF2|最大值为最大值为a2. 由由|PF1|2a|PF2|，|PF1|PF2|(2a|PF2|)|PF2|PF2|22a|PF2|. 其中其中ac|PF2|ac，故，故|PF1|PF2|b2， 当当|PF2|ac或或|PF2|ac时，时，|PF1|PF2|b2.最小值为最小值为b2.解法二解法二：设：设P点坐标为点坐标为(x0，y0)，由椭圆的第二定义可得由椭圆的第二定义可得|PF1|aex0，|PF2|aex0.又又ax0a，可知当可知当x00时时，|PF1|PF2|取到最大值取到最大值a2；当当x0a，或或x0a时时，|PF1|PF2|取到最小值取到最小值b2.解法三解法三：设：

17、设P点坐标为点坐标为(acos ，bsin )，则则|PF1|PF2| a2c2cos2.当当cos20时时，|PF1|PF2|取到最大值取到最大值a2；当；当cos21 1时时，|PF1|PF2|取取到最小值到最小值b2.【方法规律方法规律】1椭圆中有一个十分重要的椭圆中有一个十分重要的OF1B2(如图如图)，它的三边长分别它的三边长分别 为为a、b、c.易见易见c2a2b2，且若记且若记OF1B2， 则则cos e.2椭圆的定义中应注意常数椭圆的定义中应注意常数2a大于大于|F1F2|.因为当平面内的动点因为当平面内的动点 与定点与定点F1、F2的距离之和等于的距离之和等于|F1F2|时，

18、其动点轨迹就是线段时，其动点轨迹就是线段 F1F2；当平面内的动点与定点；当平面内的动点与定点F1、F2的距离之和小于的距离之和小于|F1F2| 时，其轨迹不存在时，其轨迹不存在 3使用椭圆的第二定义时，一定要注意动点使用椭圆的第二定义时，一定要注意动点P P到焦点的距离与到对应准到焦点的距离与到对应准 线距离之比为常数线距离之比为常数e e. .若使用的焦点与准线不是对应的，则上述之比就若使用的焦点与准线不是对应的，则上述之比就 不再是常数了不再是常数了4 4在掌握椭圆简单几何性质的基础上，能对椭圆性质有更多的了解在掌握椭圆简单几何性质的基础上，能对椭圆性质有更多的了解， 如如：ac与与ac

19、分别为椭圆上点到焦点距离的最大值和最小值；分别为椭圆上点到焦点距离的最大值和最小值； 椭圆的通径椭圆的通径( (过焦点垂直于长轴的弦过焦点垂直于长轴的弦) )长长 ，过椭圆焦点的直线被，过椭圆焦点的直线被 椭圆所截得的弦长的最小值等椭圆所截得的弦长的最小值等. .(12分分)(20092009北京海淀北京海淀)如图，矩形如图，矩形ABCD中，中，AB，BC2.椭圆椭圆M的中心和的中心和准线分别是已知矩形的中心和一组对边所在直线，矩形的另一组对边间的距离准线分别是已知矩形的中心和一组对边所在直线，矩形的另一组对边间的距离为椭圆的短轴长，椭圆为椭圆的短轴长，椭圆M的离心率大于的离心率大于0.7.(1)建立适当的平面直角坐标系，求椭圆建立适当的平面直角坐标系，求椭圆M的方程；的方程；(2)过椭圆过椭圆M的中心作直线的中心作直线l与椭圆交于与椭圆交于P、Q两点设椭圆的右焦点为两点设椭圆的右焦点为F2，当，当PF2Q 时，求时，求PF2Q的面积的面积【规范解答规范解答】解解：如图，建立直角坐标系，依题意：设椭圆方程：如图，建立直角坐标系，依题意：设椭圆方程为为1(ab0)， 1分分(1)(1)依题意依题意： ，b1，a2b2c2 4分分椭圆椭圆M的离心率大于的离心率大于0.7，a24，b21，椭圆方程为椭圆方程为 y21 .6分分(2)因为直线