2017-2018学年高中数学第三章数系的扩充与复数的引入单元质量评估新人教A版选修2-2

1、第三章 数系的扩充与复数的引入单元质量评估(120 分钟150 分)一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一 求的)a - i1.已知 a 是实数，1 丨是纯虚数，则 a 等于()A.1B.-1C. 丄D 八a - i (a -i)(l -i)(a - 1) - (a + l)f【解析】 选 A. 1 J 1 一 丿！1!丿=j是纯虚数，则 a-1=0，a+1【补偿训练】 复数 a2-b2+(a+|b|)i(a,b R)为纯虚数的充要条件是()A. a= bB. a0,且 aMbD. a0，且 a= b,a2_护=0,【解析】选 D.由已

2、知复数为纯虚数得1 + 11工：|训二b ,即I口丰-b丿所以 a0 且 a= b.【误区警示】求一个复数是纯虚数的条件 .避免出 现只限制实部等于 0,而忽视虚部不等于2.(2016 山东高考)若复数 z满足 2Z+* =3-2i，其中 i 为虚数单位，则 z=()A.1+2iB.1-2iC.-1+2iD.-1-2i【解题指南】利用共轭复数的性质解题.【解析】选 B.设 z=a+bi(a，b R)，则 2z+ 八=3a+bi=3-2i,项是符合题目要M0,解得 a=1.0 的条件的错误-2 -所以 a=1,b=-2,所以 z=1-2i.3. 复数|z|=1,且 z 工土 1,则+ 1 是()

3、A.实数B.纯虚数C.非纯虚数D.复数【解析】 选 B.设 z=x+yi(x,y R),由 z 工土 1,知 y丰0,因为|z|=1,所以 x2+y2=1,所以z- 1 (x-l) + yi (/ + y2- !) + 2yi 2y- - -;-；2 2 2 2丄一I 1 一一 Ji,因为 yM0,所以该数为纯虚数.4. (2016 全国卷I)设(1+2i)(a+i)的实部与虚部相等，其中 a 为实数，则a=()A.-3B.-2C.2D.3【解析】选 A.因为(1+2i)(a+i)=a-2+(1+2a)i,其实部与虚部相等，即 a-2=1+2a,解得 a=-3.5.设 z C,若 z2为纯虚数

4、，则 z 在复平面上的对应点落在(A.实轴上B.虚轴上C.直线 y= x(xM0)上D.以上都不对【解析】 选 C.设 z=x+yi(x,y R),则 z2=(x+yi)2=x2-y2+2xyi.i/ -y2= 0f2因为 z 为纯虚数，所以ixy Q,所以 y= x(xM0).6.复数 1 _ 2是虚数单位)的共轭复数是()2 12 1A.转B.*i2 12 1C.-iD.JJii3-t(l + 2t)- i + 2 2 1【解析】选 B.1一 N=(1十2)(1-盒)=5=5-5匚2 1所以其共轭复数为 人+刊.-3 -7.(2017 全国丙卷)设复数 z 满足(1+i)z=2i, 则|z

5、|=()-4 -2i2i(l - i) 2i【解析】选 C.由题意知：z= 1 卜-门(1!=上8.如图，在复平面内，复数 zi和 Z2对应的点分别是 A 和 B,1 22 1A.九+山1 22 1C.JJiD.-厂空i【解析】选 C.由题图知,zi=-2-i,z2=i,所以= J1=19.复数 1 + *在复平面上对应的点的坐标是()A.(1,1)B.(-1,1)【解析】选 D.1+=1-i,所以对应的点的坐标为(1,-1).|11【解析】选 C.设 z=x+yi(x,y R),D.2=i+1,i(-2 + i) 1 222 - u=J5iC.(-1,-1)1D.(1,-1)贝 U|z|=1

6、0.如果一个复数与它的模的和为i.-5 -解得 b - 丄11所以 z= h +；i.【补偿训练】 若|z|=2,且|z+i|=|z-1|, 则复数 z=_【解析】设 z=a+bi(a,b R),则: _*圧+ +17=J-/1弟_ _ _ T11.（2017 济宁高二检测）在复平面内，复数 3 =-+ i 对应的向量为 f,复数32对应的向量为/，-，,则向量心对应的复数是（【解题指南】 先求出对应的复数 32,再由JW,求对应的复数【解析】选 D. 32=对应的复数为(-1A.1B.-1C.因为 z+|z|=5+vk一瓦D.-ii.-6 -7 -在复平面内，复数 z=1-i 对应的向量为

7、仃八，复数 z2对应的向量为川,那么向量对应的复C.-1+i为:-2i-(1-i)=-1-i.12.设 zi,z2为复数，则下列四个结论中正确的是2 2 2 2A.若 0,则；B.|zi-z2|八“八C/ /：=0? zi=z2=0D.zi- 是纯虚数或零I 解析】选 D.举例说明:若 zi=4+i,z2=2-2i, / =15+8i,=-8i,较大小，故 A 错误；因为|zi-z2|2不一定等于(zi-z2)2,故|zi-z2|与 C 八不一定相等，故 B2 2 2 2 ZAZ-7、错误；若乙=2+i,z2=i-2i,贝U=3+4i,=-3-4i,+=0,但 zi=Z2=0 不成立，故 C

8、错误；设乙=a+bi(a,b R),则-=a-bi,故 Zi- =2bi,当 b=0 时，是零，当 b丰0 时，是纯虚数，故 D 正确.【补偿训练】对任意复数 z=x+yi(x,y R),i 为虚数单位，则下列结论正确的A. |z- 了|=2y2 2 2B. z =x +yC. |z-Z| 2xD. |z|w|x|+|y|【解析】选 D.因为/ =x-yi,所以 z-=2yi,所以 |z-Z|=2|y|,所以 A 错,易知 C 也不正确.因为 z2=(x+yi)2=(x2-y2)+2xyi,所以 B 错,因为|z|=丨T丨 2 ,v| vi数为(A.1-iB.1+i【解析】选D.复数Tz=1-

9、i 对应的向量为 卩，复数z2=-2i对应的向量为 仃。，则向量对应的复数【补偿训D.-1-i+一 0,但一与都是虚数，不能比-8 -w|x|+|y|, 故 D 正确二、填空题（本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分把答案填在题中的 横线上）213. 已知复数 z=1+i,则-z=_ .222 l-i【解析】* -z= 1 ；-1-i=1i-i-i=-2i.答案：-2i14. （2017 银川高二检测）如果 x-1+yi 与 i-3x 是共轭复数（x,y 是实数）,则 x+y=_ .【解析】由题意得 x-1=-3x,y=-1,1解得 x=,y=-1,3所以 x+y= L3答案:-4

10、3-15. 在复数范围内解方程|z|2+（z+诊）i=+ （i 为虚数单位）,则 z=_ .【解析】原方程化简为|z|2+（zz）i=1-i,设 z=x+yi（x,y R）,代入上述方程得 x2+y2+2xi=1-i,所以 x2+y2=1 且 2x=-1,1 2解得 X=- 1 且 y= ,1所以原方程的解是 z=- 土 i.1 V3答案:- i16. 已知 i 是虚数单位，了是复数 z 的共轭复数，若复数 z 满足（z-i）（1-i）=4, 则在复平面内对应的点位于第-9 -_ 象限.44（1 + 0【解析】由已知得，z-i= 1 i = 11=2+2i,所以 z=2+3i,则 z 的共轭复

11、数为z=2-3i,对应的点为（2,-3）,位于第四象限答案：四|祁+口【补偿训练】 在复平面内，复数 z 满足方=1 + ,则 z 对应点的坐标是 _ .【解析】因为| ：订|= J =2,2则/ =1：=i-i,z=i+i,所以复数 z 的对应点的坐标是（1,1）.答案:（1,1）三、解答题（本大题共 6 个小题，共 70 分,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）2 2Z2-Z1=a-1+(a +2a-1)i-a-3+(a+5 )i2 2=(a-a +2)+(a +a-6)i.因为 Z2-Z1是纯虚数,ct, a，+ 2 = 0 所以(a + a - 6 工%得 a=-1.18.

12、(12 分)已知 |z1|=1,|z2|=1,|z 计 Z2|= ,求 |z1-z2|.17.(10 分)已知复数 Z1=a2-3+(a+5)i,z2=a-1+(a2+2a-1)i(a R）分别对应向量TT（O 为原点）,若向量乙/对应的复数为纯虚数,求 a 的值.【解对应的复数为Z2-Z1,则-10 -【解析】在坐标系内以原点 O 为起点作出 Z1,z2对应的向量0Z， :如图，则向量2 对应 Z1+Z2/-11 -即 |z1-z2| = 1.【一题多解】设 zi=a+bi,Z2=c+di(a,b,c,d R),由题设知 a2+b2=1,2 2 2 2c +d=1,(a+c) +(b+d)

13、=3.所以 2(ac+bd)=1.因为 |z1-Z2I=(a-c)2+(b-d)2=a2+b2+c2+d2-2(ac+bd)=1+1-1=1,所以 |z1-z2|=1.2 219.(12 分)已知复数 乙,z2满足 10+5 =2Z1Z2,且乙+2Z2为纯虚数，求证：3Z1-Z2为实数.2 2茗Zr【解题指南】 对 10 +5 =2Z1Z2配方，得到(3z1-z2)2+(z1+2Z2)2=0,Z1+2Z2为纯虚数,纯虚数的平方为实数，则 3Z1-Z2为实数.22, z.z7【证明】由 10+5 =2Z1Z2,27.对应 Z 仁 Z2.07由题意知|=1,|1=1,10Z|=加,可得/ OZZ=

14、120所以/ Z2OZ=60所以在 Z2OZ 中,|1|=1,-12 -得 10-2Z1Z2+5 =02 2即(3z1-z2) +(z1+2Z2) =0,-13 -那么(3zi_z2)2=_(zI+2Z2)2=(Zi+2z2)i2由于乙+2Z2为纯虚数，可设 zi+2z2=bi(b R 且 0),2 2所以(3zi-z2) =b ,从而 3zi-z2= b,故 3zi-z2为实数.20.(12 分)已知 z 为复数,z+2i 为实数，且(1-2i)z为纯虚数，其中 i 是虚数单位.(1) 求复数乙若复数3满足|3- 3 = 1,求|3|的最小值【解题指南】(1)求复数 z 时采用待定系数法，首

15、先设 z=a+bi(a,b R),代入已知条件得到关于从而解得 a,b，得到复数乙(2) 采用待定系数法得到复数3实虚部的关系式，进而结合两点间距离公式得到|3|的最小值【解析】(1)设 z=a+bi(a,b R),则 z+2i=a+(b+2)i,因为 z+2i 为实数，所以有 b+2=0,(1-2i)z=(1-2i)(a+bi)=a+2b+(b-2a)i,因为(1-2i)z 为纯虚数，所以 a+2b=0,b-2a 工 0,由解得 a=4,b=-2.故 z=4-2i.因为 z=4-2i,贝卩=4+2i,设3=x+yi(x,y R),因为 |3-；|=1,即(x-4)2+(y-2)2=1又 I3

16、 I八 + 丫 ,故 I3|的最小值即为原点到圆(x-4)2+(y-2)2=1 上的点距离的最小值，(4,2)的距离为1 =2 又因为圆的半径 r=1,原点在圆外，所以|3|的最小值即为 2-1.221.(12 分)已知关于 x 的方程 x-(6+i)x+9+ai=0(a R)有实数根 b.(1)求实数 a,b 的值.若复数 z 满足 rZ-a-bi|-2|z|=0, 求当 z 为何值时,|z|有最小值？并求出|z|的最小值a,b 的方程，因为原点到点-14 -【解析】(1)因为 b 是方程 x2-(6+i)x+9+ai=0(a R)的实根，=-3+4i,-15 -所以(b2-6b+9)+(a

17、-b)i=0,b2-6b+ 9 = Ot故口= h解得 a=b=3.设 z=m+ni(m,n R),由 I;-3-3i|=2|z|,得(m-3)2+(n+3)2=4(m2+ n2).22即(m+1) +(n-1) =8,如图，当 Z 点在直线 OO 上时,|z|有最大值或最小值 因为|OOi|=【补偿训练】 已知复数z=1-2i(i 为虚数单位).已知 z 是关于 x 的方程 2x2+px+q=0 的一个根，求实数 p,q 的值.【解析】(1)由题意得/=1+2i,4 + 3/ (4 + 3i)(l-2t)所以 z1=兀=2-i.2(2)由题意知 2(1-2i)+p(1-2i)+q=0,化简得(-6+p+q)+(-8-2p)i=0,则有-6+p+q=0,-8-2p=0, 解得 p=-4,q=10.22.(12 分)设复数 Z1=(a2-4sin0)+(1+2cos0)i ,a R,0 (0,n),z2在复平面内对应的点在第一象限所以 Z 点的轨迹是以 O(-1,1)为圆心,以所以当 z=1-i 时,|z|有最小值，且|z|(1)把复数 z 的共轭复数记作-Z1=4+3i,求复数 Z1.二,半径-16 -(1) 求 Z2及 |z2|.若 zi=Z2,求B与 a 的值.【解析】(1)设 Z2=m+ni(m,n R),则，2 2 2=(m+