993考研数二真题及解析

1、1993 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、填空题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.把答案填在题中横线上.)(1)lim xln x =函数y二y(x)由方程sin(x2 y2) ex- xy2二0所确定，则 3 二_dxX1、设F(x) (2 )dt(x 0),则函数F(x)的单调减少区间是_Jttan x ,=dx=-, cosx(5)12已知曲线y = f (x)过点(0,),且其上任一点(x,y)处的切线斜率为xln(1 x ),则f(x)=,把所选项前的字母填在题后的括号内.)1(1)当X；0时，变量-2sin1是()XX(A)无穷小(B)无穷大(C)有界的

2、，但不是无穷小(D)有界的，但不是无穷大、选择题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.每小题给岀的四个选项中，只有一项符合题目要求|x2-1|X1 2,X式1则在点x=1处函数f (x)X=1,(A)不连续(C)可导，但导数不连续已知(A)(C)(B)(D)连续，但不可导可导,且导数连续x ,0 _ x：1,1, 1 MXM2,抄几1x,1乞x乞2X1,1MxF(x)(B)(D)Xv f (t)dt (0辽2),则F(x)为()1 12x3-,x：133x,1乞x2131x ,0=x：133x1,1x兰2设常数k 0,函数f (x) = In(A) 3(B) 2xx k在(0,7

3、)内零点个数为e(C) 1(D) 0(5)若f(x)-f(-x),在(0,：)内f(x) 0, f(x) 0,则f (x)在(-：,0)内()(C)f (X)0, f (X)：0(D)三、(本题共 5 小题，每小题 5 分,满分 25 分.)求lim x( .X2100 x).X.Mx求4dx.1 +COS2X,: x求3dx.% (1+x)3(5)求微分方程(X2-1)dy - (2xy -cosx)dx =0满足初始条件yXz0=1的特解.四、(本题满分 9 分)设二阶常系数线性微分方程y?八yjy = ex的一个特解为y = e (V x)eX，试确定常数：,L,并求该方程的通解五、(本

4、题满分 9 分)设平面图形A由x2y 2x与y_x所确定，求图形A绕直线* = 2旋转一周所得旋转体的体积六、 (本题满分 9 分)作半径为r的球的外切正圆锥，问此圆锥的高h为何值时，其体积V最小，并求岀该最小值七、 (本题满分 6 分)设x 0,常数a e,证明(a - x)：aa x.八、(本题满分 6 分)设f (x)在0,a上连续，且f (0)=0,证明:(A)f (x)：,0, f (x)：,0(B)f (x) 0, f (X) . 0f (X)0, f (X)0(1)设y =sin f (X2),其中f具有二阶导数d2y2 f(x)dx兰M,其中M = max| f (x)720$

5、童1993 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析一、填空题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.)(1)【答案】0【解析】这是个0:型未定式，可将其等价变换成 二型,从而利用洛必达法则进行求解O0洛 lim 丿 lim x = 0.x0亠 1X )0亠2x【答案】-严(x1 2y2)2ycos(x +y ) _2xy将方程sin(x2 y2) ex_xy2= 0两边对x求导，得22x 2cos(x y ) (2 x 2 yy ) e - y -2xyy = 0,化简得” y2_ex-2xcos(x2+ y2)八2ycos(x2y2) 2xy【相【相关知识点】复合函数求导法则

6、：如果u= g(x)在点x可导，而y = f (x)在点u= g(x)可导，则复合函数y = fg(x)】在点x可导，且其导数为巴 f(u) g (x)或凹=凹旦 dx dx du dx【答案】10：x 0时X X它是无界的，但不是无穷大量,即(D)选项正确.【答案】(A)由题可知因f (x)在X=1处左右极限不相等，故在X= 1处不连续，因此选(A).【答案】(D)【解析】这是分段函数求定积分当0乞x叮时，0乞X乞t乞1,故f (t)二t2,所以二、选择题(1)【答案】【解若取X1kk1 . 1 ysi n-二x1kx1k2(k二)sin k - 0,1X2k1(2 k )二2,贝U 2si

7、nX2k1 1xr(2kQ2凡k2川,).【解析】利用函数连续定义判定，即如果函数在Xo处连续，则有xlimmf(x) =lim f (x)二f (xo).Xio -lim f (x)=x_1 lim f (x)二X1一li|x2-1| linx1x -1im Ix 1X _1,2 “ ,“ 2| x 1|1 -xlin二x 1-x -1X_1_X _1=1呵(X 1)=2,二lim( x 1) = 2.X 1一当1 2时，1乞t乞x2,故f (t) =：1,所以由连续函数的介值定理知在(0, e)与(e, ：)各有且仅有一个零点(不相同).x故函数f (x)= ln x k在(0, ：)内零

8、点个数为 2,选项(B)正确.e(5)【答案】(C)【解析】方法一：由几何图形判断.由f(X)二-f ( -X),知f(x)为奇函数,图形关于原点对称;在(0,7)内f (x) 0, f (x) 0, f (x)图形单调增加且向上凹，根据图可以看岀f (x)在(Y，,0)内增加而凸，f (x) 0,(x)：0,选(C).方法二：用代数法证明.对恒等式f (x)二一f (-x)两边求导，得f(X)二f (-X), f(X)二-f (-X).当(-：,0)时，有-X (0,=),所以f (x)二f (-x) 0, f (x)二-f (x)：0,xF(x) =4f (t)dt二应选(D).【答案】(

9、B)【解析】判定函数f (x)零点的个数等价于判定函数y二f (x)与x的交点个数.x1对函数f (x) = I n x k两边对x求导，得f (x)=exf (x) = 0,解得唯一驻点x = e,J_f (x)0,0 : x : e; f (x)严格单调增加,f (x)：0,e：x f (x)严格单调减e所以X二e是极大值点，也是最大值点，最大值为f (e) =1 n e k = k 0.elim f(x) = lim(ln x一二k)=-：又因为xH0Te坚 f(x)pm(|nx + k) 当1 2时，1乞t乞x2,故f (t) =：1,所以故应选(C).三、(本题共 5 小题，每小题

10、5 分,满分 25 分.)(1)【解析】y=、sinf(x2)/ =cos f (x2) f (x2) 2x,2 2cosf(x ) f (x ) 2.【相【相关知识点】复合函数求导法则:如果u= g(x)在点x可导，而y = f (x)在点u= g(x)可导，则复合函数y = fg(x) 1在点x可导，且其导数为dx=fwa(x)或(2)【解析】应先化简再求函数的极限，因为x：0,所以(fq(x)eJp(x)dxdx +C),其中C为常数.四、(本题满分 9 分)【解【解析】要确定常数 :,只需将特解代入原微分方程后，用比较系数法即得.dydxdy du=-*-du dx100 xlim -

11、x门x2100 -xlim x汀：12xx100100 1limX. 1100=lim100 x2100 -1d 3一1一1x【解【解析】先进行恒等变形,再利用基本积分公式和分部积分法求解1兀n1V2ln(cos ) -ln(cos 0)In824822兀1ln 2.4【解【解析】 用极限法求广义积分2b+11lim2-b：2(b 1)22(5)【解【解析】所给方程是一阶线性非齐次微分方程，丄2xy亍,其标准形式是字，x2十0,x2-1通解为dxcosxk2 x .厂Xdx C代入初始条件y二土cosxdx C=%.x1,得當所以C7所求特解为sin x T厂KT【相【相关知识点】 一阶线性非

12、齐次微分方程y p(x)y =q(x)的通解公式为：-p(x)dxy=e对于特解y二e2x(V x)ex,有y二2e2xex(V x)ex二2e2x(2 x)ex,2xx2x xx2xxy = 2e (2 - x)e = 4e e (2 x)e = 4e - (3 - x)e,代入方程ysy込二ex,得恒等式4e2x+ (3 + x)ex十。2e2x+ (2 + x)eT中Be2x十(1 + x)ex= Yex,化简得(4 - 2二亠de - (3 - 2. .)ex- (1亠：亠，；)xex三ex,比较同类项系数，得4 2- 032：=,1 0解之得，-3, - - 2,- -1.于是原方程

13、为目_3目2目二-ex,所对应的齐次微分方程y37 2y = 0的特征方2程为r -3r 2 = 0,解之得匚=1卫=2.所以微分方程y 3y亠2y = -ex的通解为x2x *x2x 2xxx2xxy = qec2ey = c1e五、（本题满分 9 分）【解析】利用定积分求旋转体的体积，用微元法.x2y2 2x等价于(x1)2y2乞1.2xc2e解法一：考虑对y的积分，则边界线为兀12sin 2t2oJI一 ；412120(1_y)dy= -0(1_y)d(1-y)=得唯一驻点h = 4r,且2r: h4r ,V : 0对于所以V=2兀J0 J1_y_(1_y)=2：1.解法二：取x为积分变

14、量，则边界线为X2与y2=x(0 _x _1),如右图所示.当x dx时，所以V =2二；(2 -x)( ,2x -x2-x)dx.令x -1 = t,则x = 1 t,dx = dt,所以=J_JIt) J2(i+t)_(i+t)2_(i+t)dt = J Ji-12-tji-12+t2-1 dt.再令t =sin v,贝 Udt =cosvdv ,J” Ji _t2-t Ji -t2+t2-1 dt = J 兀(cos 日-sin 日 cosT +sin2日-1)cosTdT所以二 1 1143 3i21V=2-o(2 x)( ,2x x2x)dx =2 二 q 二一)六、(本题满分 9

15、分)【解析】这是一个将立体几何问题转化为函数求最值的问题.所以设圆锥底半径为R,如图，BC =R,AC =h,OD二r.由匹=92,AD=：0A2OD2,有AC ADR _ r h (h _r)2_r2hrR =:h2-2hr于是圆锥体积2丄mh 2r对上式两端对h求导，并令V = 0,得2Vh=r22h(h2r)h 32丄叫0,(h-2r)3 (h-2r)yiy2|q4r : h： ：,V 0所以h = 4r为极小值点也是最小值点，最小体积V(4r)=色r3.3七、(本题满分 9 分)【解析】首先应简化不等式，从中发现规律.当x 0,常数a e时,原不等式两边取自然对数可化为、/“ 亠ln(

16、a + x) lnaa ln(a x) : (a x)ln a或a + x a:令f (x) =(a x)ln a一aln( a x),则f (x) = ln aa由a . e, x 0,知ln a 1,1,故a+x从而f (x)为严格单调递增函数，且即(a x)ln a -a ln(a x) . 0,所以(a x)a；：aa：ln x1-1 nx证法一：令f (x),则f(X)2xx当x a e时，有f (x) =1_x:：: 0,x所以函数在x a e为严格单调递减函数，即f(x a) :：f (a),所以有ln(a x) In aa xa即(a x)a: aa x.八、(本题满分 9 分)【解析】证法一：用微分中值定理.对任意给定的x 0, a,由拉格朗日中值定理，得由f(0)=0,知f (xf ()x.因为M二max i f (x) i,所以将两边从 0；a做x的定积分，有证法f (x) . 0(x . 0).由定积分的基本性质可知aa0|f(x