有限元与数值方法-讲稿5-1变分原理简介

1、1有限元与数值方法有限元与数值方法第五讲第五讲5.1 变分原理与变分法变分原理与变分法授课教师：刘书田授课教师：刘书田Tel：84706149； Email：教室：综合教学楼教室：综合教学楼 351 时间：时间：2013年年4月月12日：日：8：0010：202基于变分法的求解方法基于变分法的求解方法 00000E u xB u xJ u xJ u xE u xB u x对于微分方程及边界条件，有时可找到一个一个标量（称为泛函），该泛函的极值条件等价于和。3变分法的基本概念变分法的基本概念变分法的重要性变分法的重要性;l微积分微积分l微分方程和变分原理微分方程和变分原理l从微观到宏观从微观到宏

2、观,从宏观到微观的方法论从宏观到微观的方法论中国学者贡献中国学者贡献:胡海昌胡海昌Hu-Washizu变分原理变分原理大连理工大学在变分法方面的贡献大连理工大学在变分法方面的贡献l余能原理余能原理l极限分析与安定性分析的变分原理极限分析与安定性分析的变分原理l参变量变分原理参变量变分原理l广义变分原理和拟协调元广义变分原理和拟协调元4q变分变分：( )f xy1( )( )( )f xf xf x两个函数在同一点的函数值差两个函数在同一点的函数值差( )yf x 对于自变量对于自变量xy( )( )f xf x 泛函：函数的函数泛函：函数的函数 对于函数对于函数( )yf xdfdydxdxq

3、微分微分：同一函数在两点的函数值差同一函数在两点的函数值差()( )dyf xdxf xf(x)f(x)+f(x)f(x)变分法的基本概念变分法的基本概念一元函数：一元函数： 基本概念基本概念 21xxf xF x, f , f , f ,. dx5变分法的基本概念变分法的基本概念一元泛函的一般形式是一元泛函的一般形式是 2222, , , ,.VAxF xxdVxxE xdAxxuuuu uuuu6 11212fx 11 121212 f x dxf x dx 1200f xxf xx变分与积分号可互换变分与积分号可互换函数在固定点的变分为零函数在固定点的变分为零变分法的基本概念变分法的基本

4、概念变分的运算变分的运算00( ) ( )( )( ) ()yy xyxy xyxy函数导数的变分等于变分的导数函数导数的变分等于变分的导数710()( )( ,)xxyyfF x yy yy dx()(1)yyf( )(0)yf(0)( )(0)dfffd(0)( )(0)dfffd 21( )1122min , ( ),( )(), ()xxy xyF x y xy x dxy xyy xyyyy ()( )yyy计算利用微分推导变分问题的欧拉方程利用微分推导变分问题的欧拉方程y(x)y(x)+y(x)y(x)1280( )( )( )yy xy xLagrange的泛函变分定义为2121

5、00( )( ,)xxxxdfdyF x yy yy dxddFFyydxyy 利用微分推导变分问题的欧拉方程利用微分推导变分问题的欧拉方程22221111xxxxxxxxFFdyFdFy dxdxyydxyydxydxy由分部积分9120y xxy xx21( )=0 xxFdFydxydxyy 1122222211220, (), ()0 (), ()FdFy xyy xyydxyFFFFyyyyy yy xy xyy xy 或 利用微分推导变分问题的欧拉方程利用微分推导变分问题的欧拉方程y10多元函数的变分问题多元函数的变分问题 0 xysw( x,y)F( x,y,w( x,y),w

6、( x,y),w ( x,y)dxdyw( x,y)w( x,y),s考虑下列多元函数的变分问题满足边界条件为 的边界xyxyxyxySxyxyFFFw( x,y)wwwdxdywwwFFFFF()()wdxdy(w)(w) dxdywxwywxwywFFFFF()()wdxdy(wdywdwxwywwwx)对对w(x,y)取变分可得取变分可得11多元函数的变分问题多元函数的变分问题由此推出欧拉方程由此推出欧拉方程0,0)()(SyyxxyxnwFnwFwFywFxwF则可推出自然边界条件件如果原问题没有边界条12如何建立变分式如何建立变分式: 从物理概念出发从物理概念出发 从微分方程边值问题

7、出发从微分方程边值问题出发如何由变分式推出欧拉方程如何由变分式推出欧拉方程如何利用变分式得到物理问题近似解如何利用变分式得到物理问题近似解 瑞雷法瑞雷法,里兹法里兹法,伽略金法伽略金法,有限元法有限元法13固体力学中的变分原理固体力学中的变分原理介绍虚位移原理，虚应力原理，最小总势能原理，最小总余能原理，广义变分原理虚位移原理，虚应力原理，最小总势能原理，最小总余能原理等都可以用变分方法推导求得广义变分原理可以从由变分方法推出；Lagrange乘子的物理意义14( )0uijijijjiiiufxxnPxSuuxS满足位移边界条件及连续性条件的任意无限小位移称满足位移边界条件及连续性条件的任意

8、无限小位移称为为许可位移许可位移1. 虚位移原理（虚功原理）虚位移原理（虚功原理）固体力学中的变分原理固体力学中的变分原理微分方程：微分方程：150uijiiiijjiiiiSSjuf dunP dSuuu dSx0ijiiiijjiSjijijjiiiiijjiSSjijijiiiiSufdunP dSxudnu dSf u dunP dSxdP u dSf u d ijijiiiiSdP u dSfu d 在任意的虚位移上在任意的虚位移上, ,内力虚功内力虚功= =外力虚功外力虚功固体力学中的变分原理固体力学中的变分原理取取 则则0oniuuS16,12iji jj iiiuuuuuxS1

9、02jiijijiijSjiuudP uudSxx 和外力和外力(包括表面力和体力包括表面力和体力)平衡的任意应力称为许可应力；平衡的任意应力称为许可应力；非真实的许可应力是虚应力。非真实的许可应力是虚应力。2.2.虚应力原理虚应力原理171202()ujiijijiiiSjiiijijijiiiSjiijijijiijiiijjiSjjjjuudP uudSxxuddP uu dSxuuddudun dSudxxxx 对第 项进行分部积分（以便消除位移的导数）： 代入上式0uijijijiiijjiiiSSjdudun dSP uu dSx ，得2.2.虚应力原理虚应力原理180uijiji

10、iSduPds 任意的虚应力在协调任意的虚应力在协调位移上作的功为零位移上作的功为零2.2.虚应力原理虚应力原理0 (*)0 ()0 0uuijijijiiijjiiiSSjiijjSijijijjiijjijijiiSdudun dSP uu dSxun dSfxxPnduPdS 其中，在给定面力的边界上面力变分为零，即 另外，由平衡方程可给出以下二式：代入式(*)，得到19一般情况下的最小总势能一般情况下的最小总势能应变能：应变能：UWd00, ijijijijijijUWdddWd ijijW物理方程的物理方程的一种表示一种表示W 为单位体积应变能为单位体积应变能3. 最小总势能原理最小

11、总势能原理对于线性问题：对于线性问题：11112222TijijijklklijWE T DWD20()iiiiiiiiSSVf u dpu dsf u dp u dsijijiiiiSdfu dp u dS 虚功原理虚功原理:3. 最小总势能原理最小总势能原理00ijijijijijijijijijijijijUWdxddddWdd 21对于线性问题：对于线性问题：12pTTTSU Vddds Df up u0:(UV )UV, 由虚功原理可得这就是最小总势能原理3. 最小总势能原理最小总势能原理例：断面积为例：断面积为A的直杆拉伸问题的直杆拉伸问题LLLPuqudxdxdxduEAVU00

12、221qP22该问题微分方程为：该问题微分方程为：3. 最小总势能原理最小总势能原理22000d uEAqdxduu();EAPdx21220022232311221222122322121411223231204133LLx LLiu( x)a xa x ,duEAdxqudxPu( x)dxEA(a La a La L )a qLa qLPuqLPLEALEALaaaEALEALqLPL 设代入势能泛函23p一般地说，利用这个方法得到的位移比应力的精度要高p如果试探函数属是完备的，则随着项数的增加，得到的解趋于精确解。试探函数要完备，一定要包含反映常应变的项p由于采用近似函数得到的总势能值

13、会高于精确解对应的总势能值，所以近似解的应变能会小于精确解的应变能，近似解通常过刚（总势能应变能；应变能越大，结构越柔）,即求得的位移往往比真实位移小，但求得的应力就没有确定的结论基于变分原理的近似方法基于变分原理的近似方法24系统的余能包括两部分,一部分是余应变能Uc,一部分是已知位移边界条件上的外力余能Vcij0 11 221 2uuCCijCiiScCijijTCijklijklTtCSCiW dPu dSWWdWCddS 其中为材料单位体积贮存的余应变能对于线性弹性问题可以写成考虑余能对应力的变分得到 C CP u0, ujijiiSdPu dS相当于虚应力原理4.4.最小余能原理最小

14、余能原理25最小余能原理：所有的许可应力状态中，真实应力状态使系统最小余能原理：所有的许可应力状态中，真实应力状态使系统的余能取最小值的余能取最小值p 对非线性弹性问题，余能原理一样成立对非线性弹性问题，余能原理一样成立p 应用最小余能原理时要求许可应力状态满足和外力（包括给定的面力和应用最小余能原理时要求许可应力状态满足和外力（包括给定的面力和体力）平衡；真实应力状态也是一个特殊的许可应力状态体力）平衡；真实应力状态也是一个特殊的许可应力状态p 许可应力状态和真实应力状态的区别在于：许可应力状态和真实应力状态的区别在于： 由许可应力状态和应力应变关系可以求得相应的应变，但是这些应变可由许可应力状态和应力应变关系可以求得相应的应变，但是这些应变可能不协调；而真实应力状态相应的应变是协调的。能不协调；而真实应力状态相应的应变是协调的。p 简单地说，最小余能原理相当于协调方程简单地说，最小余能原理相当于协调方程p 最小余能原理可用来构造杂交单元的有限元列式最小余能原理可用来构造杂交单元的有限元列式4.4.最小余能原理最小余能原理26各种变分原理和基本