《圆锥曲线》单元测试题

1、圆锥曲线单元测试题班级_ 姓名_学号_ 分数_第I卷（选择题共 60 分）一、选择题（本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选 项中，只有一项是符合题目要求的.）x2y1、 若双曲线孑一古=1 的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率为（）B . 5D . 2y2X212、 圆锥曲线 9 + 乐=1 的离心率 e=2,贝 y a 的值为（）55A . 4B . 4C. 4 或一 4D .以上均不正确3、 以椭圆的右焦点 F2为圆心的圆恰好过椭圆的中心，交椭圆于点M、N,椭圆的 左焦点为F1,且直线 MF1与此圆相切，则椭圆的离心率 e 为（）1B.

2、 2 32 2 2 24、 已知双曲线希一 b = 1 与椭圆 X 十缶=1 的离心率互为倒数，其中 a0,a2b0, 那么以a1、a2、b 为边长的三角形是（）A .锐角三角形B .直角三角形C.钝角三角形D .等腰三角形X2y215、设椭圆 m2+1（m0, n0）的右焦点与抛物线 y2= 8x 的焦点相同，离心率为刁则此椭圆的方程为（）y = kx+ 16、已知椭圆E:1,对于任意实数 k,下列直线被椭圆E 截得的弦长与 I:1被椭圆 E 截得的弦长不可能相等的是（）C 挡住，则实数 a 的取值范围是（）A . kx+ y+ k= 0B. kx y 1 = 0 C. kx+ y k= 0

3、D. kx+ y 2= 07、过双曲线 M : x2 y2= 1 的左顶点 A 作斜率为 1 的直线 I,若 I 与双曲线 M 的两 条渐近线分别相交于点 B、C,且|AB|=|BC|,则双曲线 M 的离心率是（）8、设直线 1: 2x+ y+ 2= 0 关于原点对称的直线为 I,若 I与椭圆 x2+；= 1 的交点为 A、1B,点 P 为椭圆上的动点，贝卩使厶 PAB 的面积为的点 P 的个数为（）A . 1B. 2C. 3D. 4x2y29、设 F1、F2分别是椭圆 孑+器=1（ab0）的左、右焦点，与直线 y = b 相切的。F2交椭圆于点 E,且 E 是直线 EF1与。F2的切点，贝

4、V 椭圆的离心率为（）x210、如图所示，从双曲线 孑b= 1（a0 , b0）的F 引圆 x2+ y2= a2的切线，切点为 T,延长 FT 交双支于P 点，若 M 为线段 FP 的中点，0 为坐标原点，则|MO| |MT|与 b a 的大小关系为（）A . |MO| |MT|b aB . |MO| |MT|= b aC . |MO| |MT|b0)的离心率为右2,过原点 O 斜率为 1 的直线与椭圆C 相交于M，N 两点，椭圆右焦点 F 到直线 I 的距离为.2.(1)求椭圆 C 的方程；设 P 是椭圆上异于 M , N 外的一点，当直线 PM，PN 的斜率存在且不为零 时，记直线 PM

5、的斜率为 k1,直线 PN 的斜率为 k2,试探究 k1k2是否为定值若是，求 出定值；若不是，说明理由.19、过点 M(1,1)作直线与抛物线 x2= 2y 交于 A、B 两点，该抛物线在 A、B 两点处 的两条切线交于点 P.(1) 求点 P 的轨迹方程；(2) 求厶 ABP 的面积的最小值.已知菱形 ABCD 的顶点 A, C 在椭圆 x2+ 3y2角线 BD 所在直线的斜率为 1.(1)当直线 BD 过点(0,1)时，求直线 AC 的方当/ABC= 60时，求菱形 ABCD 面积的X21、如图，在由圆 O: x2+ y2= 1 和椭圆 C:2a=1(a1)构成的“眼形”结构中，已知椭圆

6、的离心3，直线 I 与圆 O 相切于点 M，与椭圆 C 相交于两点A，B.(1) 求椭圆 C 的方程；1(2) 是否存在直线 I，使得 OAOB=2OM2，若存在，求此时直线 I 的方程；若不 存在，请说明理由.22、已知椭圆的两个焦点 F1(- .3，0)，F2( .3，0)，过 F1且与坐标轴不平行的直线 11与椭圆相交于 M，N 两点，如果 MNF2的周长等于 8.(1) 求椭圆的方程；(2) 若过点(1,0)的直线l与椭圆交于不同两点 P、 Q,试问在x轴上是否存在定点 E(m,0)，使 PE QE 恒为定值若存在，求出E的坐标及定值；若不存在，请说明理由.圆锥曲线单元测试题答案选择题

7、：20、对程；最大值.+ y2率为题123456789101112x2113、2 + y2=i14、-1三、 解答题：17、解析设 C、D 点坐标分别为 C(xo, yo), D(x, y),则 AC = (xo+ 2, yo), AB =(4,0),则 AB+ AC = (xo+ 6, yo)，故 AD =AC)=多 + 3,罗.X0 cc2+ 3 = x + 2,又 AD = (x+ 2, y),故yo=y.xo= 2x 2,解得yo= 2y.代入|AC|= xo + 22+ yo= 2 得 x2+ y2= 1,即为所求点 D 的轨迹 E 的方程.(2)易知直线 I 与 x 轴不垂直，设直

8、线 I 的方程为y = k(x+2)x2y2又设椭圆方程为 笃+刁匕=1 (a24)a a 4因为直线 I 与圆 x2+ y2= 1 相切，故竽 =1,解得 k2=.将代入整理得Vk2+ 13(a2k2+ a2 4)x2+ 4a2k2x+ 4a2k2 a4+ 4a2= o,13而 k2= 3,即(a2 3)x2+ x 护4+ 4a2= o,、a2设 M(X1, y1), N(X2, y2)，贝 U X1+ X2=23.15、3016、a 3a24x2由题意有=2X4求得 a2= 8经检验，此时 0 故所求的椭圆方程为 T +a 358y24 18、解析设椭圆的焦距为 2c(c0)，焦点 F(c

9、,O)，直线 I : x y = 0,F 到 I 的距离为鸟=.2,解得 c= 2,又 e=a=22，.ia=22，b=2.、x2y2椭圆C的方程为+专=1.x2y2+ = 1由84，y=x,2v6 2 ,628 y-于 y+于y23 kPM kPN=-6 6=口，xx+- *3由 x8 + y4= 1,即 x2= 8 2y2,代入化简得 k1k2= kPMkPN= 1 为定值.19、解析设直线 AB 方程为 y = k(x 1) + 1,代入 x2= 2y 中得，x2 2kx+ 2k 2 = 0其中= ( 2k)2 4(2k 2)= 4(k 1)2+ 10 x2x2记 A X1, y , B

10、 X2, 2，贝 yX1+x= 2k, X1X2= 2k 2.对 y = 2 求导得，丫= xx2则切线 PA 的方程为 y= X1(x X1) + px2即 y = X1X 2同理，切线 PB 的方程为 y= X2X 解得 x = y=，或 x= y236,不妨设 M#,乎,N 护236，P(x, y)，x= k于是得 P(k, k 1),设 P(x, y)，贝,y= k 1消去参数 k,得点 P 的轨迹方程为 x y1 = 0.(2 )由(1)知|AB|= .1+ k2|X1 X2|=1 + k2X1+ X22 4X1X2=2 1 + k2k2 2k+ 2.点 P 到直线 AB 的距离|k

11、k 1 +1 k 1|_ k2 2k + 2d 1 + k21 + k2 ABC 的面积12323S_ 2|AB| d_ (k2 2k+2)Q_(k 1)2+ 1夕当 k_ 1 时，S 有最小值 1.20、解析(1)由题意得直线 BD 的方程为 y_ X+ 1. 因为四边形 ABCD 为菱形，所以 AC 丄BD. 于是可设直线 AC 的方程为 y_ X+n.X2+ 3y2_ 4,由得 4X2 6nx+ 3n2 4_ 0.y_ x+ n因为 A, C 在椭圆上，所以 _ 12n2+ 640, 解得撐*堺.设 A, C 两点坐标分别为(X1, y1),(驱,y2)，贝 V3n3n2 4X1+X2_

12、 2，X1X2_4，y1_ X1+ n, y2_ X2+ n.由、两式得点P 的坐标为X1+ X22X1X2Y，所以 y1+ y2_n，所以 AC 的中点坐标为3n，n.由四边形ABCD为菱形可知，点-4, 4在直线 y=x+1 上，所以 4=弓+1, 解得 n= 2.所以直线 AC 的方程为 y= x 2,即 x + y+ 2 = 0.因为四边形 ABCD 为菱形，且/ ABC= 60所以 |AB|= |BC|= |CA|.所以菱形 ABCD 的面积 SulACI2.由(1)可得 |AC |2= (xi一 X2)2+ (yi y2)2=所以 S=( 3n2+16) 4-3nv4# 所以当 n

13、= 0 时，菱形 ABCD 的面积取得最大值 4 3.21、解析(1)Te= a-6，c2= a2 1，二-=2,x2解得：a2= 3,所以所求椭圆 C 的方程为 + y2= 1.(2)假设存在直线 I，使得 OAOB=2QM2易得当直线 I 垂直于 x 轴时，不符合题意，故设直线 I 方程为 y = kx+ b，由直线 I 与圆 0 相切可得，b2= k2+ 1 . x2把直线 y= kx+ b 代入椭圆 C： 3 + y2= 1 中，整理得：(1 + 3k2)x2+ 6kbx+ 3b2 3 = 0OA 0B= X1X2+ y1y2= X1X2+ (kx1+ b)(kx2+ b) = (1

14、+ k2)x1X2+ kb(x1+ X2)+ b26k2b24b2 3k2 3 1 金1+3 旷b2=1 + 3k2=。由两式得 k2= 1， b2= 2，3n2+ 162贝 y X1+X2= 6kb1 + 3k2,X1X2=3b2 31+ 3 k2，=(1 + k2)3b3+1+ 3k2能徒为定值 64,17.9由 Eg, 0 可得 PE =9.PEQE=81 3=33厂匚QE6446417综上所述当 E -8, 0 时,故存在直线 I，其方程为 y= . 2.22、解析由题意知 c= 3, 4a = 8,二 a = 2, b= 1,椭圆的方程为 4+y2= i.当直线 I 的斜率存在时，设其斜率为k,则 I 的方程为 y = k(x1),X4 + y2= 1由4消去 y 得(4k2+ 1)x2 8k2x+ 4k2 4= 0,y= kx 1设 P(x1, y1), Q(x2, y2)则由韦达定理得8 k24 k2 4x1+x2= 4k2+ 1,x1x2= 4k2+ 1,则 PE= (m X1