线性系统理论第十章

1、第十章第十章 多变量系统频域法基础多变量系统频域法基础多变量受控对象的基本特征是存在耦合多变量受控对象的基本特征是存在耦合( (或交连或交连) )，其，其传递函数矩阵传递函数矩阵G(s)G(s)非对角化，这时每个输入控制分量将对非对角化，这时每个输入控制分量将对每个输出分量产生影响。若在控制器每个输出分量产生影响。若在控制器K(s)K(s)设计中不做特殊设计中不做特殊处理，所构成的开环传递函数矩阵处理，所构成的开环传递函数矩阵G(s)K(s)G(s)K(s)及闭环传递函及闭环传递函数矩阵数矩阵(s)(s)也将是非对角化的，并分别成为开环耦合及也将是非对角化的，并分别成为开环耦合及闭环耦合。一个

2、多变量闭环控制系统在存在耦合的情况下，闭环耦合。一个多变量闭环控制系统在存在耦合的情况下，对于跟踪指令信号的设计问题试十分复杂的，难于实现一对于跟踪指令信号的设计问题试十分复杂的，难于实现一对一地控制；对一地控制； 给稳定性的设计也带来很大的困难，这时闭环特征方程的给稳定性的设计也带来很大的困难，这时闭环特征方程的阶次甚高。解决多变量系统的解耦问题已有许多方法，如阶次甚高。解决多变量系统的解耦问题已有许多方法，如基于矩阵对角化的方法、按不变性原理的解耦方法、状态基于矩阵对角化的方法、按不变性原理的解耦方法、状态反馈解耦等，还有反馈解耦等，还有6060年代英国学派年代英国学派Rosenbrock

3、Rosenbrock等人在研究等人在研究多变量系统频域法与时域法之间的联系后，提出了对角优多变量系统频域法与时域法之间的联系后，提出了对角优势的解耦方法，只要把多变量受控对象的传递函数矩阵改势的解耦方法，只要把多变量受控对象的传递函数矩阵改造成对角优势矩阵，实现近似的解耦，便可以将多变量闭造成对角优势矩阵，实现近似的解耦，便可以将多变量闭环系统当成多个单变量系统来进行设计，并建立了一套环系统当成多个单变量系统来进行设计，并建立了一套 将单变量系统中成功应用的频域设计方法推广到多变量系将单变量系统中成功应用的频域设计方法推广到多变量系统中去的理论和方法，在解决工业生产过程中的控制问题统中去的理论

4、和方法，在解决工业生产过程中的控制问题中获得满意的结果。中获得满意的结果。多变量系统的频域设计方法有现代频域法之称，对角多变量系统的频域设计方法有现代频域法之称，对角优势理论是其核心和基础。现代频域法已成为现代控制理优势理论是其核心和基础。现代频域法已成为现代控制理论的重要组成部分，是状态空间法的新发展，它保留了经论的重要组成部分，是状态空间法的新发展，它保留了经典频域法中物理概念清晰，图形直观，可以利用实验数据，典频域法中物理概念清晰，图形直观，可以利用实验数据，对数学模型要求不甚精确，便于发挥人的经验技巧满对数学模型要求不甚精确，便于发挥人的经验技巧满足工程指标要求，所设计的控制器较为简单

5、等有点，为多足工程指标要求，所设计的控制器较为简单等有点，为多变量系统设计开辟了一条新途径，弥补了状态空间设计方变量系统设计开辟了一条新途径，弥补了状态空间设计方法的不足。这种设计方法需要借助有图象显示的大型数字法的不足。这种设计方法需要借助有图象显示的大型数字计算机进行辅助设计，以人计算机进行辅助设计，以人机对话方式发挥人的主观能机对话方式发挥人的主观能动性，在计算机技术迅猛发展的今天，该方法将获得逐步动性，在计算机技术迅猛发展的今天，该方法将获得逐步的推广应用。限于篇幅，这里主要介绍的推广应用。限于篇幅，这里主要介绍RosenbrockRosenbrock提出的提出的NyquistNyqu

6、ist阵列设计方法及其基本理论，对序列回差设计法阵列设计方法及其基本理论，对序列回差设计法的基本思路作了简介。的基本思路作了简介。10.110.1对角优势矩阵基本理论对角优势矩阵基本理论10.2 10.2 多变量对角优势系统的乃氏判据多变量对角优势系统的乃氏判据10.310.3获得对角优势的方法获得对角优势的方法 10.4 10.4 逆乃氏阵列设计步骤及举例逆乃氏阵列设计步骤及举例10.510.5序列回差设计法基本概念序列回差设计法基本概念10.1 10.1 对角优势矩阵基本理论对角优势矩阵基本理论 定义定义10.1 10.1 对于由实数或复数对于由实数或复数构成构成的的 阶方阵阶方阵 ，假如

7、同行中对角元模值比其余非对角元模，假如同行中对角元模值比其余非对角元模值之和还要大时，即值之和还要大时，即 （10.110.1）则称则称 为行对角优势矩阵。为行对角优势矩阵。( ,1,)ija i jm mA11,miiijijj iaadimA同理，假如同一列中对角元模值比其余非对角元模值同理，假如同一列中对角元模值比其余非对角元模值之和还要大时，即之和还要大时，即 （10.210.2）则称则称 为列对角优势矩阵。为列对角优势矩阵。行（列）对角优势不一定列（行）对角优势，二者统行（列）对角优势不一定列（行）对角优势，二者统称对角优势矩阵。对角阵是对角优势矩阵的特例。称对角优势矩阵。对角阵是对

8、角优势矩阵的特例。11,miijiijj iaadimA称称 为第为第 行的行估计，行的行估计， 为第为第 列的列估计。列的列估计。比值比值 、 分别称为第分别称为第 行、第行、第 列的优势度，列的优势度，对角优势矩阵的优势度小于对角优势矩阵的优势度小于1 1。定义定义 10.2 10.2 任意任意m m阶方阵阶方阵 ，以对，以对 角元在复平面上的对应点为圆心，以第角元在复平面上的对应点为圆心，以第 行的行估计为行的行估计为 为半径作圆，称为为半径作圆，称为 的第的第 行的行格氏圆。行格氏圆方行的行格氏圆。行格氏圆方程为程为 （10.310.3）idiidiiiidaiiidaii ( ,1,

9、)ijAai jm1,iiisadimiiaiidAi若以第若以第 列的列估计列的列估计 为半径作圆，称为为半径作圆，称为 的第的第 列的列格列的列格氏圆。列格氏圆方程为氏圆。列格氏圆方程为 （10.410.4）对于行（列）对角优势阵，由于对于行（列）对角优势阵，由于（ ），行），行（列）圆圆心至原点的距离大于半径（列）圆圆心至原点的距离大于半径 （ ），故行（列），故行（列）格氏圆内不包含原点。格氏圆内不包含原点。 具有具有m m个行（列）格氏圆，称格氏行（列）集。个行（列）格氏圆，称格氏行（列）集。iidAi1,iiisadimiiiadiiiadididA 任一任一m m阶方阵阶方阵 ，

10、其特征值均处在，其特征值均处在格氏行集或格氏列集内，即格氏行集或格氏列集内，即 （10.5a10.5a）或或 （10.5b10.5b） ( ,1,)ijAai jm11,miiiijjj iadaim11,miiijijj iadaim证明证明 由矩阵由矩阵A A的特征方程的特征方程表明矩阵表明矩阵 的列是线性相关的，必存在任意的不全的列是线性相关的，必存在任意的不全为零的常数为零的常数 ，使，使1112121222112.det()0.mmmmmmmaaaaaaIAaaaaa()IA1m110mmaa成立，可表为下列成立，可表为下列m m个方程个方程于是有于是有若选择若选择1()1,miii

11、jijjj iaaa aim1miiiiijjj iaamax1,ijajm则有则有同理可证明同理可证明格氏定理又称为特征值估计定理，它规定了矩阵格氏定理又称为特征值估计定理，它规定了矩阵A A的特征的特征值在复平面上所处的区域位置。应说明的是，并非每个格值在复平面上所处的区域位置。应说明的是，并非每个格氏圆内都一定存在特征值，很可能在某个格氏圆内有几个，氏圆内都一定存在特征值，很可能在某个格氏圆内有几个，而某个格氏圆内一个特征值也没有。而某个格氏圆内一个特征值也没有。11,miiijijj iaadim11,miijiijj iaadim 对角优势矩阵对角优势矩阵A A不存在不存在 的特征值

12、，这时由的特征值，这时由于当于当 时，时， 或或 ，A A就不成就不成为一个对角优势矩阵。为一个对角优势矩阵。 对角优势矩阵对角优势矩阵A A一定是一个非奇异矩阵。一定是一个非奇异矩阵。证明证明 用反证法，设用反证法，设A A是行对角优势的，但是是行对角优势的，但是 即即A A的的m m列线性相关，有任意不全为列线性相关，有任意不全为零的常数零的常数 使使001miiijjj iaa1miijijj iaa1detdet0mAaa1,m成立，即成立，即若选择若选择则则1111,mimimjijjaaaimmax1,ijajm11,miiiiijjj iaajm 11mmiiiiijiijjjj

13、 ij iaaa有有导出了与行对角优势定义相矛盾的结果。至于列对角优势导出了与行对角优势定义相矛盾的结果。至于列对角优势的情况可作类似的证明。故对角优势矩阵的情况可作类似的证明。故对角优势矩阵A A一定是非奇异一定是非奇异矩阵，即矩阵，即不过逆定理并不成立，非奇异矩阵并不一定对角优势阵。不过逆定理并不成立，非奇异矩阵并不一定对角优势阵。1miiijjj iaadet0A 设行（列）对角优势方阵设行（列）对角优势方阵A A的逆阵的逆阵 ，则，则 的对角元的对角元 的模值一的模值一定大于其第定大于其第 列（行）非对角元的模值，即存在列（行）非对角元的模值，即存在 (10.6a)(10.6a)或或

14、(10.6b)(10.6b) 1( ,1,)ijAAai jmAiiai,1,01()jiiijji jmaaA为行对角优势,1,01()ijiiiii jmaaA为列对角优势证明证明 由行对角优势定义有由行对角优势定义有令令 (10.7)(10.7)必存在必存在 ， 为行优势度。为行优势度。11,mjjjkkkjaajm11mjkkmkjjkjkjjjjkjaaaa01jj根据根据有有mAAI11111111111001jmjmjijjjmjijjjmmmjmmmmjmmaaaaaaaaaaaaaaaaaa即即11111100maxijimijjjjmmjikijjjkkkjmjkjikik

15、jjkjmmjkjkjikikikkjjjjkjkja aa aaaa aa aaaaaaaaaaaa 即即（10.810.8）该式意为该式意为 的的 元之模，即非对角元之模，在第元之模，即非对角元之模，在第 列中列中不是最大者，而且对于不是最大者，而且对于 都满足这一关系，换句话说，都满足这一关系，换句话说，只有对角元才是第列的最大者，即有只有对角元才是第列的最大者，即有 （10.910.9）故故 得证。得证。maxjikijaaijA( , )j iiij,maxkiiik kjaajiiijaa同理可以证明同理可以证明 ，式中，式中 为列优势度。以上为列优势度。以上定理表明，对角优势矩阵

16、的逆阵仍是对角优势矩阵。定理表明，对角优势矩阵的逆阵仍是对角优势矩阵。定义定义10.3 10.3 在复平面上由一些直线段、圆弧构成的封在复平面上由一些直线段、圆弧构成的封闭曲线且该封闭曲线自身不相交，称此封闭曲线为初等围闭曲线且该封闭曲线自身不相交，称此封闭曲线为初等围线，记为线，记为 。设有理分式方阵为设有理分式方阵为 ，当其，当其对角元对角元 在在 上无极点且满足上无极点且满足ijiiiaaiD( )( ),1,ijB sb si jm( )(1,)iib s im D（10.1010.10）则称则称 在在 上是行对角优势的；上是行对角优势的；若满足若满足 （10.1110.11）则称则称

17、 在在 上是列对角优势的。上是列对角优势的。1( )( ),1,miiijijj ib sb sdsD im ( )B sD1( )( ),1,miijiijj ib sbsdsD im ( )B sD 上任一点有确定的上任一点有确定的s s值，故值，故 是复域的数字方阵，是复域的数字方阵，以前所述数字方阵的对角优势结论均适用。以前所述数字方阵的对角优势结论均适用。 对一确定的对一确定的s s，以，以 圆心、以圆心、以 为为半径，将画出一个格氏圆，由于半径，将画出一个格氏圆，由于 ，故有个行（列），故有个行（列）格氏圆。当沿顺时针旋转一周时，其格氏圆。当沿顺时针旋转一周时，其 和和 在变化，即

18、格氏圆的圆心和半径在变化，由这些格氏圆扫在变化，即格氏圆的圆心和半径在变化，由这些格氏圆扫出的出的m m条带状区域，称为行（列）格氏带。条带状区域，称为行（列）格氏带。D( )B s( )iib s()id d1,im ( )iib s()(1,)id dim 若若m m阶有理分式矩阵阶有理分式矩阵 在在 上是行（列）上是行（列）对角优势的，则其对角优势的，则其m m条行格氏带均不包含原点。该定理由条行格氏带均不包含原点。该定理由对角优势定义是显而易见的。利用格氏带图形是否包含原对角优势定义是显而易见的。利用格氏带图形是否包含原点可判断矩阵点可判断矩阵 是否为对角优势矩阵，且是系统稳定性是否为

19、对角优势矩阵，且是系统稳定性分析的基础。分析的基础。设有理分式矩阵设有理分式矩阵 在在 上是行对角优势的，其逆阵上是行对角优势的，其逆阵 对于对于 上任一点上任一点 有有( )B sD( )B s( )B sD( )( )( ,1,)ijB sb si jmD0s （10.1210.12）式中式中若在若在 上是列对角优势的，则有上是列对角优势的，则有（10.1310.13）10000|()()|()()iiiiiibsb ss d s1,im 001()|()|miikkk id sbs0,0()()|()|maxiij j ijjd ssbs00()1isD10000|()()|()()ii

20、iiiibsb ss ds1,im 式中式中 、 分别为行、列优势度，又称压缩因子。分别为行、列优势度，又称压缩因子。证明证明 记记 ，简记为，简记为 。由于。由于 有有001()|()|miikkk idsbs00,0()()|()|maxiij j ijjdssbs00()1is0()is0()is00()()ijB sb s()ijBbmBBI11mijijjb b展开即展开即两端同除以两端同除以 有有11miiiiijijjj ib bb biib11mjiiiijiijiij ibbbbb10,1|()maxmaxmjijiiiiiijij j ij j ijiiiij ibbbbb

21、d sbb由于由于故故 ，式得证。类似推导可证明式，式得证。类似推导可证明式（10.1310.13）。）。奥氏定理揭示了对角优势矩阵内部元素的固有关系，奥氏定理揭示了对角优势矩阵内部元素的固有关系，它也是系统稳定性分析的基础。它也是系统稳定性分析的基础。,1|maxmaxmaxmaxmaxmaxjijijiij j ij j ij j iiiiiiij j imjkjij j ij j ikjjjjk ibbbjbbbbdbb10|()iiiiiibbd s10.2 10.2 多变量对角优势系统的乃氏判据多变量对角优势系统的乃氏判据乃魁斯特判据是利用系统开环幅相频率特性曲线（乃乃魁斯特判据是利

22、用系统开环幅相频率特性曲线（乃氏轨迹）判断闭环系统稳定性的判据。先来回顾单变量系氏轨迹）判断闭环系统稳定性的判据。先来回顾单变量系统乃氏判据的导出，再将其推广到多变量的情况。统乃氏判据的导出，再将其推广到多变量的情况。 设闭环系统结构如图设闭环系统结构如图10.110.1所示，所示，图中图中11( )( )( )M sG sN s12( )( )( )M sH sNs图图10.1 10.1 单变量系统结构图单变量系统结构图G(s)H(s)RC开环传递函数开环传递函数 （10.1410.14）闭环传递函数闭环传递函数 （10.1510.15）引入辅助函数引入辅助函数 1212( )( )( )(

23、 )( )( )M s MsG s H sN s Ns121212( )( )1( )( )M NG ssG s H sN NM M（10.1610.16）式中式中 、 分别为分别为 的零点和极点，注意到的零点和极点，注意到 的零点的零点即系统闭环极点（特征值），即系统闭环极点（特征值）， 的极点即开环极点。的极点即开环极点。1121121()( )1( )( )()niiniiszN NM MF sG s H sN Nsp izip( )F s( )F s( )F s在复平面上选取下列初等围线在复平面上选取下列初等围线 ；由虚轴上从；由虚轴上从 至至 及半径为及半径为 、位于右半平面的、位于

24、右半平面的 顺时针方向的圆顺时针方向的圆弧组成。弧组成。 包围了全部位于右半平面的的零、极点；若包围了全部位于右半平面的的零、极点；若 含有虚轴上的零极点时，则以半径为无穷小的左半圆含有虚轴上的零极点时，则以半径为无穷小的左半圆绕过该零极点，即将其作为右零极点处理，见图绕过该零极点，即将其作为右零极点处理，见图10.2(a)10.2(a)。 称为乃氏周线。称为乃氏周线。DD( )F s( )F sD (a) (b) (a) (b)图图 10.2 10.2 乃氏周线及乃氏轨迹乃氏周线及乃氏轨迹s平面xxipiszizxxxxooImReDxxOImReF(s)平面O当当s s沿顺时针旋转一周，复

25、变函数沿顺时针旋转一周，复变函数 在另一复平面在另一复平面上的映像是一封闭曲线，称为乃氏轨迹。处于上的映像是一封闭曲线，称为乃氏轨迹。处于 域内部的域内部的任一任一 和和 ，至周线上一点的向量为，至周线上一点的向量为 、 ，当，当s s沿顺时针转一周时，沿顺时针转一周时， 、 均产生均产生 的幅角变化，的幅角变化，即即 、 均顺时针转一周。而处于均顺时针转一周。而处于 域以外的任一域以外的任一和，其幅角变化恒为零。和，其幅角变化恒为零。( )F sDipizispiszispisz2ispiszD幅角原理：设幅角原理：设 含含 个右零点（闭环右极点）、个右零点（闭环右极点）、 个右极点（开环右

26、极点），则当个右极点（开环右极点），则当s s沿沿 顺时针转一周时，顺时针转一周时，曲线反时针转过的圈数曲线反时针转过的圈数 为为 （10.1710.17）由于由于 ，故，故 反时针绕原点的转反时针绕原点的转过圈数就是过圈数就是 曲线反时针绕曲线反时针绕 点转过的圈数。点转过的圈数。对于闭环稳定的系统，必有对于闭环稳定的系统，必有 ，故有，故有( )F sinpnD( )F s( )encF s( )pzencF snn( )1( )( )F sG s H s ( )F s( )( )G s H s( 1, 0)j0zn 乃氏判据乃氏判据: :闭环系统渐近稳定的充要条件是闭环系统渐近稳定的充要

27、条件是 曲线反时针包围点曲线反时针包围点 的圈数等于开环右极点的个的圈数等于开环右极点的个数数 ，即，即 （10.1810.18） 对于对于m m阶有理分式方阵阶有理分式方阵 , ,由于由于 及及 都是复都是复变量变量s s的函数，故幅角原理仍然适用。的函数，故幅角原理仍然适用。( )( )G s H spn( 1, 0)j( )pencF sn( )( )( ,1,)ijP spsi jmdet( )P s( )ijps当当 为对角形矩阵时，即为对角形矩阵时，即 （10.1910.19）则则 显然有显然有 （10.2010.20）当当 在乃氏周线在乃氏周线 上是对角优势矩阵时，式（上是对角优

28、势矩阵时，式（10.2010.20）仍然成立，有下面的一般多变量系统幅角原理。仍然成立，有下面的一般多变量系统幅角原理。( )P s11( )( )( )mmP sdiag psps1det( )( )miiiP sps1det( )( )miiiencP sencps( )P sD 设设m m阶有理分式方阵阶有理分式方阵 在在 上上是对角优势的，则是对角优势的，则 （10.2110.21）证明证明 由于对角优势矩阵由于对角优势矩阵 是非奇异矩阵，故有是非奇异矩阵，故有，现构造一辅助矩阵，现构造一辅助矩阵 ， 。( )( )ijP spsD1det( )( )miiiencP sencps1,

29、im ( )P sdet( )0P s ( , )P a s01a （10.2210.22）即即 显然显然 也是对角优势矩阵。也是对角优势矩阵。111212122212( )( )( )( )( )( )( , )( )( )( )mmmmmmpsapsapsapspsapsP a sapsapsps( , )( )iiiip a sps1,im ( , )( )ijijpa saps,1,i jm ,ij( , )P a s当当 时，时， 当当 时，时， 对于任意对于任意 及及 上任意上任意 均有。均有。引入一个辅助的复变函数引入一个辅助的复变函数 ：（10.2310.23）0a (0, )

30、( )iiPsdiag ps1,im 1a (1, )( )PsP saDs(1, )( )PsP s( , )f a s1det( , )( , )( )miiiP a sf a sps是对于是对于D D上任意上任意s s有有1det(0, )(0, )1( )miiiPsfsps11det(1, )det( )(1, )( )( )mmiiiiiiPsP sfspsps对于对于D D上任一确定点上任一确定点 ，当，当a a由变由变 化时，由化时，由 将确定一条曲线将确定一条曲线 ；当；当s s沿沿D D顺时针顺时针转一周时，曲线转一周时，曲线 将在复平面扫过一个区域，将在复平面扫过一个区域

31、， 中点所围中点所围成的封闭曲线成的封闭曲线 仍是仍是 对对D D的映像，见图所示。的映像，见图所示。 曲线曲线一定不包围原点，这是由于存在某个一定不包围原点，这是由于存在某个 的值及某个的值及某个s s值使值使 时，便意味着时，便意味着 ，但，但 为对角为对角优势矩阵，故不可能存在这种情况，于是有优势矩阵，故不可能存在这种情况，于是有（10.2410.24） 0s010(0, )(1,)fsfs000(1, )fs0,1a( , )0f a s det( , )0P a s ( , )P a s(1, )0encfs 图图10.3 10.3 曲线及曲线及 曲线曲线ImRe0(1,)fs1(1

32、,)fsO0sr1sr(0, )1fs 0s而而 （10.2510.25）故式（故式（10.2110.21）得证。多变量对角优势矩阵的幅角原理可）得证。多变量对角优势矩阵的幅角原理可表为：当表为：当s s沿沿D D顺时针转一周时，对角优势的有理分式矩阵顺时针转一周时，对角优势的有理分式矩阵的行列式反时针绕原点的圈数等于主对角元有理分式的行列式反时针绕原点的圈数等于主对角元有理分式函数反时针绕原点的圈数之和。函数反时针绕原点的圈数之和。1( , )det(1, )( )miiiencf a sencPsencps1det( )( )0miiiencP sencps( )P s 设多变量闭环系统结

33、构图设多变量闭环系统结构图如图如图10.410.4所示，图中所示，图中 为前向传递函数矩阵，为前向传递函数矩阵， 为反为反馈函数传递矩阵，馈函数传递矩阵，分别为参考输入、分别为参考输入、偏差、输出反馈向量，均为偏差、输出反馈向量，均为m m维向量，系统闭环传递函数维向量，系统闭环传递函数矩阵矩阵 为为（10.2610.26）式中式中 为开环传递函数矩阵，为开环传递函数矩阵， 为系统回差矩阵。由为系统回差矩阵。由系统描述时以导出系统描述时以导出 （10.2710.27）( )Q s( )F s( )( )( )( )r se sy sz s、( ) s1( )()sQ IFQFQIFQ( )de

34、t( ) det( ) det()csQ sF sIFQ图图10.4 10.4 多变量闭环系统多变量闭环系统Q(s)F(s)ry_e（10.2810.28）分别为闭环、开环特征多项式，故分别为闭环、开环特征多项式，故 （10.2910.29）该式表明，回差矩阵的行列式的零点该式表明，回差矩阵的行列式的零点 （即闭环极点），（即闭环极点），回差矩阵的行列式的极点为回差矩阵的行列式的极点为 的零点（即开环极点）。的零点（即开环极点）。记记 为为 的逆阵，有的逆阵，有0( )det( ) det( )sQ sF s0( )( )css、0( )det()( )csIFQs( )cs0( ) s( )

35、 s( ) s（10.3010.30）可得可得 （10.3110.31）对式（对式（10.2910.29）应用幅角原理：设）应用幅角原理：设 在右半在右半s s平面平面内含内含 个零点，个零点， 在右半在右半s s平面含平面含 个零点，则当个零点，则当s s沿沿D D顺时针转一周时，有顺时针转一周时，有 （10.3210.32） ( )()sIFQ QQFdet()detdet()detdetQFIFQQQ( )cscn0( ) s0n00det()( )( )ccencIFQencsencsnn由于闭环系统渐近稳定的充要条件为由于闭环系统渐近稳定的充要条件为 ，故有下列多，故有下列多变量系统

36、乃氏判据：变量系统乃氏判据： （10.3310.33）该式可表述为：当该式可表述为：当s s沿沿D D顺时针转一周时，系统回差矩阵的顺时针转一周时，系统回差矩阵的行列式反时针绕原点旋转圈数为开环右极点的个数，则系行列式反时针绕原点旋转圈数为开环右极点的个数，则系统渐近稳定。该式并不要求存在统渐近稳定。该式并不要求存在 ，也不要求，也不要求 为对角优为对角优势矩阵，但计算势矩阵，但计算 比较复杂，不便应用。比较复杂，不便应用。0cn 0det()encIFQnQQdet()encIFQ对式（对式（10.3110.31）应用幅角原理：）应用幅角原理： （10.3410.34）假定假定为对角优势阵，

37、通常为对角优势阵，通常 为实常数对角阵，则为实常数对角阵，则也是对角优势阵，于是其也是对角优势阵，于是其 和和 可仅用对角元来确定，即可仅用对角元来确定，即 （10.3510.35）det()det()detencIFQencQFencQQF()QFdetencQdet()encQF011()mmiiiiiiinencqenc qf 由于由于 绕原点的圈数即绕原点的圈数即 绕绕 点的圈数，故点的圈数，故记记 （10.3610.36）于是于是 （10.3710.37）该式可表述为：若该式可表述为：若 及及 在在 上是对角优势的，则上是对角优势的，则 诸对角元分别反时针绕点诸对角元分别反时针绕点

38、旋转圈数之和与绕原旋转圈数之和与绕原点旋转圈数之和的差值为开环右极点个数时点旋转圈数之和的差值为开环右极点个数时, ,()iiiqfiiq(, 0)ifj()()iiiifiienc qfencq()011immfiiiiiiencqencqnQ()QFDQ(, 0)ifj则闭环系统渐近稳定。由于乃氏轨迹是按则闭环系统渐近稳定。由于乃氏轨迹是按 作出，故作出，故有逆乃氏之称，该判据称为逆乃魁斯特判据。有逆乃氏之称，该判据称为逆乃魁斯特判据。由于由于 、 是对角优势的，逆乃氏判据可表为：是对角优势的，逆乃氏判据可表为： （10.3010.30）由于回差矩阵的行列式还可表为：由于回差矩阵的行列式还

39、可表为：设设 为实常数对角阵及为实常数对角阵及 是对角优势时有是对角优势时有 ( )iiqsQ011mmiiiiiiencqndet()det()det( ) det()IFQFFFQFQFF()QF（10.3910.39）该式可表述为：若该式可表述为：若 在在D D上是对角优势，则上是对角优势，则 诸对角诸对角元分别反时针绕点元分别反时针绕点 旋转圈数之和为开环右极点旋转圈数之和为开环右极点个数时，则闭环系统渐近稳定。由于乃氏轨迹是按个数时，则闭环系统渐近稳定。由于乃氏轨迹是按 作作出的，故有正乃氏图之称，该判据称为正乃魁斯特判据。出的，故有正乃氏图之称，该判据称为正乃魁斯特判据。0detd

40、et()det()nencFencQFencQF1()1imiifiencq()QFQ1(, 0)ifj( )iiqs以上正、逆乃氏判据均利用对角优势条件导出的，若以上正、逆乃氏判据均利用对角优势条件导出的，若判定有关矩阵是对角优势的，则所述判据给出了闭环渐近判定有关矩阵是对角优势的，则所述判据给出了闭环渐近稳定的充要条件。对角优势系统的乃氏判据的特点在于通稳定的充要条件。对角优势系统的乃氏判据的特点在于通过对前向传递函数过对前向传递函数 （ ）的）的m m个单输入个单输入单输单输出系统的分析，就能确定多输入出系统的分析，就能确定多输入多输出系统的稳定性。多输出系统的稳定性。但是当不满足对角优

41、势条件时，不满足上述判据的系统仍但是当不满足对角优势条件时，不满足上述判据的系统仍可能是稳定的，即对于闭环渐进稳定的要求而言，上述判可能是稳定的，即对于闭环渐进稳定的要求而言，上述判据实质上给出了充分条件而不是必要条件。据实质上给出了充分条件而不是必要条件。 iiqs1,im 使用格氏带的图形判据使用格氏带的图形判据 借助带有图形显示或绘图机借助带有图形显示或绘图机的计算机系统，画出有关矩阵对角元的格氏带，可利用图的计算机系统，画出有关矩阵对角元的格氏带，可利用图形来同时判断是否有对角优势特性及闭环系统的渐进稳定形来同时判断是否有对角优势特性及闭环系统的渐进稳定性。已知性。已知m m阶对角优势

42、矩阵阶对角优势矩阵的的m m条格氏带均不包含原条格氏带均不包含原点，故可得如下对应正乃氏判据的格氏带图形判据：闭环点，故可得如下对应正乃氏判据的格氏带图形判据：闭环系统渐进稳定的充分条件为系统渐进稳定的充分条件为（1 1）诸）诸 的格氏带内不包含的格氏带内不包含 点；点； Q s iiqs1, 0ifj（2 2）诸）诸 的格氏带反时针围绕点的旋转周数之和的格氏带反时针围绕点的旋转周数之和为开环右极点个数为开环右极点个数 ，即，即 （10.4010.40）对应逆乃氏判据的格氏带图形判据：闭环系统渐进稳定的对应逆乃氏判据的格氏带图形判据：闭环系统渐进稳定的充分条件为充分条件为（1 1）诸）诸 的格

43、氏带内不包含原点及的格氏带内不包含原点及 点；点；（2 2）诸）诸 的格氏带围绕的格氏带围绕 点的旋转圈数与点的旋转圈数与围绕原点的旋转圈数之差为开环右极点个数围绕原点的旋转圈数之差为开环右极点个数 ，即，即 iiqs0n 101imiifinencqs iiqs, 0ifj iiqs, 0ifj0n（10.4110.41）注意到格氏带的形状与位置只与注意到格氏带的形状与位置只与 或或 有关，有关，于是研究于是研究 参数值对闭环系统稳定性的影响是较方便的，参数值对闭环系统稳定性的影响是较方便的，通常系统的设计问题便是给定通常系统的设计问题便是给定 来设计来设计 ，且，且 实常实常数对角阵。为了

44、避免系统主反馈极性出现正反馈，数对角阵。为了避免系统主反馈极性出现正反馈， 诸元诸元的符号应为正。的符号应为正。注意到乃氏周线注意到乃氏周线D D与实轴对称，因而绘制格氏带时，与实轴对称，因而绘制格氏带时，只需取只需取 。 011immiiiifiiencqsencqsn Q s Q sif Q sFFF0 例例10.110.1已知系统开环右极点个数已知系统开环右极点个数 （即系统是最小（即系统是最小相位系统）及相位系统）及试绘制格氏带，并求出保证闭环渐进稳定的反馈系数试绘制格氏带，并求出保证闭环渐进稳定的反馈系数解解 令令 ，分别绘制，分别绘制的乃氏轨迹图。的乃氏轨迹图。 00n 32432

45、266220.251.50.541014104ssssQ ssssss12,ffsj 32112662qssss 4322241014104qsssss当当 时，时， ， 。为求出乃氏轨迹与负实。为求出乃氏轨迹与负实轴的交点，可令轴的交点，可令 ，解得，解得 ； 解得解得 ，故交点在负实轴上分别位于，故交点在负实轴上分别位于 。设设 ，可绘出乃氏轨迹，轨迹点位置由，可绘出乃氏轨迹，轨迹点位置由 值确值确定，对应点的格氏圆半径为定，对应点的格氏圆半径为与负实轴交点处的格氏圆半径分别为与负实轴交点处的格氏圆半径分别为0 1102q 2204q11Im0qj1322Im0qj21 16, 0 ,6,

46、 0jj0 222120.25dj2221.50.5dj绘出的格氏带见图绘出的格氏带见图10.510.5，显见两条格氏带均不包含原点，显见两条格氏带均不包含原点，故故 是对角优势的。是对角优势的。应用格氏带图形判据，当选择应用格氏带图形判据，当选择 ， 时，格氏带既不包含时，格氏带既不包含 点，又满足点，又满足便可保证闭环系统渐进稳定。便可保证闭环系统渐进稳定。1233.47,11.58djdj Q s109.2f204f, 0ifj 220110iiiiifiiencqsencqsn图图10.5 10.5 例例10.110.1格氏带图形格氏带图形 已知有理分式矩阵已知有理分式矩阵在在D D上

47、是行对角优势的，存在奥氏定理上是行对角优势的，存在奥氏定理（10.4210.42）式中式中 if B s 1iiiiiibsbss ds1,im 1miikkk idsbs ,max,01jiij j ijjdsssbs是是的行估计。关于的行估计。关于为列对角优势的情况略。为列对角优势的情况略。记记。令令 ，当，当 为行对角优势时有为行对角优势时有, ,这时奥氏定理变形为这时奥氏定理变形为 （10.4310.43）式中式中 ids B s B s 1ijB sbsBs B ssQ sF ,Q 1,iiiiiiiiibssbsqsf 11iiiiiiisqsfs ds1,im 11miikkk

48、idsqs式中式中 是是 的第的第i i行估计，即第行估计，即第i i条行格氏带中与条行格氏带中与s s值值对应的格氏圆半径。对应的格氏圆半径。为便于应用式（为便于应用式（10.4310.43）进行设计，可令）进行设计，可令 ，即断，即断开第开第i i条反馈回路，其余反馈回路仍接通，这时的闭环传条反馈回路，其余反馈回路仍接通，这时的闭环传递函数矩阵记为递函数矩阵记为 ，并不要求，并不要求 为对角优势阵，其为对角优势阵，其逆阵为逆阵为 1,max,01jiij j ijjjdsssfqs ids s0if 0s 0s （10.4410.44）式中式中 （10.4510.45）故式（故式（10.4

49、310.43）变为）变为 （10.4610.46） 0sQ sFF0000iFdiagf 110iiiiiisqss ds1,im 以以为圆心，以为圆心，以 为半径作为半径作圆，称为奥氏圆。当圆，称为奥氏圆。当s s沿沿D D顺时针旋转一周时，该圆心位置顺时针旋转一周时，该圆心位置和半径随之变化，这些圆扫出一条带状区域称为行奥氏带。和半径随之变化，这些圆扫出一条带状区域称为行奥氏带。阶对角优势矩阵阶对角优势矩阵 共有共有m m条行奥氏带，称奥氏带行集。条行奥氏带，称奥氏带行集。关于列的情况是类似的。关于列的情况是类似的。由于由于 ，行奥氏圆半径总小于行格氏圆半径，行奥氏圆半径总小于行格氏圆半径

50、，故奥氏带总处于格氏带之内。由于故奥氏带总处于格氏带之内。由于 与其它回路的增与其它回路的增益有关，随益有关，随 增大而变小，故奥氏带随的增大而变增大而变小，故奥氏带随的增大而变窄。窄。 1iiqs iis ds Q s 01is isjfji式（式（10.4610.46）表明，）表明， 对于任意对于任意s s均小于均小于奥氏圆半径，故奥氏圆半径，故 曲线总处于奥氏带中，故奥氏带可曲线总处于奥氏带中，故奥氏带可视为粗糙的视为粗糙的 的乃氏图，示意图见图的乃氏图，示意图见图10.610.6。对应逆乃氏判据的奥氏带图形判据为对应逆乃氏判据的奥氏带图形判据为（1 1）诸）诸 的奥氏带内不包含原点和的

51、奥氏带内不包含原点和 ；（2 2）诸）诸 的奥氏带围绕的奥氏带围绕 点的周数与围点的周数与围绕原点的周数之差为开环右极点个数绕原点的周数之差为开环右极点个数 ，则闭环系统是渐，则闭环系统是渐进稳定的。进稳定的。 110iiiisqs 10iis 10iis 1iiqs 1iiqs, 0ifj, 0ifj0n图图10.6 10.6 格氏带与奥氏带格氏带与奥氏带由于奥氏带比格氏带窄，由于奥氏带比格氏带窄， 点可能处于格氏带点可能处于格氏带内而不处于奥氏带内，故用格氏图形判据判不稳定时，并内而不处于奥氏带内，故用格氏图形判据判不稳定时，并非一定不稳定。由于奥氏带的宽度与其它回路增益非一定不稳定。由于

52、奥氏带的宽度与其它回路增益 有关，故奥氏带常用在各回路增益由格氏带初步确定以后，有关，故奥氏带常用在各回路增益由格氏带初步确定以后，来对某一回路的增益进行修正，通常用奥氏带选取的回路来对某一回路的增益进行修正，通常用奥氏带选取的回路增益增益 较大。较大。, 0ifjjfjijf令令 ，式中，式中 为回差矩阵，为回差矩阵， ，故，故 , ,这时奥氏定理变形为这时奥氏定理变形为（10.4710.47）式中式中 B sQFQFFFQFI FRFRQFIFQI B sFR iiiibsrs f 1iiiiibsqsf 11iiiiiiiirs fqsfs ds 1miikkk idsqs为了便于利用式

53、（为了便于利用式（10.4710.47）进行设计，与上述类似，令）进行设计，与上述类似，令闭环传递函数矩阵闭环传递函数矩阵 为为由于有恒等式由于有恒等式 1,max,01jiij j ijjjdsssfq0if 0s10QFF 10IFIF QFF 1IFQFF QQ由于由于 111111111111IFIFQF Q QIF Q IFQF QIF Q RF QIF Q RF QR RF QR RF QIRF QRF QR RF QRRF QRF Q RIF QRRIIR RIFQR故故展开展开 有有10iiiiiiiirIFQRIF QRIF10IF1011IF 101101010 1000

54、100000001imiiiimimmimmssssssfsss10 10 2001000010010001iiiiiiiiimffff0 10 20000010000100111110001iiiiiimiiiiiiiiiiiifffffff故故 这时式（这时式（10.4710.47）变为）变为（10.4810.48） 011iiiiirf111101iiiiiiiiiiiiir fqfffqf0iiiiq 0iiiiiisqss ds以以 为圆心，以为圆心，以 为半径，也可作出相应的奥为半径，也可作出相应的奥氏圆及奥氏带，更精确地确定某一回路的增益氏圆及奥氏带，更精确地确定某一回路的增益

55、。注意到。注意到这时的这时的 随随 的增大而增大，只有当的增大而增大，只有当 时时 奥氏带宽度趋于零使奥氏带宽度趋于零使 与与 重合，对第重合，对第i i个回路的个回路的设计接近于单变量系统的设计。但较设计接近于单变量系统的设计。但较 低的闭环系统性能低的闭环系统性能较差，加之较差，加之 之间关系不及之间关系不及 容易由开环特性容易由开环特性转换为闭环特性，故多变量系统的分析设计多采用转换为闭环特性，故多变量系统的分析设计多采用 ，用，用逆乃氏判据判断稳定性及选择参数逆乃氏判据判断稳定性及选择参数 ，有逆乃氏阵列设计，有逆乃氏阵列设计法之称。法之称。 iiqs iis dsif isjf0jf

56、 0is iiqs 0iisjfQ、QF Qif对于对于Q Q为对角优势的情况，或可经过简单变换得到对角优为对角优势的情况，或可经过简单变换得到对角优势的势的Q Q时，用正乃氏判据进行设计也是可行的。时，用正乃氏判据进行设计也是可行的。例例10.2 10.2 试求例试求例10.110.1所示所示 的奥氏带，并求反馈的奥氏带，并求反馈系数系数 、 的变化范围以使闭环系统渐进稳定。的变化范围以使闭环系统渐进稳定。解解 由格氏带初选的参数为由格氏带初选的参数为 。设。设选择选择 ，则第二条奥氏带的压缩因子，则第二条奥氏带的压缩因子 为为 Q s1f2f1209.2,04ff16f 2s 12111d

57、ssfqs则则以以 的乃氏轨迹诸点为圆心，以的乃氏轨迹诸点为圆心，以 为半为半径，可画出径，可画出 的奥氏带图形，如图的奥氏带图形，如图10.710.7。由图可看出，。由图可看出，当当 时闭环渐进稳定，时闭环渐进稳定， 时闭环不稳定。时闭环不稳定。设选择设选择 ，则第一条奥氏带的压缩因子，则第一条奥氏带的压缩因子 为为 22320.256261010jjj22 qj22jdj 22 qs205.2f27f 23f 1s 12222/sdsfqs图图10.7 10.7 例例10.210.2奥氏带图形奥氏带图形则则 以以 的乃氏轨迹诸点为圆心，以的乃氏轨迹诸点为圆心，以 为半为半径，可画出径，可画

58、出 的奥氏带，可看出当的奥氏带，可看出当 时系统时系统渐进稳定，当渐进稳定，当 时系统不稳定。可见用奥氏带所确时系统不稳定。可见用奥氏带所确定的稳定区域被扩大了。定的稳定区域被扩大了。12431.50.534 1441010jjj11 qj11jdj 11 qs1015.5f116.5f 10.3 10.3 获得对角优势的方法获得对角优势的方法为了能用逆乃氏阵列法对系统进行设计，关键在于使为了能用逆乃氏阵列法对系统进行设计，关键在于使或或 为对角优势，但通常前向通路中的受控对象为对角优势，但通常前向通路中的受控对象或或未必为对角优势，为此考虑引入补偿器未必为对角优势，为此考虑引入补偿器 以获得

59、对角优势的以获得对角优势的 或或 。 称为前置补偿器，位称为前置补偿器，位于偏差与对象控制输入之间，于偏差与对象控制输入之间， 是对偏差向量进行变换是对偏差向量进行变换的装置，所需功率较低，因而成本较低。有的装置，所需功率较低，因而成本较低。有（10.4910.49） Q s Q s G s G s K s Q s Q s K s K s Q sG s K s在工程设计中对在工程设计中对 的要求有：结构尽可能简单，的要求有：结构尽可能简单，物理上可实现，在某一频域内保持显著的对角优势，达到物理上可实现，在某一频域内保持显著的对角优势，达到期望的稳定裕量及动态品质。为此在数学上要求期望的稳定裕量

60、及动态品质。为此在数学上要求 满满足：足： 为严格正则的有理分式矩阵；为严格正则的有理分式矩阵； 诸元的所有极点均诸元的所有极点均位于左半开位于左半开s s平面，以便保证用渐进稳定子系统来实现平面，以便保证用渐进稳定子系统来实现 另外另外 所有零点也位于左半开平面，以便保证不引所有零点也位于左半开平面，以便保证不引入非最小相位响应带来的控制困难；入非最小相位响应带来的控制困难； 是满秩的，是满秩的，即即 。 K s K s K s K s K s det K s K s det0K s 在大多数实际系统中，受控对象的传递函数矩阵在大多数实际系统中，受控对象的传递函数矩阵 为方阵，设为为方阵，设