高考高中数学排列

1、 从甲、乙、丙从甲、乙、丙3名同学中选出名同学中选出2名参加名参加某天的一项活动某天的一项活动,其中其中1名参加上午的活动名参加上午的活动,其中其中1名参名参加下午的活动加下午的活动,有多少种不同的方法有多少种不同的方法?分析：分析：解决这个问题分解决这个问题分2步步:第一步、确定参加上午活动的同学，从第一步、确定参加上午活动的同学，从3人中选人中选1人有人有3种方法；种方法；第二步、确定参加下午活动的同学，从余下第二步、确定参加下午活动的同学，从余下2人中选人中选1人有人有2种种选法；选法； 据分步计数原理，共有据分步计数原理，共有623甲甲乙乙甲、乙甲、乙丙丙甲、丙甲、丙乙乙甲甲乙、甲乙、

2、甲丙丙乙、丙乙、丙丙丙甲甲丙、甲丙、甲乙乙丙、乙丙、乙问题问题1：种不同的方法。种不同的方法。元素：元素： 从从a、b、c、d这四个字母中，每次取出这四个字母中，每次取出3个按顺序排成一列个按顺序排成一列,共有多少种不同的排法共有多少种不同的排法?分析：分析：解决这个问题分解决这个问题分3步步:第一步、先确定左边的字母，在第一步、先确定左边的字母，在4个字母中任取个字母中任取1个，有个，有4种取法；种取法； 第二步、确定中间的字母第二步、确定中间的字母，从余下的从余下的3个去选，有个去选，有3种取法；种取法；第三步、确定右边的字母，只能从余下的第三步、确定右边的字母，只能从余下的2个字母中任取

3、个字母中任取1个，个，有有2种取法；种取法；24234上面问题中被取的对象上面问题中被取的对象问题问题2：据分步计数原理，共有据分步计数原理，共有种不同的方法。种不同的方法。abbccdd b cd(abc，abd，acb，acd，adb，adc）baaacccddd(bac，bad，bca，bcd，bda，bdc）cab dba dda b(cab，abd，cba，cbd，cda，cdb）dab cba cca b(dab，dac，dba，dbc，dca，dcb）排列排列 一般地，从一般地，从n个不同元素中取出个不同元素中取出m个元个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从素，按照一定的顺序排成

4、一列，叫做从n个个不同元素中取出不同元素中取出m个元素的个元素的一个一个排列排列 强调强调：我们所研究的排列问题，是指不同元素间的：我们所研究的排列问题，是指不同元素间的排列问题，这里既没有重复元素，也没有抽取相同的元排列问题，这里既没有重复元素，也没有抽取相同的元素。素。 两个两个关键关键：一是：一是“取出元素取出元素”；二是；二是“按照一定顺按照一定顺序序”。一定顺序就是与位置有关，这也是判断一个问题是。一定顺序就是与位置有关，这也是判断一个问题是不是排列问题的重要标志。不是排列问题的重要标志。 思考？思考？abc与与acb及及cba是不是同一个排列？是不是同一个排列？从个从个 n不同元素

5、中取出不同元素中取出2个元素的排列数个元素的排列数是多少？是多少？又是多少？又是多少？2nA,3nA)(nmAmn排列数的计算公式排列数的计算公式 ) 1() 2)(1(mnnnnAmn)!(!mnnAmn例例1： 7位同学站成一排，共有多少种不同的排位同学站成一排，共有多少种不同的排法？法？解：问题可以看作：解：问题可以看作：7个元素的全排列个元素的全排列A775040 7位同学站成一排，其中甲站在中间的位置，位同学站成一排，其中甲站在中间的位置，共有多少种不同的排法？共有多少种不同的排法？解：问题可以看作：余下的解：问题可以看作：余下的6个元素的全排列个元素的全排列A66 =720 7位同

6、学站成一排，其中甲不站在首位，共有多位同学站成一排，其中甲不站在首位，共有多少种不同的排法？少种不同的排法？解一：甲站其余六个位置之一有解一：甲站其余六个位置之一有A61种，其余种，其余6人全排列有人全排列有A66 种，种，共有共有A61 A66 =4320。解二：从其他解二：从其他6人中先选出一人站首位，有人中先选出一人站首位，有A61，剩下，剩下6人（含甲）人（含甲）全排列，有全排列，有A66 ，共有，共有A61 A66 =4320。解三：解三：7人全排列有人全排列有A77，甲在首位的有，甲在首位的有A66，所以共有，所以共有 A77- A66=7 A66- A66=4320。例例2： 7

7、位同学站成一排位同学站成一排甲、乙只能站在两端的排法共有多少种？甲、乙只能站在两端的排法共有多少种？解：根据分步计数原理：第一步解：根据分步计数原理：第一步 甲、乙站在两端有甲、乙站在两端有A22种；第二步种；第二步 余下的余下的5名同学进行全排列有名同学进行全排列有A55种种 则共有则共有A22 A55 =240种排列方法种排列方法甲乙乙甲 abcde ebdcaA55A55A22A22甲、乙不能站在排头和排尾的排法共有多少种？甲、乙不能站在排头和排尾的排法共有多少种？解法一：第一步解法一：第一步 从（除去甲、乙）其余的从（除去甲、乙）其余的5位同学中选位同学中选2位同学站在位同学站在排头和

8、排尾有排头和排尾有A52种方法；第二步种方法；第二步 从余下的从余下的5位同学中选位同学中选5位进行排位进行排列（全排列）有列（全排列）有A55种方法种方法 ，所以一共有，所以一共有A52 A55 2400种排列方种排列方法法解法二：若甲站在排头有解法二：若甲站在排头有A66种方法；若乙站在排尾有种方法；若乙站在排尾有A66种方法；种方法；若甲站在排头且乙站在排尾则有若甲站在排头且乙站在排尾则有A55种方法所以甲不能站在排头，种方法所以甲不能站在排头，乙不能排在排尾的排法共有乙不能排在排尾的排法共有 A77 2 A66 A55=2400种种小小 结一：结一：对于“在在”与“不在不在”等有特殊元

9、素特殊元素或特殊位置或特殊位置的排列问题，通常是先排特殊元素或特殊先排特殊元素或特殊位置位置，称为优先处理特殊元素（位置）法优先处理特殊元素（位置）法（优先法优先法）。 甲、乙两同学必须甲、乙两同学必须相邻相邻的排法共有多少种？的排法共有多少种？ 解：先将甲、乙两位同学解：先将甲、乙两位同学“捆绑捆绑”在一起看成一个元素与其余的在一起看成一个元素与其余的5个元素（同学）一起进行全排列有个元素（同学）一起进行全排列有A66种方法；再将甲、乙两个同种方法；再将甲、乙两个同学学“松绑松绑”进行排列有进行排列有A22种方法所以这样的排法一共有种方法所以这样的排法一共有A66 A22 1440种种拓展：

10、拓展：甲、乙和丙三个同学都相邻的排法共有多少种？解：方法甲、乙和丙三个同学都相邻的排法共有多少种？解：方法同上，一共有同上，一共有A55A33 720种种解法一：将甲、乙两同学解法一：将甲、乙两同学“捆绑捆绑”在一起看成一个元素，此时一共在一起看成一个元素，此时一共有有6个元素，因为丙不能站在排头和排尾，所以可以从其余的个元素，因为丙不能站在排头和排尾，所以可以从其余的5个元个元素中选取素中选取2个元素放在排头和排尾，有个元素放在排头和排尾，有A52种方法；将剩下的种方法；将剩下的4个元个元素进行全排列有素进行全排列有A44种方法；最后将甲、乙两个同学种方法；最后将甲、乙两个同学“松绑松绑”进

11、行进行排列有排列有A22种方法所以这样的排法一共有种方法所以这样的排法一共有A52 A44 A22 960种方种方法法甲、乙两同学必须相邻，而且丙不能站在排头和排尾甲、乙两同学必须相邻，而且丙不能站在排头和排尾的排法有多少种？的排法有多少种？解法二：解法二：将甲、乙两同学将甲、乙两同学“捆绑捆绑”在一起看成一个元素，此时一共在一起看成一个元素，此时一共有有6个元素，若丙站在排头或排尾有个元素，若丙站在排头或排尾有2A55种方法，所以丙不能站在种方法，所以丙不能站在排头和排尾的排法有排头和排尾的排法有（ A66 -2A55） A22=960种方法种方法 小结二：小结二：对于相邻问题，常对于相邻问

12、题，常用用 “ 捆 绑 法捆 绑 法 ” （ 先 捆 后先 捆 后松松）解法三解法三：将甲、乙两同学：将甲、乙两同学“捆绑捆绑”在一起看成一个元素，此时一共在一起看成一个元素，此时一共有有6个元素，因为丙不能站在排头和排尾，所以可以从其余的四个个元素，因为丙不能站在排头和排尾，所以可以从其余的四个位置选择共有位置选择共有A41种方法，种方法，再将其余的再将其余的5个元素进行全排列共有个元素进行全排列共有A55种方法，最后将甲、乙两种方法，最后将甲、乙两同学同学“松绑松绑”，所以这样的排法一共有，所以这样的排法一共有A41 A55 A22 960种方法种方法甲、乙两同学甲、乙两同学不能相邻不能相

13、邻的排法共有多少种？的排法共有多少种？解法一：解法一：（排除法排除法） A77-A66 A22 =3600 解法二：解法二：（插空法插空法）先将其余五个同学排好有）先将其余五个同学排好有A55种方法，种方法，此时他们留下六个位置（就称为此时他们留下六个位置（就称为“空空” ），再将甲、乙同学），再将甲、乙同学分别插入这六个位置（分别插入这六个位置（空空）有）有A62种方法，种方法，cbade所以一共有所以一共有A55 A62=3600种方法种方法乙乙甲甲拓展：拓展：甲、乙和丙三个同学都甲、乙和丙三个同学都不能相邻不能相邻的排法共有多少种？的排法共有多少种？ 解：先将其余四个同学排好有解：先将其

14、余四个同学排好有A44种方法，此时他们留下五个种方法，此时他们留下五个“空空”，再将甲、乙和丙三个同学分别插入这再将甲、乙和丙三个同学分别插入这五个五个“空空”有有A53种方法，所以一共有种方法，所以一共有A44 A53 1440种种小结三小结三：对于：对于不相邻不相邻问题，常用问题，常用“ 插 空 法插 空 法 ” （ 特 殊 元 素（ 特 殊 元 素考考虑）虑）练习：练习：三名女生和五名男生三名女生和五名男生排成一排，排成一排，如果女生如果女生全排在一起全排在一起，有，有多少种不同排法？多少种不同排法？如果女生如果女生全分开全分开，有多少，有多少种不同排法？种不同排法？如果两端如果两端都不

15、能都不能排女生，排女生，有多少种不同排法？有多少种不同排法？如果两端如果两端不能都不能都排女生，排女生，有多少种不同排法？有多少种不同排法？A66 A33 =4320 A55A63=14400 A52A66=14400 A52A66+2A31A51A66=36000或或A88- A32 A66=36000某些元素某些元素不能在或必须排列在不能在或必须排列在某一位置；某一位置；某些元素要求某些元素要求连排（即必须相邻）连排（即必须相邻）；某些元素要求某些元素要求分离（即不能相邻）分离（即不能相邻）； 某些元素要求某些元素要求必须相邻必须相邻时，可以先将这些元素时，可以先将这些元素看作一看作一个个元素，元素，与其他与其他元素排列后，元素排列后，再考虑再考虑相邻元素的相邻元素的内部内部排列排列，这种方法称为，这种方法称为“捆绑法捆绑法”； 某些元素某些元素不相邻不相邻排列时，可以排列时，可以先排其他先排其他元素，再将这元素，再将这些些不相邻不相邻元素元素插入空挡插入空挡，这种方法称为，这种方法称为“插空法插空法”。 有特殊元素或特殊位置的排列问题，通常是有特殊元素或特殊位置的排列问题，通常是先排特殊先排特殊元素或特殊位置元素或特殊位置，称为，称为优先