二元一次方程组与二阶行列式,全排列及其逆序数,n阶行列式的定义

1、1第第1 1章章 n 阶行列式阶行列式行列式理论是研究线性方程组的解法而产生的。行列式理论是研究线性方程组的解法而产生的。近代，被广泛应用于数学、物理以及工程技术等近代，被广泛应用于数学、物理以及工程技术等许多领域。许多领域。在线性代数中，更是一个不可缺少的重要工具。在线性代数中，更是一个不可缺少的重要工具。主要介绍主要介绍定义定义、性质性质、计算计算及及克莱姆法则克莱姆法则。21.1 二元一次方程组与二二元一次方程组与二阶行列式阶行列式3用消元法解二元一次方程组用消元法解二元一次方程组1112121222,.a xa yba xa yb 1 2时时，当当021122211 aaaa方程组的解

2、为方程组的解为22 112211221221a ba bxa aa a，11 221 111221221.a ba bya aa a由方程组的四个系数确定由方程组的四个系数确定.4 由四个数排成二行二列的数表由四个数排成二行二列的数表11122122aaaa1122122111122122(5)a aa aaaaa表达式称为数表所确定的二阶行列式，并记作即即.2112221122211211aaaaaaaaD 511a12a22a12a主对角线主对角线次对角线次对角线2211aa .2112aa 若记若记,22211211aaaaD 1112121222,.a xa yba xa yb对于二元

3、一次方程组对于二元一次方程组系数行列式系数行列式,2221211ababD .2211112babaD 22 112211221221a ba bxa aa a 11221 111221221a ba bya aa a 1DD 2DD 克莱姆公式克莱姆公式6121225346xxxx 解解: :12234D 0 15264D 8, 21536D 9, DDx11 84,2 DDx22 9922 781.2 全排列及其逆序数全排列及其逆序数9定义定义1 1由n个自然数1，2，3, ，n组成的一个有序数组，称之为n个自然数的一个全排列全排列，简称排列排列例例自然数自然数1,21,2构成的排列构成的

4、排列12122121种数种数2 2种种1,2,31,2,31231231321322132132312313123123213216 6种种1,2,3,41,2,3,412341234432143211,2,3,1,2,3, ,n2424种种n! !种种123123nn( (n-1)-1)321321标准排列标准排列/ /自然排列自然排列10定义定义 2 2一个排列中的两个数一个排列中的两个数, ,如果排在前面的数大于排如果排在前面的数大于排在它后面的数，则称这两个数构成一个在它后面的数，则称这两个数构成一个逆序逆序一个排列中逆序的总数称这个排列的一个排列中逆序的总数称这个排列的逆序数逆序数逆

5、序数为奇数的排列称逆序数为奇数的排列称奇排列奇排列逆序数为偶数的排列称逆序数为偶数的排列称偶排列偶排列排列排列 的逆序数记为的逆序数记为1 2miii1 2()miii11求逆序数的方法求逆序数的方法: :12np pp是是n个自然数的一个排列，个自然数的一个排列，考察每一个考察每一个ip的逆序数的逆序数it（排在（排在ip前面并且比前面并且比ip大的数的个数）大的数的个数）则全体元素的逆序数之和则全体元素的逆序数之和12nttt1niit即为这个排列的逆序数即为这个排列的逆序数例例1 1413250 +1 +1 +2 +0 =4偶排列偶排列例例2 2n( (n-1)(-1)(n-2-2）32

6、13210 +1 +2+n-1+(1)2n n12对换对换：1sntpppp1tnspppp(,)stpp例例213213312312(2,3)253425341 1253125314 4(4,1)1（奇）2（偶）6（偶）5（奇）13定理定理 1 1一个排列经一次对换后必改变其奇偶性。一个排列经一次对换后必改变其奇偶性。证明证明:（1 1）相邻对换）相邻对换AabBAbaB(,)abA,B中的每一个数的逆序数没有发生改变，所中的每一个数的逆序数没有发生改变，所以只需考虑以只需考虑a ,b的逆序数的逆序数若若aba的逆序数不变，的逆序数不变，b的逆序数减少的逆序数减少1 1若若aba的逆序数增加

7、的逆序数增加1 1，b的逆序数不变，的逆序数不变，所以，所以，,AabBAbaB的奇偶性不同奇偶性不同14（2 2）一般对换）一般对换12mBaA k kk b12mBbA k kk a(,)ab情况太复杂，改变思考角度情况太复杂，改变思考角度不是通过一次性得到结果，而是作如下过程：不是通过一次性得到结果，而是作如下过程：12mBaA k kk b12mAk kkBba作作m+1+1次相邻对换次相邻对换12mBbA k kk a作作m次相邻对换次相邻对换由（由（1 1）知，）知，改变了改变了2m+1(2m+1(奇数奇数) )次奇偶性次奇偶性奇偶性当然改变。奇偶性当然改变。15定理定理1 1推论

8、推论奇排列调成标准排列的对换次数为奇数奇排列调成标准排列的对换次数为奇数; ;偶排列调成标准排列的对换次数为偶数偶排列调成标准排列的对换次数为偶数. .补充补充n个自然数组成的所有排列中共有个自然数组成的所有排列中共有n!个，个，其中奇偶排列各占一半其中奇偶排列各占一半. .一个排列经一次对换后必改变其奇偶性。一个排列经一次对换后必改变其奇偶性。161.3 n阶行列式的定义阶行列式的定义17三阶行列式三阶行列式112233122331132132112332122133132231,a a aa a aa a aa a aa a aa a a 333231232221131211aaaaaaa

9、aa11a12a22a12a2211aa .2112aa 18323122211211aaaaaa .312213332112322311aaaaaaaaa (1)(1)三阶行列式的计算三阶行列式的计算322113312312332211aaaaaaaaa D333231232221131211aaaaaaaaaD 333231232221131211aaaaaaaaaD 19333231232221131211aaaaaaaaa332211aaa .322311aaa 注注 红线上三元素的乘积冠以正号，红线上三元素的乘积冠以正号， 蓝线上三元素的乘积冠以负号蓝线上三元素的乘积冠以负号对角线法

10、则只适用于二阶与三阶行列式对角线法则只适用于二阶与三阶行列式322113aaa 312312aaa 312213aaa 332112aaa 三阶行列式包括三阶行列式包括3!3!项项, ,每一项都是位于不同行每一项都是位于不同行, ,不同列的三个元素的乘积不同列的三个元素的乘积, ,其中三项为正其中三项为正, ,三项为负三项为负. .20 如果三元一次方程组如果三元一次方程组 ;,333323213123232221211313212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxa的系数行列式的系数行列式333231232221131211aaaaaaaaaD , 0 ,333312322113

11、1112abaabaabaD .3323122221112113baabaabaaD 则则:,11DDx ,22DDx .33DDx ,3332323222131211aabaabaabD 21111213212223313233aaaaaaaaa112233132132122331132231122133112332a a aa a aa a aa a aa a aa a a三阶行列式的结构：三阶行列式的结构：（1 1）每一项都是三数相乘，）每一项都是三数相乘，这三数来自不同行不同列，这三数来自不同行不同列，除符号外可写成除符号外可写成123123,pppaaa123p p p是是1,2,3

12、1,2,3的一个排列，的一个排列，共有共有6 6种，种，右边刚好有右边刚好有6 6项；项；（2）若正号项列标排列若正号项列标排列 123312231(0)t (2)t (2)t 偶排列偶排列若负号项列标排列若负号项列标排列 321213132(3)t (1)t (1)t 奇排列奇排列22111213212223313233aaaaaaaaa112233132132122331132231122133112332a a aa a aa a aa a aa a aa a a112323()123( 1)pppp p paaa123p p p求和表示对1,2，3的所有排列2312122()12111

13、212122212( 1).nnp ppppnpnnnnnnnnnaaaaaaaaaDaaa由个数组成的阶行列式等于所有取自不同行不同列的个元素的乘积的代数和记作定义定义det()ija1122()12( 1)nnppp ppnpaaa ija241、行列式是一种特定的算式，它是根据求解方、行列式是一种特定的算式，它是根据求解方程个数和未知量个数相同的一次方程组的需要而程个数和未知量个数相同的一次方程组的需要而定义的定义的;2、 阶行列式是阶行列式是 项的代数和项的代数和,n!n3、 阶行列式的每项都是位于不同行、不同阶行列式的每项都是位于不同行、不同列列 个元素的乘积个元素的乘积;nn4、

14、一阶行列式一阶行列式 不要与绝对值记号相混淆不要与绝对值记号相混淆;aa 注注: :冠正负号各占一半；冠正负号各占一半；5 5、若有一行（或一列）元素全为、若有一行（或一列）元素全为0 0，则，则D0 0。25例例1 111121314152122232425313233343541424344455152535455aaaaaaaaaaDaaaaaaaaaaaaaaa共有共有5 5！120120项项11131415222324253132333541424445515253512213443554aaaaaaaaDaaaaaaaaaaaaaaaaa1221344355a a a a a214

15、35带正号带正号22612131415212324253132343541424344515253112233455545aaaaaaaaaaaDaaaaaaaaaaaaaa1122334554a a a a a123541带负号带负号27例例 2 2上三角形行列式上三角形行列式11121222nnnnaaaaaDa,0ijij a1122nna aa证明证明:1212( 1)npppnDaaa1122( 1)nna aa 01122( 1)nna aa 1122nna aa28类似，类似，下三角形行列式下三角形行列式112122112212nnnnnnaaaDa aaaaa111(1)212,111( 1)nn nnnnnaaDa aaa 29