矩阵论第七章3多项式

1、 哈尔滨工程大学理学院哈尔滨工程大学理学院 矩阵论教学团矩阵论教学团队队 Department of Mathematics, College of Sciences课前预习、课中提高效率、课后复习课前预习、课中提高效率、课后复习书后要求的习题书后要求的习题, ,主动自觉做主动自觉做, ,抽查和不定时收取抽查和不定时收取 使用教材使用教材 矩阵论教程国防工业出版社矩阵论教程国防工业出版社 2012其他辅导类参考书（自选）其他辅导类参考书（自选）课课 程程 要要 求求作业要求作业要求授课预计授课预计 (8学时学时)1第七章第七章 矩阵函数矩阵函数矩阵序列矩阵序列矩阵级数矩阵级数矩阵多项式矩阵多项

2、式矩阵函数矩阵函数234教教 学学 内内 容容 和和 基基 本本 要要 求求1, 掌握矩阵序列和级数的概念及收敛定理；掌握矩阵序列和级数的概念及收敛定理；2, 掌握矩阵函数的概念和性质，及一些常见矩阵函数幂掌握矩阵函数的概念和性质，及一些常见矩阵函数幂级数展开式；会用多种方法计算简单的矩阵函数级数展开式；会用多种方法计算简单的矩阵函数 f(A) ；3, 掌握并会求解矩阵多项式，化零和最小多项式，以及掌握并会求解矩阵多项式，化零和最小多项式，以及Cayley-Hamilton定理。定理。重点重点: : 矩阵序列和级数收敛性定理；常见矩阵幂级数展开矩阵序列和级数收敛性定理；常见矩阵幂级数展开 式；

3、式；Cayley-HamiltonCayley-Hamilton定理；定理； 简单的矩阵函简单的矩阵函数的计算。数的计算。难点难点: Cayley-Hamilton: Cayley-Hamilton定理；矩阵函数的计算。定理；矩阵函数的计算。矩阵多项式与矩阵函数均为矩阵理论中非常重矩阵多项式与矩阵函数均为矩阵理论中非常重要的概念，本章将给出矩阵多项式与矩阵函数的相要的概念，本章将给出矩阵多项式与矩阵函数的相关概念和性质，并给出关概念和性质，并给出Cayley-Hamilton定理和矩定理和矩阵函数的阵函数的Jordan表示和多项式表示。表示和多项式表示。 矩阵多项式矩阵多项式7.3矩阵的最小多

4、项式在矩阵相似、若当标准型、矩矩阵的最小多项式在矩阵相似、若当标准型、矩上的上的 n 阶方阵。阶方阵。n nC 都是复数域都是复数域阵函数和矩阵方程中都有很重要的应用，本节将给出阵函数和矩阵方程中都有很重要的应用，本节将给出Cayley-Hamilton定理。本节约定，以下讨论的矩阵定理。本节约定，以下讨论的矩阵 A矩阵多项式和最小多项式的概念和一些性质，并给出矩阵多项式和最小多项式的概念和一些性质，并给出7.3.1 矩阵的化零多项式矩阵的化零多项式deg ( )p An 1110( )nnnnp xa xaxa xa 定义定义1 已知已知 和关于变量和关于变量 的多项式的多项式xn nAC

5、0 na多项式多项式 的次数的次数 也称为也称为 的次数的次数, 记为记为:n( )p A( )p x那么我们称那么我们称 为相应于为相应于 的关于方阵的关于方阵 的矩阵多项式。的矩阵多项式。A( )p x 1110nnnnnpaaaaAAAAE( )p A显然显然也为复数域也为复数域上的上的 n n 阶方阵。下面阶方阵。下面n nC 给出矩阵多项式的几个性质。给出矩阵多项式的几个性质。性质性质1 设设 为为C上关于变量上关于变量x多项式多项式, 则则对任意的对任意的 方阵方阵 有有:( ), ( )f xg xn nAC （1） () ()() ()()()f A g Ag A f AfgA

6、 其中其中 。()( ) ( ) fgf x g x （2） ()()()()()()f Ag Ag Af AfgA 其中其中 。()( )( )fgf xg x 性质性质2 设设 为为C上关于变量上关于变量x多项式多项式, 则对任意则对任意给定的可逆阵给定的可逆阵 ( )f x, 有：有：n nnTC 11()()f TATTf A T 其中其中 为较为较 A 更低阶方阵，则：更低阶方阵，则：12,sA AA性质性质3 设设 为为C上关于变量上关于变量 的多项式的多项式( )f xx1212diag(,)ssAAAA AAA若方阵若方阵A为分块对角阵，即有为分块对角阵，即有1212( )()

7、( )=diag( ( ), (), ()()ssfffffffAAAAAAA征值征值 的特征向量，即的特征向量，即 ，则，则 也为也为 的的 A ()f A关于关于 的特征向量，即的特征向量，即 。( )f ()( )f Af 定义定义2 设设 , 如果多项式如果多项式 满足满足 定义定义2 n nAC ( )p x( ),p AO 则称则称 是矩阵是矩阵A的化零多项式。的化零多项式。( )p x容易看出容易看出, 如果如果 , 则对任意的多项式则对任意的多项式 ，()f AO ( )g x性质性质4 设设 为为 x 的多项式的多项式, 若若 为方阵为方阵A关于特关于特 ( )f xnC 令

8、令 , 都满足都满足 ( )( ) ( )F xf x g x ( )( ) ( ),F Af A g AO可见化零多项式不唯一。可见化零多项式不唯一。定理定理1任何方阵任何方阵 都存在化零多项式。都存在化零多项式。n nAC 证明：设证明：设 ，由于，由于 的维数为的维数为 ，所以，所以n nAC n nC 2n22,nE A AA这这 个向量必线性相关，个向量必线性相关，21n 一组不全为零的数：一组不全为零的数： , 使得：使得：201,na aa2201nna Ea Aa AO 有有 , 即即 中任意的中任意的A，都存在化零多项式。，都存在化零多项式。()f AO n nC 即存在即存

9、在作多项式作多项式 , 且且 不恒为零不恒为零 , 则则2201( )nnf xaa xa x ( )f x定理定理2证明：略。证明：略。（Cayley-Hamilton定理）定理） 设设 ，n nAC 为为 A 的特征多项式的特征多项式, 即有即有 1110nnnna xaxa xa 1110=det()nnnnna xaxa xaEA则则 1110=nnnnnaaaaAAAAEO解答解答: 的特征多项式的特征多项式 A由由Cayley-Hamilton定理知定理知,( )0f A 例例1 设矩阵设矩阵 ,121020003A试计算试计算 6543261156135hAAAAAAAE 32d

10、et6116fEA即：即： 。因此多项式。因此多项式326116AAAEO 65432332361156135(1)(6116)21(1) ( )21hfAAAAAAE 3() ( ) 22hfAAEAA EA E所以所以例例2 已知已知 利用利用 Cayley-Hamilton定理求定理求 300021012A 1 A解答解答: A的特征多项式为的特征多项式为:由由Cayley-Hamilton定理得定理得所以所以:即即:32300det()( )02171612012fEA3271612AAAEO2(716)12A AAEE121(716)12AAAE7.3.2 矩阵的最小多项式矩阵的最小

11、多项式定理定理3 定义定义3 设设 , 在在 A 的化零多项式中的化零多项式中, 次数最次数最定义定义3 n nAC 低的首一多项式称为低的首一多项式称为A的最小多项式的最小多项式, 记为记为 。 ( )m x证明：由多项式带余除法得证明：由多项式带余除法得设方阵设方阵 ,则则A 的任一化零多项式的任一化零多项式 都能被其最小多项式都能被其最小多项式 整除。整除。 n nAC p x( )m x( )( ) ( )( )P xq x m xr x其中其中 或或 。( )0r x 2deg ( )deg( )r xm x于是有：于是有： ( )( ) ( )( )PqmrAAAAO定理定理4方阵

12、方阵A的最小多项式是唯一的。的最小多项式是唯一的。所以所以 ，即，即 也是也是A的化零多项式。又因为的化零多项式。又因为 是是A的最小多项式，可知的最小多项式，可知 是是 的所有化零的所有化零多项式中次数最低的多项式中次数最低的( )rAO( )r x m x m x故有故有 ，即，即 。( )( )m x P x( )0r x 证明：设证明：设 都是都是 A 的最小多项式，可知的最小多项式，可知 都是都是A的零多项式，则有定理的零多项式，则有定理3可知可知12( ),( )mx mx12( ),( )mx mx21( )( )m x m x12( )( )m x m x且且所以有所以有12(

13、 )( ),0m xcm xc定理定理5设矩阵设矩阵A为分块矩阵，且有为分块矩阵，且有又由于又由于 都是首一多项式，都是首一多项式， 所以所以 即即 12( ),( )mx mx1c 12( )( )m xm x12sAAAA则则A的最小多项的最小多项 多等于多等于 （ ）的）的最小多项式最小多项式 中的最小公倍式。中的最小公倍式。( )mxAiA1,2,is( )imxA12()()( )()sggggAAAOA即即 整除整除 。( )mxA( )g x证明：设证明：设 的最小多项式为的最小多项式为 （ ），）， A的最小多项式为的最小多项式为 ， 的最小公倍式是的最小公倍式是 由由 整除整

14、除 知知 。因此。因此iA( )imxA( )mxA1,2,is( )imxA( )g x( )imxA( )g x()0igA(1,2, )is，又因为又因为12()()( )()smmmmAAAAAAAOA则对于每一个则对于每一个 有有 ,即即 整除整除 。而。而 是是 的最小公倍式，故的最小公倍式，故 整除整除 ，综上有，综上有 。i(1,2, )is( )imxA( )mxA( )g x( )( )mxg xA()imAAO( )imxA( )g x( )mxA定理定理6证明：证明：由由cayley-Hamilton定理知定理知 为为 的化的化零多项式，且首系数为零多项式，且首系数为1

15、。则由定理。则由定理3可知最小多项可知最小多项式是必是式是必是 的一个因子，注意到的一个因子，注意到( )maJ( )()ma ( )()ma 0 10( )10maaJEO, ,000( )0000mmaaJEO 而而1010( )00 00mmJ aaEO 证明：因为证明：因为 A 与与Jordan矩阵矩阵 J 相似，所以存在可逆相似，所以存在可逆阵阵 P，使得：，使得： 定理定理7设设 ，则，则 A 的最小多项式的最小多项式 是是 An nrAC ( )m x的最后一个不变因子。的最后一个不变因子。121sJJPAPJ 推论推论1推论推论2相似矩阵具有相同的最小多项式。相似矩阵具有相同的

16、最小多项式。证明证明 设设 ,且且A与与B相似，相似， 分别是分别是 A与与B的最小多项式。由的最小多项式。由A与与B相似，即存在可逆矩阵相似，即存在可逆矩阵 T使得使得 ，则有，则有A与与B具有相同的具有相同的Jordan标准标准型。综合定理型。综合定理7可知可知A与与B具有相同的最小多项式。具有相同的最小多项式。n nA B,C( ),( )mx mxAB1BTAT需要指出的是，虽然相似矩阵有相同的最小多项需要指出的是，虽然相似矩阵有相同的最小多项式，但最小多项式相同的矩阵不一定相似。式，但最小多项式相同的矩阵不一定相似。推论推论3 矩阵矩阵A与对角矩阵相似的充分必与对角矩阵相似的充分必要

17、条件是要条件是A的最小多项式没有重根。的最小多项式没有重根。例例3设矩阵设矩阵000100aaaA，其中，其中aC求求A 的最小多项式的最小多项式 ( )m xA解解 :显然，矩阵显然，矩阵A的的Jordan标准型标准型 ，因此有，因此有A有有两个初等因子，分别为两个初等因子，分别为 和和 ，由本节定理，由本节定理7的推论的推论1有有A的最小多项式为的最小多项式为 。J A2() aa2( )()mxxaA解：首先求出矩阵解：首先求出矩阵A A的的SmithSmith标准形标准形例例4 求求 的最小多项式的最小多项式 。110430102 A( )mxA+11010(2)=430034(2)1

18、0201(2)(1)EA210010001(2)(1)010034(2)00(2)(1)由定理由定理7 7知知2( )(2)(1)mA因此，因此，A A的最小多项式有如下六种可能的最小多项式有如下六种可能例例5 求求 的最小多项式的最小多项式 。( )mxA5 00000 50000 00010 02120 0102A23( )(5) (1) EA解：显然矩阵的最小多项式是其零多项式的因式，解：显然矩阵的最小多项式是其零多项式的因式，故可利用矩阵的特征多项式来求解。经过简单运算故可利用矩阵的特征多项式来求解。经过简单运算可得矩阵可得矩阵A A的特征多项式为的特征多项式为(5)(1)2(5)(1)3(5)(1)2(5) (1)22(5) (1