概率论PPT第10讲

1、 概率论与数理统计概率论与数理统计第十讲第十讲主讲教师：程维虎教授主讲教师：程维虎教授北京工业大学应用数理学院北京工业大学应用数理学院3.6 随机变量的独立性随机变量的独立性事件事件A与与 B独立的定义是：独立的定义是： 若若 P(AB) = P(A)P(B)，则称事件则称事件A与与B相互相互独立独立 。 设设 X, Y是两个随即变量是两个随即变量, 对任意的对任意的 x, y, 若若, )( )() ,(yYPxXPyYxXP则称则称 X与与Y 相互独立。相互独立。 用联合分布函数与边缘用联合分布函数与边缘分布函数表示上式分布函数表示上式, 就是就是. )( )(),(yFxFyxFYX),

2、(yxf其中其中是是(X,Y)的联合密度，的联合密度， 若若 (X,Y) 是连续型随机向量是连续型随机向量 ，上述独立性，上述独立性定义等价于：对任意定义等价于：对任意 x, y R, 有有 这里这里“几乎总成立几乎总成立”的含义是：在平面上的含义是：在平面上除去一个面积为零的集合外，公式成立。除去一个面积为零的集合外，公式成立。)( )(yfxfYX与分别是分别是X的边缘密度和的边缘密度和Y 的边缘密度的边缘密度 。 )()(),(yfxfyxfYX几乎总成立几乎总成立, 则称则称X与与Y相互独立相互独立 。 若若 (X,Y)是离散型随机变量，则上述独立性是离散型随机变量，则上述独立性定义等

3、价于：对定义等价于：对(X,Y) 所有可能取值所有可能取值 (xi , yj), 有有)( )() ,(jijiyYPxXPyYxXP成立，成立， 则称则称 X与与Y 相互独立。相互独立。解解: 例例1:1: 考察例考察例3.2.2(3.2.2(吸烟与肺癌关系的研究吸烟与肺癌关系的研究) )中中随机变量随机变量X X与与Y Y的独立性的独立性. . 因因 0.20.00017 PX=0PY=0 PX=0, Y=0 0.00013. 故，故，X和和Y不相互独立。不相互独立。 证明：证明：因因例例2 2：设设( (X, ,Y) ) N( ( 1 1, , 2 2, , 1 1, , 2 2, ,

4、), ), 求证求证: : X与与Y 独立独立的充要条件为的充要条件为 = = 0 0。,121),(2222212121212)()(2)()1 (21 221uyuyuxuxeyxf,21)(212112)(1xXexf.21)(22222)(2yYeyf“” ” 将将 =0=0代入联合概率密度函数，得代入联合概率密度函数，得22222121)()(212121),(uyuxeyxf).()(2121222221212)(22)(1yfxfeeYXuyux所以，所以，X与与Y相互独立。相互独立。“” 若若X X和和Y Y相互独立相互独立，则，则 ( (x, y) ) R R2 2，有，有

5、f f ( (x, y)=)=f f X X( (x) ) f f Y Y( (y).).从而， = = 0 0。.212112121221特别地，将特别地，将 x = =1 1, , y = = 2 2 代入上式，有代入上式，有 f (1,2) = fX(1)fY(2)， 即即解解:0)()(dyxexfyxX0)()(dxxeyfyxY, 0 ,xxex. 0 ,yey从而，对一切从而，对一切 x, yR , 均有均有 f (x, y)=f X(x) f Y(y).故，故，X与与Y是否相互独立。是否相互独立。例例3： 设设(X,Y) 的概率密度为的概率密度为 . , 0, 0 , 0,),

6、()(其他yxxeyxfyx问：问：X与与Y是否独立？是否独立？解：解：, 10 ),1 (22)(1xxdyxfxX. 10 ,22)(0yydxyfyY由于存在面积不为零的区域由于存在面积不为零的区域 D，使得，使得.),( ),()(),(DyxyfxfyxfYX故，故，X与与Y不相互独立不相互独立 。 例例4：若若(X,Y)的概率密度为的概率密度为 . , 0, 10 ,0 , 2 ),(其他yyxyxf问问X与与Y是否独立？是否独立？3.7.1 离散型分布情形离散型分布情形例例1：若若X与与Y独立，且独立，且 P(X=k)=ak , k=0,1,2, , P(Y=k)=bk , k=

7、0,1,2, , 求求 Z=X+Y 的概率分布。的概率分布。解：解：)()(rYXPrZPriirYPiXP0)( )(riirYiXP0) ,(3.7 随机变量函数的分布随机变量函数的分布,011110babababarrrr.,2, 1 ,0r证明证明: 依题意，有依题意，有 riirYiXPrZP0), ,()(例例2: 若若X和和Y相互独立，它们分别服从参数为相互独立，它们分别服从参数为 的泊松分布的泊松分布, 证明证明 Z=X+Y 服从参数为服从参数为 21 ,21的泊松分布。的泊松分布。由卷积公式由卷积公式, 2 , 1 , 0 ,!)(11iieiXPi., 2 , 1 , 0

8、,!)(22jjejYPjriirYiXPrZP0) ,()(得得ri 0i - r2-i1-i)!-(rei!e21rire0i - r2i1)(i)!-(ri!r!21., 2 , 1 , 0 ,)(!21)(21rrer即即 Z 服从参数为服从参数为 的泊松分布。的泊松分布。 21 设设X和和Y的联合密度为的联合密度为 f (x, y), 求求 Z=X+Y 的的概率密度。概率密度。 因因 Z =X+Y 的分布函数是的分布函数是: FZ(z)=P(Zz)=P(X+Y z).),(Ddxdyyxf这里积分区域这里积分区域 D= (x, y): x+y z ，是直线是直线 x+y = z 左下

9、方的半平面。左下方的半平面。3.7.2 连续型分布的情形连续型分布的情形 化成累次积分化成累次积分, 得得zyxZdxdyyxfzF),()(.),()(dydxyxfzFyzZ 固定固定z和和y, 对方括号内的积分作变量代换对方括号内的积分作变量代换, 令令 x= u-y, 得得dyduyyufzFzZ),()(.),(dudyyyufz变量代换变量代换交换积分次序交换积分次序由概率密度与分布函数的关系由概率密度与分布函数的关系, 即得即得 Z=X+Y 的概率密度的概率密度由由X和和Y的对称性的对称性, 知知 fZ (z)又可写成又可写成 ； ),()()(dyyyzfzFzfZZ 以上两式

10、就是两个随机变量和的概率密以上两式就是两个随机变量和的概率密度的一般公式。度的一般公式。. ),()()(dxxzxfzFzfZZzZdudyyyufzF),()( 特别地特别地, 当当X和和Y独立独立, 设设 (X,Y) 关于关于X, Y的的边缘密度分别为边缘密度分别为fX(x) 和和fY(y) , 上述两式化成上述两式化成: ,)()()(dyyfyzfzfYXZ这两个公式称为卷积公式。这两个公式称为卷积公式。. )()()(dxxzfxfzfYXZ 下面考虑用下面考虑用卷积公式求卷积公式求 Z=X+Y 的概率密度的概率密度的方法。的方法。为确定积分限为确定积分限, 先找出被积函数不为零的

11、区域先找出被积函数不为零的区域 例例3: 设设X和和Y独立独立, 有共同的概率密度有共同的概率密度 求求 Z=X+Y 的概率密度。的概率密度。, ,0, 10 , 1 )( 其他xxf.)()()(dxxzfxfzfYXZ解解: 由卷积公式，得由卷积公式，得. 10, 10 xzx即即. 1, 10 xzxx其他 , 0, 21 , 10 ,1 1 0 zzzdxzdx（如图示）（如图示）. 10, 10 xzx即即. 1, 10 xzxx于是于是 . , 0 , 21 ,2, 10 , 其他zzzzdxxzfxfzfYXZ )()()(例例4: 设设X和和Y相互独立相互独立, 均服从标准正态

12、分布，均服从标准正态分布， 求求 Z=X+Y的概率密度。的概率密度。.)()()(dxxzfxfzfYXZ解解: 由卷积公式，对由卷积公式，对- - z 0 时，时，.6)()(30)(zzxzxZezdxexzxezf. 0 06)(3其他，zezzfxZ所以，所以，Z 的概率密度为的概率密度为3.7.3 M = max(X,Y) 及及 N = min(X,Y) 的分布的分布 设设X，Y是两个相互独立的随机变量，分布是两个相互独立的随机变量，分布函数分别为函数分别为FX(x)和和FY(y)。求。求 M = max (X, Y) 及及N = min (X, Y)的分布函数。的分布函数。再由再由

13、X 和和Y 相互独立，得到相互独立，得到 M = max (X,Y) 的的分布函数为分布函数为: 即即 FM(z) = FX(z) FY(z) .FM(z)=P(Mz) = P(Xz, Yz)= P(Xz) P(Yz) .分析：分析：由于由于 “M = max (X,Y) z” 等价于等价于“Xz, Yz”，故有，故有 P(Mz) = P(Xz, Yz). 类似地，可得类似地，可得 N = min (X,Y) 的分布函数的分布函数 下面进行推广到下面进行推广到 n 个相互独立的随机变个相互独立的随机变量的情况。量的情况。 即有即有 FN(z) = 1- -1- -FX(z)1- -FY(z)

14、= FX(z)+FY(z)- -FX(z)FY(z) . = 1- -P(Xz, Yz)FN(z) = P(Nz) = 1- -P(Nz)= 1- - P(Xz) P(Yz) . 设设X1, , Xn 是是 n 个相互独立的随机变量个相互独立的随机变量,分布函数分别为分布函数分别为 ., 2 , 1 ),(nixFiX 用与二维时完全类似的方法，可得：用与二维时完全类似的方法，可得： N = min(X1,Xn)的分布函数为的分布函数为M = max(X1,Xn)的分布函数为的分布函数为； )()()(1zFzFzFnXXM).(1 )(1 1)(1zFzFzFnXXN 特别地，当特别地，当X

15、1, , Xn相互独立，且具有相相互独立，且具有相同分布函数同分布函数 F(x) 时，有时，有 FM(z)=F(z) n ， FN(z)=1- -1- -F(z) n . 需要指出的是需要指出的是: 当当X1, , Xn相互独立，相互独立，且具有相同分布函数且具有相同分布函数 F(x) 时，常称时，常称M=max(X1,Xn)，N=min(X1,Xn)为极值分布。为极值分布。 桥梁或铸件所承受的最大应力、洪峰的桥梁或铸件所承受的最大应力、洪峰的高度、地震的震级等都用极值分布来描述。高度、地震的震级等都用极值分布来描述。故，研究极值分布有重要意义。故，研究极值分布有重要意义。例例 6：如图所示如

16、图所示, , 系统系统L L 由两个相互独立的子系由两个相互独立的子系统统 L L1 1,L,L2 2 联接而成联接而成, , 联联接方式分别为接方式分别为: : (1). (1). 串联；串联； (2). (2). 并联；并联； (3). (3). 备用备用( (开关完全开关完全可靠，子系统可靠，子系统 L L2 2在储备在储备期内不失效，当期内不失效，当L L1.1.损坏损坏时时, L, L2 2开始工作开始工作) )。解：解：先求先求X, Y的分布函数的分布函数 设设L L1 1,L,L2 2的寿命分别为的寿命分别为X和和Y，概率密度分，概率密度分别为别为: :其中其中 0, 0, 0,

17、 0, 且且 为常数为常数。分别对以上。分别对以上三种联接方式写出三种联接方式写出系统系统寿命寿命Z 的概率密度。的概率密度。 . , 0, 0,)( , , 0, 0,)(其他其他yeyfxexfyYxX; 0, 0, 0,1)()(xxedttfxFxxXX.0,0,0,1)(yyeyFyY(1). (1). 串联时，串联时，Z = minX, Y， F FZ Z(z)=1-1-F(z)=1-1-FX X(z)1-F(z)1-FY Y(z)(z).0 ,0 ,0 ,1)(zzez. 0 , 0 , 0 ,)()()( )(zzezFzfzZZ故(2). 并联时，并联时， Z = maxX,Y FZ(z) = FX(z)FY(z).0 ,0 ,0 ),1)(1 (zzeezz. 0 , 0, 0 ,)( )()()(zzeeezFzfzzzZZ.)()()(dxxzfxfzfYXZ当当 z 0时，有时，有zYX