D7-1向量及坐标

1、第七章第七章空间解析几何与向量代数空间解析几何与向量代数第一部分向量代数第一部分向量代数第二部分空间解析几何第二部分空间解析几何 第一节第一节 向量及其线性运算向量及其线性运算 一、向量的概念 二、向量的线性运算 三、空间直角坐标系 四、向量的坐标分解式与坐标表示式 五、向量的线性运算的坐标形式 六、向量的模、方向角、方向余弦及 向量在轴上的投影1. 向量：向量：既有大小又有方向的量既有大小又有方向的量. .AB模为模为1 1的向量的向量. .4. 零向量：零向量：模为模为0 0的向量的向量, ,记作记作: :02. 向量的模：向量的模：向量的大小向量的大小. .3. 单位向量：单位向量：一、

2、向量的概念一、向量的概念记为：记为：aAB| a、AB或或记为：记为：, ,方向任意方向任意5.5.两向量两向量相等相等：两向量的大小相等且方向相同两向量的大小相等且方向相同. .8.8.负向量：负向量：大小相等但方向相反的向量大小相等但方向相反的向量. .10.10.向径：向径：a a直角坐标系中以原点为起点的向量直角坐标系中以原点为起点的向量. . 7.7.两向量平行两向量平行( (共线共线) )：两向量的方向相同或相反两向量的方向相同或相反. . a a的负向量记为的负向量记为9. 两向量的夹角：两向量的夹角：两向量两向量 的夹角记为的夹角记为ba与与. ),( ba. ),(0 : b

3、a规规定定即即OM点点M的向径记为的向径记为:),(Mr )(Mr.ab ab二、向量的线性运算二、向量的线性运算1.1.向量的加减法向量的加减法加法：三角形法则加法：三角形法则加法：平行四边形法则加法：平行四边形法则ba ba abba ab)( baba 箭头指向被减向量箭头指向被减向量减法：减法：,0时时当当 :的模的模a ,0时时当当 |aa 2.2.向量与数的乘法向量与数的乘法(1)(1)定义定义 :的的方方向向a 注注.)( 0ababa ，使，使实数实数唯一的唯一的存在存在的充要条件是：的充要条件是：平行于平行于，则向量，则向量设向量设向量定理定理例例1 1 设设M 为为MBAC

4、D解解ABCD对角线的交点对角线的交点, ,ba,aAB ,bDA ACMC2 MA2 MD2 MB2 .,MDMCMBMAba表示表示与与试用试用 ba ab)(21baMA )(21baMB )(21baMC )(21abMD BDx( (横轴横轴) )y( (纵轴纵轴) )z( (竖轴竖轴) ) o三、空间直角坐标系三、空间直角坐标系1. 1. 空间直角坐标系的基本概念空间直角坐标系的基本概念 过空间一定点过空间一定点 O ,O ,由三条互相由三条互相垂直的垂直的数轴按右手规则组成一个空数轴按右手规则组成一个空间直角坐标系间直角坐标系.(8个个)xyozxoy面面yoz面面zox面面空间

5、直角坐标系共有空间直角坐标系共有八个卦限八个卦限空间的点空间的点M有序数组有序数组),(zyx 11特殊点的表示特殊点的表示:)0 , 0 , 0( O原原点点),(zyxM xyzo)0 , 0 ,(xP)0 , 0(yQ), 0 , 0(zR)0 ,(yxA), 0(zyB),(zoxC坐标轴上的点坐标轴上的点,P,Q,R坐标面上的点坐标面上的点,A,B,C2. 2. 空间中点的直角坐标空间中点的直角坐标xyz横坐标横坐标纵坐标纵坐标竖坐标竖坐标坐标面坐标面 : :面yox0 z面zoy0 x面xoz0 yxyzo3. 3. 空间中点的位置与坐标符号的关系空间中点的位置与坐标符号的关系xy

6、zo四、向量的坐标分解式与坐标表示式四、向量的坐标分解式与坐标表示式kzj yi x xyzo),(zyxM ), 0 , 0 (zR) 0 , 0 ,(xP) 0 , 0 ( yQr注注xyzo),(1zyxM),(2zyxMa注注五、向量的线性运算的坐标形式五、向量的线性运算的坐标形式),(zyxaaaa ),(zyxbbbb ),(zzyyxxbababa ;)()()(kbajbaibazzyyxx ),(zyxaaa .)()()(kajaiazyx 设设，则则为为实实数数 ba a 注注解解; ),(111zzyyxxAM . ),(222zzyyxxMB 设设),(zyxM为所求

7、点的坐标，则为所求点的坐标，则例例2 2 已知两点已知两点在在AB直线上求一点直线上求一点 M , , 使使, ),(111zyxA),(222zyxB及实数及实数,1 .MBAM 由题意知：由题意知：, MBAM ),( 111zzyyxx 即即),(222zzyyxx ,121 xxx,121 yyy.121 zzz )()()(212121zzzzyyyyxxxx 也即也即故故ABMxyzo.定比分点公式定比分点公式六、向量的模、方向角、方向余弦 及向量在轴上的投影1.1.向量的模向量的模),(zyxaaaa 设设则有则有,aOM 作作OMa OROQOP xyzoPNQRMaOMa 2

8、22OROQOP 222zyxaaa a 21221221221zzyyxxMMd 注注空间两点间的距离公式空间两点间的距离公式2.2.向量的方向角与方向余弦向量的方向角与方向余弦oyzxa 注注例例3 3 已知两点已知两点: :)2,2,2(1M和和, )0,3,1(2M21MM a, ,求求:(4) 方向余弦和方向角方向余弦和方向角; a(1) 的坐标的坐标;a(2) 在三坐标轴上的分向量在三坐标轴上的分向量; aa(3) 的模的模; ;a(5) 与与 同向的单位向量同向的单位向量; a(6) 与与 平行的单位向量平行的单位向量. 解解)2, 1, 1( a,21,23)20(21MM(1

9、)(2)222)2(1)1( a2(3)在三坐标轴上的分向量在三坐标轴上的分向量为：为：a, , 2ijk ,21cos ,21cos 22cos ,32 ,3 43 (4) 的的方方向向余余弦弦为为 a的的方方向向角角为为 a(5)22,21,21()cos,cos,(cos aea(6) 与与 平行的单位向量为平行的单位向量为: 112 ( ,) 222ae 3.3.向量在轴上的投影向量在轴上的投影uOMM e.设点设点O及单位向量及单位向量 确定了确定了 u 轴，轴，e作向量作向量OMa ，M 是是 M 在在 u 轴上的投影点，轴上的投影点，若若OM e ，则称数，则称数 是向量是向量

10、a在在 u 轴上的投影，轴上的投影，记作：记作：Pr jua或或( )uaOM 是向量是向量OM在在 u 轴上的分向量。轴上的分向量。注：注：定义定义a，对向量对向量例例 设设 A ，BAB （1 1, ,1 1, ,- -1 1) )（2 2, ,- -3 3, ,2 2) )，求向量，求向量个坐标轴上的分向量和投影个坐标轴上的分向量和投影.解：解：AB (1, 4,3) 43ijk 在三在三在三坐标轴上的分向量为：在三坐标轴上的分向量为：,4, 3ijk 在三坐标轴上的投影为：在三坐标轴上的投影为：1 ,4 ,3 注：向量的坐标就是它在三坐标轴上的投影。注：向量的坐标就是它在三坐标轴上的投影。性质性质1 1性质性质2 2性质性质3 3投影的性质投影的性质:解解,4,3 则则 222coscos1cos 41 因点因点 A 在第一卦限在第一卦限, ,故故,21cos 于是于是, ,(6 ,21,22)21)3,23,3( 故点故点A 的坐标为的坐标为 . )3,23,3(例例4 4 设点设点 A 位于第一卦限位于第一卦限, ,角依次为角依次为,4,3 求点求点 A 的坐标的坐标 . . 向径向径 OA 与与 x 轴轴 y 轴的夹轴的夹 ,6 AO且且已知已知OAAO )cos,co