北京化工大学数理统计---两类错误 势函数

1、势函数势函数 设检验问题0011:,HH的拒绝域为W，则样本观测值落在拒绝域内的概率称为该检验的势函数，记为 01( )(),gPWx 犯两类错误的概率都是参数 的函数，并可由势函数算得，即： 01,( ),PH turegPH tureWWxx即：01( ),( )1( ),g 特别的，当参数空间010101, ,01,( )1,;.g该检验的势函数是 的函数，它可用正态分布表示，具体为： 011gnz 下面以 为例说明：0010:,HH1WUz由 可推出具体的拒绝域为：0PUc推导如下：01()()XgPzn011nz 设设 已知，已知，22( ,),XN 01()XPznn势函数是 的增

2、函数（见图），只要 就可保证在 时有0()g0( )g 的图形( )g对单边检验 是类似的，0010:HvsH只是拒绝域变为:Wuz其势函数为 0gnz 对双边检验问题，拒绝域为12Wuu其势函数为 01/201/21gnunu 假设检验的两类错误假设检验的两类错误H0为真为真实际情况实际情况决定决定拒绝拒绝H0接受接受H0H0不真不真第一类错误第一类错误正确正确正确正确第二类错误第二类错误 P拒绝拒绝H0|H0为真为真= , P接受接受H0|H0不真不真= . 犯两类错误的概率犯两类错误的概率: 显著性水平显著性水平 为犯第一类错误的概率为犯第一类错误的概率. 任何检验方法都不能完全排除犯错

3、任何检验方法都不能完全排除犯错 假设检验的指导思想是假设检验的指导思想是控制犯第一类控制犯第一类误的可能性误的可能性. .理想的检验方法应使犯两类理想的检验方法应使犯两类错误的概率都很小错误的概率都很小, ,但在样本容量给定的但在样本容量给定的情形下情形下, ,不可能使两者都很小不可能使两者都很小, ,降低一个降低一个, , 往往会使另一个增大往往会使另一个增大. .错误的概率错误的概率不超过不超过 , , 然后然后, ,若有必要若有必要, ,通通过过增大样本容量增大样本容量的方法来减少第二类错的方法来减少第二类错误误 . . 当样本容量确定后当样本容量确定后, ,犯两类错误的犯两类错误的命题

4、命题概率不可能同时减少概率不可能同时减少. .00110:;:HH此时犯此时犯第二类错误的概率为第二类错误的概率为 00()PHH接受伪0110XPZn证证 设设 在水平在水平 给定下给定下,检验假设检验假设20(,)XN 01011100()nnzzzz即由此可见由此可见,当当 n 固定时固定时1) 若若1zz2) 若若1zz111010()HXPZn右边检验1()z10/n左边检验1()z双边检验2211()() 1zz其中U 检验法中检验法中 的计算公式的计算公式前提：已知均值的真值100110:;:HH 设设 在水平在水平 给定下给定下,检验假设检验假设20(,)XN 10101Zn

5、由前边的计算已知求(1)样本容量n (2)设 欲使 1000.05,0.50.1n应取多大？(1)由前边的计算已知1100()nzz1010()zzn即101010.1Zn (2)样本容量的选取 虽然当样本容量 n 固定时, 我们不能同时控制犯两类错误的概率, 但可以适当选取 n 的值, 使犯取伪错误的概率 控制在预先给定的限度内.在检验均值时样本容量 n 满足如下公式：11() /nzz 单边检验211() /nzz 双边检验其中 表示0|一个正态总体（方差已知）由前边的计算已知1100()nzz1010()zzn即所以1110()|zzn1100()nzz1010()zzn即例例6 6袋装

6、味精由自动生产线包装，每袋标准重量 500g,标准差为25g.质检员在同一天生产的味精中任抽 100袋检验，平均袋重495g. 在的检验中犯取伪错误的概 在显著性水平 下，该0.05天的产品能否投放市场？率 是多少？（设 的真值为495） 若同时控制犯两类错误的概率，使 都小于5 %, 样本容量,?n 解解 设每袋重量2(500, 25 )XN049550021.9625/ 100U H0 : 500 ； H1 : 500故该天的产品不能投放市场.落在拒绝域内200.97511.96/XUzzn拒绝域2211()()1zz 52/25/ 100n0495 5005( 0.04)(3.96)1

7、211.96z1(0.04)0.484 此概率表明：有48.4%的可能性将包装不合格的认为是合格的.故 由于是双边检验，故025.18255645. 196. 1325n211() /nzz 所以当样本容量取325以上时, 犯两类错误的概率都不超过5 % .贝叶斯公式的密度函数形式 111( ,| ) ( )( |,)( ,| ) ( )nnnp xxxxp xxd 贝叶斯统计的一切推断都基于后验分布进行 贝叶斯估计 基于后验分布( x1, x2 , , xn )对 所作的贝叶斯估计有多种，常用有如下两种：使用后验分布的均值作为 的点估计，称为后验矩（期望）估计。使用后验分布的密度函数最大值作

8、为 的点估计，称为后验极（最）大似然估计；区间估计121(|,)1nPXX 若则称 是 的贝叶斯意义下置信水平为 的区间估计。12 , 1习题2 某厂生产小型马达, 说明书上写着: 这种小型马达在正常负载下平均消耗电流不会超过0.8 安培. 现随机抽取16台马达试验, 求得平均消耗电流为0.92安培, 消耗电流的标准差为0.32安培. 假设马达所消耗的电流服从正态分布, 取显著性水平为 = 0.05, 问根据这个样本, 能否否定厂方的断言?解解 根据题意待检假设可设为 H0 : 0.8 ； H1 : 0.8 未知, 故选检验统计量: (15)/ 16XTtS查表得 t0.05(15) = 1.753, 故拒绝域为0.81.753/xsn0.320.8 1.7530.944x 现0.920.94x 故接受原假设, 即不能否定厂方断言.解二解二 H0 : 0.8 ； H1 : 0.8 选用统计量: (15)/ 16XTtS查表得 t0.05(15) = 1.753, 故拒绝域0.81.753/xsn0.320.8 1.7530.664x现0.920.66x 故接受原假设, 即否定厂方断言. 由例由