数值计算方法_正交多项式

1、4 正交多项式正交多项式 (1) ,则称函数则称函数f(x)和和g(x)在在区间区间a,b上正交上正交.0)()(badxxgxf(2) ,则称函数则称函数f(x)和和g(x)在区间在区间a,b上带权上带权 (x)正交正交.0)()()(badxxgxfx(3) 代数多项式序列代数多项式序列 (下标下标k为多项式为多项式的次数的次数, gk(x)表示表示k次多项式次多项式),在区间在区间a,b上满足上满足0)(kkxg一、正交多项式一、正交多项式定义定义1banbamndxxgxdxxgxgx0)()(0)()()(2当当mn当当m=n则称多项式序列则称多项式序列 为区间为区间a,b上带权上带

2、权 (x)的正交多项式序列的正交多项式序列0)(kkxg 若若n次多项式次多项式gn(x)中含中含xn项的系数为项的系数为dn,则称则称dn为为gn(x) 的的首次系数首次系数; dn0时时,称称 为首为首次系数为次系数为1的的n次多项式次多项式. nnndxgxg)()(*定义定义2 若若 是区间是区间a,b上带权上带权 (x)的正交多的正交多项式序列项式序列,则它们线性无关则它们线性无关.nkkxg0)(对任意的对任意的x a,b0)(0nkkkxgc若若两边同乘两边同乘 (x)gl(x)(l=0,1,.n),并从并从a到到b积分积分,由由 的正交性定义中的的正交性定义中的(3)可知必有可

3、知必有cl=0nkkxg0)(故正交多项式序列故正交多项式序列 线性无关线性无关. .nkkxg0)(性质性质1证明证明二、正交多项式性质二、正交多项式性质 若若 为为a,b上带权上带权 (x)的的正交多项式正交多项式序列序列,且且 ,则则0)(kkxg,)(baPxqnbakdxxgxqx0)()()(1)k=n+1,n+2,(2)baindxxxgx0)()(i=0,1,n-1记记badxxgxfxgf)()()(),( a,b上带权函数上带权函数 (x)的正交多项式序列的正交多项式序列 相邻三项的递推关系为相邻三项的递推关系为0)(kkxgi=1,2,其中其中1nnndad1(,)(,)

4、nnnnnnndgxgdgg 性质性质2性质性质3)()()()(111xgxgxxgnnnnnn111211(,),(,)nnnnnnnnddggdgg a,b上带权函数上带权函数 的正交多项式序列的正交多项式序列 中任意相邻两个正交多项式中任意相邻两个正交多项式gn(x)和和gn+1(x)的根相的根相间间.0( )kkgx( ) x11,nnnddd11( ),( ),( )nnngx gx gx为为的首项系数的首项系数若记若记 gn(x), gn+1(x)的根分别为的根分别为 ,则所谓则所谓 与与 的根相间的根相间,即是指这两个正即是指这两个正交多项式的根有如下的关系交多项式的根有如下的

5、关系.1( )ngx( )ngxninix1)(11)1(njnjx)1(2)(1)1(1)()1(nininininixxxxxi=1,n-1性质性质4常见的正交多项式有常见的正交多项式有Legendre(勒让德勒让德)多项式、多项式、Hermite多项式、多项式、Chebyshev多项式以及多项式以及Jacobi多多项式。项式。 (1) 区间区间a,b上带权函数上带权函数 (x)的正交多项式的正交多项式 序列序列 与与 对应元素之间只对应元素之间只 相差一个比例常数相差一个比例常数.0( )nnfx0( )nng x (2)区间区间a,b上带权函数上带权函数 (x)首项系数为首项系数为1的

6、正交的正交多项式序列多项式序列 唯一唯一.*0( )nngx性质性质5施密特正交化公式施密特正交化公式n,21线性无关线性无关11 1111222),(),(11111111),(),(),(),(nnnnnnnn三、三、Legendre多项式多项式Pn(x) -1,1上由上由1,x,xn,带权带权(x)1正交化正交化得到的多项式序列得到的多项式序列.(1)多项式定义多项式定义定义定义3隐式表达式隐式表达式, 2 , 1,) 1(!21)(1)(20ndxxdnxPxPnnnnn显式表达式显式表达式, 2 , 1,)!2()!( !)22() 1(21)(1)(020nxjnjnjjnxPxP

7、Njjnjnn其中其中2/ ) 1(2/nnN当当n为偶数时为偶数时当当n为奇数时为奇数时在在-1,1上带权上带权(x)1正交化正交化1,x,xn,例例解解11111111dxdxxx120 xxxxdxxxdxxdxdxxx111121111221111312 x1)(0 xP1) 1 , 1 () 1 ,()(1xxxP)()(),()(,()()(),()(,()(111120000222xPxPxPxPxxPxPxPxPxxxP(2)多项式的主要性质多项式的主要性质 n次次Legendre多项式多项式 Pn(x)的首项系数的首项系数2) !(2)!2()(nnxdnn当当x=-1当当x

8、=1, nnP)1(1)1(1220)()(),(11ndxxPxPPPnmnm当当m n当当m=n Legendre多项式相邻三项的递推关系为多项式相邻三项的递推关系为n=1,2,1)(0 xPxxP)(1)(1)(112)(11xPnnxPnnxxPnnn 在所有最高项系数为在所有最高项系数为1的的n次多项式中次多项式中,最高项系最高项系数为数为1的的Legendre多项式多项式 Pn(x)在在-1,1上与零的上与零的平平方误差方误差最小最小.(1) 多项式定义多项式定义定义定义4四、四、Chebyshev多项式多项式Tn(x) -1,1上由上由1,x,xn,带权带权 正交化得到的多项式序

9、列正交化得到的多项式序列.211)(xx显式表达为显式表达为: Tn(x)=cos(n arccosx), |x|1Chebyshev多项式序列多项式序列 在在-1,1上满足上满足0)(kkxT02001)()(112nmnmnmdxxxTxTnm性质性质6n次次Chebyshev多项式多项式Tn(x)的首项系数为的首项系数为2n-1性质性质7n次次Chebyshev多项式相邻三项有递推关系多项式相邻三项有递推关系 ： T0(x)=1,T1(x)=x, Tn+1(x)=2xTn(x)-Tn-1(x), n=1,2,.性质性质8(2)Chebyshev多项式的性质多项式的性质 当当 时，时， 即

10、即 x1, , xn 为为Tn(x)的的n个零点。个零点。21cos(1,., )2kkxknn0)( knxT 当当 时，时， 交错交错 取到极大值取到极大值 1 1 和极小值和极小值 1 1，即，即),., 1, 0(cosnknktk )(kntT |)(|) 1()(xTtTnkkn记记1*2)()(nnnxTxT显然显然 是首项系数为是首项系数为1的的n次次Chebyshev多项式多项式)(*xTn性质性质9性质性质10记记 为一切定义在为一切定义在1,1上首项系数为上首项系数为1的的n次多项式的集合次多项式的集合 1 , 1*nP 在在 中，中， 的的无穷模无穷模 最小最小 1 ,

11、 1*nP)(*xTn|)(|*xTn即即 1 , 1)(,|)(|)(|*nnnnPxpxpxT这个性质，称为这个性质，称为Chebyshev多项式多项式最小模性质最小模性质.性质性质11 多项式降次多项式降次( reduce the degree of polynomial with a minimal loss of accuracy) 设设 f (x) Pn(x)。在降低在降低 Pn(x) 次数的同时次数的同时, 使使因此增加的误差尽可能小因此增加的误差尽可能小, 也叫也叫 economiza-tion of power series。从从 Pn中去掉一个含有其最高次项的中去掉一个含有

12、其最高次项的 , 结果降结果降次为次为 , 则：则：PnPn 1| )(|max| )()(|max| )()(|max1 , 11 , 111 , 1xPxPxfxPxfnnn 因降次而增的误差因降次而增的误差设设 Pn 的首项系数为的首项系数为an，则取则取 可使可使精度尽可能少损失。精度尽可能少损失。12)()( nnnnxTaxP(3)Chebyshev 多项式的应用多项式的应用 f (x) = ex 在在 1, 1上的上的4 阶阶 Taylor 展开为展开为246214324xxxxP ，此时误差，此时误差023. 0|!5| )(|54 xexR请将其请将其降为降为2阶多项式阶多项

13、式。 取取)81(241)(2124124434 xxxTP188244 xxT（查表知（查表知 ）)81(24162123244 xxxxPP32612413192191xxx 取取)43(61)(21613323xxxTP xxT3433 （查表知（查表知 ）192191892413233 xxPP2|( )|0.047xeP x若简单取若简单取 ，则误差，则误差21)(22xxxP 45.0!3 e注：注：对一般区间对一般区间a, b，先将先将 x 换为换为 t ，考虑考虑 f (t)在在 1, 1上上的逼近的逼近Pn(t)，再将再将 t 换回换回x，最后得到最后得到Pn(x)。例例1解

14、解定义定义6(1) 第二类第二类Chebyshev 多项式多项式Un(x)相邻三项的递推关系为相邻三项的递推关系为五、其它正交多项式五、其它正交多项式 (- -1,+1)上权函数上权函数 的正交多项式的正交多项式序列序列21)(xx显式表达显式表达:21) 1()(xarccosxnsinxUnnmnmdxxxUxUUUnmnm201)()(),(112U0(x)=1, U1(x)=2xn=1,2,)()(2)(11xUxxUxUnnn定义定义7(2) 拉盖尔拉盖尔Laguerre多项式多项式Ln(x)相邻三项的递推关系为相邻三项的递推关系为 0,+)上权函数上权函数 的正交多项式序列的正交多项式序列显式表达显式表达:L0(x)=1, L1(x)=1-xn=1,2,xex)(nxnnnndxexdexL)()(nmnnmdxxLxLeLLnmxnm2) !(0)()(),()()(2)(11xLxxLxLnnn定义定义8(3) Hermite多项式多项式Hn(x)nxnxnndxedexH)() 1()(222)(xex相邻三项的递推关系为相邻三项的递推关系为H0(x)=1, H1(x)=2x)(2)(2)(11xnHxxHxHnnnn=1