高考数学一轮复习 第六章 数列 第三节 等比数列及其前n项和课件 文

1、第三节等比数列及其前n项和总纲目录教材研读1.等差数列的定义考点突破2.等比数列的通项公式3.等比中项考点二等比数列的判定与证明考点一等比数列的基本运算考点三等比数列的性质4.等比数列的常用性质5.等比数列的前n项和公式6.等比数列前n项和的性质1.等差数列的定义等差数列的定义如果一个数列从第二项第二项起,每一项与前一项的比等于同一个常数同一个常数,那么这个数列就叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的公比公比,通常用字母q表示,定义的表达式为=q(nN*).1nnaa教材研读教材研读2.等比数列的通项公式等比数列的通项公式等比数列an的通项公式为an=a1qn-1.3.等比中项等比中项若G2=a

2、b(ab0),则G叫做a与b的等比中项.4.等比数列的常用性质等比数列的常用性质(1)通项公式的推广:an=amqn-m(n,mN*).(2)若an为等比数列,且k+l=m+n(k,l,m,nN*),则akal=aman.(3)若an,bn(项数相同)是等比数列,则an(0),anbn,仍是等比数列.1na2nannab5.等比数列的前等比数列的前n项和公式项和公式等比数列an的公比为q(q0),其前n项和为Sn,当q=1时,Sn=na1;当q1时,Sn=.1(1)1naqq11naa qq6.等比数列前等比数列前n项和的性质项和的性质公比不为-1的等比数列an的前n项和为Sn,则Sn,S2n

3、-Sn,S3n-S2n仍成等比数列,其公比为qn.与等比数列有关的结论与等比数列有关的结论(1)an=amqn-m,an+m=anqm=amqn(m,nN*).(2)a1a2a3am,am+1am+2a2m,a2m+1a2m+2a3m,成等比数列(mN*).(3)若等比数列的项数为2n(nN*),公比为q,奇数项之和为S奇,偶数项之和为S偶,则=q.(4)三个数成等比数列,通常设为,x,xq;四个数成等比数列,通常设为,xq,xq3.SS偶奇xq3xqxq1.等比数列an中,a3=12,a4=18,则a6等于()A.27B.36C.D.54812答案答案C解法一:由a3=12,a4=18,得解

4、得a1=,q=,所以a6=a1q5=.故选C.解法二:由等比数列性质知,=a2a4,所以a2=8,又=a2a6,所以a6=.故选C.213112,18,a qa q1633216353281223a234aa2121824a242aa2188812C2.在等比数列an中,已知a7a12=5,则a8a9a10a11=()A.10B.25C.50D.75B答案答案Ba7a12=5,a8a9a10a11=(a8a11)(a9a10)=(a7a12)2=25.3.已知在等比数列an中,a2=,a3=,ak=,则k=.12141647答案答案7解析解析设an的公比为q.a2=,a3=,q=,a1=1,由

5、ak=a1=,解得k=7.121432aa12112k1644.在数列an中,a1=2,an+1=2an,Sn为an的前n项和.若Sn=126,则n=.6答案答案6解析解析由已知得an为等比数列,公比q=2,由首项a1=2,Sn=126得=126,解得2n+1=128,n=6.2(1 2 )1 2n5.在9与243中间插入两个数,使它们同这两个数成等比数列,则这两个数为.27,81答案答案27,81解析解析设该数列的公比为q,由题意知,243=9q3,得q3=27,所以q=3.所以插入的两个数分别为93=27,273=81.6.设Sn为等比数列an的前n项和,8a2+a5=0,则=.52SS-

6、11答案答案-11解析解析设数列an的公比为q,则8a1q+a1q4=0,又a10,q0,q=-2,=-11.52SS5121(1)1(1)1aqqaqq5211qq典例典例1(2017课标全国,17,12分)已知等差数列an的前n项和为Sn,等比数列bn的前n项和为Tn,a1=-1,b1=1,a2+b2=2.(1)若a3+b3=5,求bn的通项公式;(2)若T3=21,求S3.考点一等比数列的基本运算考点一等比数列的基本运算考点突破考点突破解析解析设an的公差为d,bn的公比为q,则an=-1+(n-1)d,bn=qn-1.由a2+b2=2得d+q=3.(1)由a3+b3=5得2d+q2=6

7、.联立和解得(舍去)或因此bn的通项公式为bn=2n-1.(2)由b1=1,T3=21得q2+q-20=0.解得q=-5或q=4.当q=-5时,由得d=8,则S3=21.当q=4时,由得d=-1,则S3=-6.3,0dq1,2.dq方法技巧方法技巧解决等比数列有关问题的常用思想方法(1)方程的思想:等比数列中有五个量a1,n,q,an,Sn,一般可以“知三求二”,通过列方程(组)求关键量a1和q,问题可迎刃而解.(2)分类讨论的思想:等比数列的前n项和公式涉及对公比q的分类讨论,当q=1时,数列an的前n项和Sn=na1;当q1时,数列an的前n项和Sn=.1(1)1naqq11naa qq1

8、-1(2017湖北武汉调研)设公比为q(q0)的等比数列an的前n项和为Sn.若S2=3a2+2,S4=3a4+2,则a1=()A.-2B.-1C.D.1223B答案答案B由S2=3a2+2,S4=3a4+2作差可得a3+a4=3a4-3a2,即2a4-a3-3a2=0,所以2q2-q-3=0,解得q=或q=-1(舍).将q=代入S2=3a2+2得,a1+a1=3a1+2,解得a1=-1.323232321-2等比数列an的各项均为实数,其前n项和为Sn.已知S3=,S6=,则a8=.7463432答案答案32解析解析设等比数列an的公比为q.当q=1时,S3=3a1,S6=6a1=2S3,不

9、符合题意,q1,由题设可得解得a8=a1q7=27=32.3161(1)7,14(1)63,14aqqaqq11,42,aq14典例典例2已知数列an的前n项和Sn=1+an,其中0.(1)证明an是等比数列,并求其通项公式;(2)若S5=,求.3132考点二等比数列的判定与证明考点二等比数列的判定与证明解析解析(1)证明:由题意得a1=S1=1+a1,故1,a1=,a10.由Sn=1+an,Sn+1=1+an+1得an+1=an+1-an,即an+1(-1)=an.由a10,0得an0,所以=.因此an是首项为,公比为的等比数列,于是an=.(2)由(1)得Sn=1-.由S5=得1-=,即=

10、.解得=-1.111nnaa11111111n1n313251313251132方法技巧方法技巧等比数列的判定与证明的常用方法(1)定义法:=q(q为常数且q0)或=q(q为常数且q0,n2)an为等比数列;(2)等比中项法:=anan+2(an0,nN*)an为等比数列;(3)通项公式法:an=a1qn-1(其中a1,q为非零常数,nN*)an为等比数列;(4)前n项和公式法:若Sn表示数列an的前n项和,且Sn=-aqn+a(a0,q0,q1),则数列an是公比为q的等比数列.提醒由an+1=qan,q0,并不能断言an为等比数列,还要验证a10.证明一个数列an不是等比数列,只需要说明前

11、三项满足a1a3,或者存在一个正整数m,使得amam+2即可.1nnaa1nnaa21na22a21ma2-1设数列an的前n项和为Sn,已知a1+2a2+3a3+nan=(n-1)Sn+2n(nN*).(1)求a2,a3的值;(2)求证:数列Sn+2是等比数列.解析解析(1)a1+2a2+3a3+nan=(n-1)Sn+2n(nN*),当n=1时,a1=21=2;当n=2时,a1+2a2=(a1+a2)+4,a2=4;当n=3时,a1+2a2+3a3=2(a1+a2+a3)+6,a3=8.综上,a2=4,a3=8.(2)证明:a1+2a2+3a3+nan=(n-1)Sn+2n(nN*),当n

12、2时,a1+2a2+3a3+(n-1)an-1=(n-2)Sn-1+2(n-1).-,得nan=(n-1)Sn-(n-2)Sn-1+2=n(Sn-Sn-1)-Sn+2Sn-1+2=nan-Sn+2Sn-1+2.-Sn+2Sn-1+2=0,即Sn=2Sn-1+2,Sn+2=2(Sn-1+2).S1+2=40,Sn-1+20,=2,故Sn+2是以4为首项,2为公比的等比数列.122nnSS典例典例3(1)(2017湖南长沙质检)若等比数列an的各项均为正数,且a10a11+a9a12=2e5,则lna1+lna2+lna20=.(2)等比数列an的前n项和为Sn,若an0,q1,a3+a5=20,

13、a2a6=64,则S5=.(3)设等比数列an的前n项和为Sn,若S6 S3=1 2,则S9 S3=.考点三等比数列的性质考点三等比数列的性质答案答案(1)50(2)31(3)3 4解析解析(1)因为等比数列an中,a10a11=a9a12,所以由a10a11+a9a12=2e5,可解得a10a11=e5.所以lna1+lna2+lna20=ln(a1a2a20)=ln(a10a11)10=10ln(a10a11)=10lne5=50.(2)由等比数列的性质,得a3a5=a2a6=64,于是由且an0,q1,得a3=4,a5=16,所以解得所以S5=31.(3)由题意可知q-1,故由等比数列的

14、性质知,S3,S6-S3,S9-S6仍成等比数列,于是(S6-S3)2=S3(S9-S6),将S6=S3代入可得=.353520,64,aaa a21414,16,a qa q11,2,aq51 (12 )121293SS34规律总结规律总结等比数列常见性质的应用等比数列性质的应用可以分为三类:(1)通项公式的变形;(2)等比中项的变形;(3)前n项和公式的变形.根据题目条件,认真分析,发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口.提醒在应用相应性质解题时,要注意性质成立的前提条件,有时需要进行适当变形.解题时注意设而不求思想的运用.3-1(2017云南八校调研)已知数列an是等比数列,Sn为其前n项和,若a1+a2+a3=4,a4+a5+a6=8,则S12=()A.40B.60C.32D.50B答案答案B由等比数列的性质可知,数列S3,S6-S3,S9-S6,S12-S9是等比数列,即数列4,