2019年广东省东莞市高考数学二调试卷(文科)及解析

1、广东省东莞市高考数学二调试卷（文科）一、选择题：本题共 1212 小题，每小题 项 中，只有一项是符合题目要求的.5 5 分，共 6060 分.在每小题给出的四个选（5 分）已知 A=1, 2, 4，8，16，B=y| y=iog2x, x A，贝 U AnB=（）79-夕B.-彳 C.4D. 土99（5 分）直线I 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到 I 的距离为其A . 1B . 16 C. 8 D . 47.（5 分）执行如图所示的程序框图，则输出的结果为（）A.2.A.1, 2 B. 2, 4, 8 C. 1, 2,（5 分）若复数 z 满足（1+2i） z= （1- i）,B

2、.：554D. 1, 2，4, 8则 |z|=（）3. （5 分）已知 sinC.1D .不5-cosa-=,贝U sin2a =3A.4.短轴长的1， 则该椭圆的离心率为（A.c-i5. （5 分） 在厶 ABC中,A.D.4B=,BC 边上的高等6._BTC10105x-yAO（5 分）已知* 3x-y-6C0 ,则乙=2的最小值是（x+y-20/W7结束A. 7 B. 9C. 10 D. 118.（5 分）设函数 f （x） =x3+a，若曲线 y=f （x）在点 P （x, f （x。）处的切线 方程为 x+y=0，则点 P 的坐标为（）A. (0，0)B. (1,- 1) C. (-

3、 1, 1) D. (1,- 1)或(1, 1)9.(5 分)在正四棱锥 P-ABCD 中，PA=2,直线 PA 与平面 ABCD 所成角为 60E 为 PC 的中点，则异面直线 PA 与 BE 所成角为（）二、填空题：本题共 4 4 小题，每小题 5 5 分，共 2020 分.13. （5 分）设向量 a= （x, x+1）, b= （1, 2）,且丄 B，则 x=_14.（5 分）在各项都为正数的等比数列an中，已知 ai=2, ,.,A. 90 B.60 C.45D.3010. (5 分)函数 f (x)已知函数 f（ x） =sinx+入 cos（入 R）的图象关于 x=-一对称，4的

4、图象上每个点的横坐标扩大到原来的2 倍，再向右平移,3则把得到函数 g (x)A兀A. x=6的图象，则函数 g （x）的一条对称轴方程为（B.x=C. x=D. x=l1-436A. (e,+x)B.(0,e)C. 丨丨 D.:一二ee解集为（)n+t nnr 1则数列an的通项公式 an=_.15. （ 5 分）已知|x| 2, |y| 2,点 P 的坐标为（x, y）,当 x, y R 时，点 P满足（x- 2）2+ （y- 2）20,若存在实数 b,Lz -2mx+4im使得关于 x 的方程 f （x） =b 有三个不同的零点，贝 U m 的取值范围是_ .三.解答题：共 7070 分

5、，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第仃2121题为必考题，每个考生都必须作答第2222、2323 题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共 6060 分.17. （12 分）已知数列an的前 n 项和为 Sn,且 Sn=2an-2 （n N*）.（I）求数列 an的通项公式；（n）求数列S的前 n 项和 Tn.18. （12 分）某城市随机抽取一年（365 天）内 100 天的空气质量指数 API 的监 测数据，结果统计如下：API0,(50,(100,(150,(200,(250, 30050100150200250300空气质优良轻微污轻度污中度污中度重污重度污量染染染染染天

6、数413183091115记某企业每天由空气污染造成的经济损失 （单位：元），空气质量指数 API 为.在 区间0, 100对企业没有造成经济损失；在区间（100, 300对企业造成经济损 失成直线模型（当 API 为 150 时造成的 经济损失为 500 元，当 API 为 200 时， 造成的经济损失为 700 元）；当 API 大于 300 时造成的 经济损失为 2000 元；（1） 试写出是 S （3）的表达式：（2） 试估计在本年内随机抽取一天，该天经济损失 S大于200元且不超过600 元的概率；（3） 若本次抽取的样本数据有 30 天是在供暖季，其中有 8 天为重度污染，完成下面

7、 2X2 列联表，并判断能否有 95%的把握认为该市本年空气重度污染与供暖 有关？非重度污染重度污染合计供暖季非供暖季合计10019. (12 分)如图 1,矩形 ABCD 中，AB=12, AD=6, E、F 分别为 CD AB 边上的点，且 DE=3, BF=4,将厶 BCE 沿 BE 折起至 PBE 位置(如图 2 所示),连结 AP、(2)求点 A 到平面 PBE 的距离.20. (12 分)已知椭圆 C:：亠-的离心率为丄上,且过点 A (2, 1). a b (I)求椭圆 C 的方程；(n)若 P, Q 是椭圆 C 上的两个动点，且使/ PAQ 的角平分线总垂直于 x 轴, 试判断

8、直线 PQ 的斜率是否为定值？若是，求出该值；若不是，说明理由.21. (12 分)已知函数 f (x) =x2-(a- 2) x- alnx (a R).2P (K2ko)0.250.150.100.050.0250.0100.0050.001ko1.322.072.703.848.026.637.8710.82附:2K2=II -：1 | .I： . r. I:(I)求函数 y=f (x)的单调区间；(n)当 a=1 时，证明：对任意的 x0, f (x) +exx2+x+2.(二)选考题：共 1010 分请考生在第 2222、2323 题中任选一题作答如果多做， 则按所做的第一题计分答题

9、时请写清题号并将相应信息点涂黑.选修 4-44-4 参数方程与极坐标系22.(10 分)在直角坐标系中，直线的参数方程为丫 (t 为参数)在以坐标ly=l+t原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 C:p=2_.门-上(I)求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；(n)求曲线上的点到直线的距离的最大值.选修 4-54-5:不等式选讲23.已知函数 f (x) =|x+a- 1|+| x 2a| .(1) 若 f (1)v3,求实数 a 的取值范围；(2) 若 a 1, x R,求证：f (x) 2.162018 年广东省东莞市高考数学二调试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共

10、 1212 小题，每小题 5 5 分，共 6060 分.在每小题给出的四个选 项中，只有一项是符合题目要求的.1. (5 分)已知 A=1, 2, 4, 8, 16 , B=y|y=logx, x A，则 AHB=()A. 1, 2 B. 2, 4, 8 C. 1, 2, 4 D. 1, 2, 4, 8【解答】解：A=1, 2, 4, 8, 16, B=y| y=log2x, x A=0, 1, 2, 3, 4, AHB=1,2,4.故选：C.2. （5 分）若复数 z 满足（1+2i） z= （1- i）,则|z|=（）A.：B.；C. D.不555【解答】解：由（1+2i） z= （1-i

11、）,彳曰】.: -：-： = 一寸 I 匚I I：i=，则 |z|=-一故选：C.(si ncosa)2=1-2sinacosa-=Si n2【解答】解：sin cosa=,iB4C4D.3. （5 分）已知 sinCOSa=贝 U sin2a=A.16故选：A.4. （5 分）直线 I 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到I 的距离为其短轴长的 I，则该椭圆的离心率为（）4A.丄 B.丄 C. - D.32342 2【解答】解：设椭圆的方程为直线 I 经过椭圆的一个顶点和一个 a b焦占八、八、）则直线方程为：一一丄，椭圆中心到 I 的距离为其短轴长的,2 2一一一 =3-2=3,C

12、e=a 2故选：B.B= , BC 边上的高等于1BC,贝 U sinA=(D-T【解答】解：在 ABC 中，B , BC 边上的高等于丄 BC,43 AB= - BC,3由余弦定理得：AC= .：一 =-二二-BC,sinA=故选：Dx-yO5.（5 分）在厶 ABC 中,故BC?BC=AB?AC?sinABC?sinA6.（5 分）已知b-y-gO,则z=22x+y的最小值是（）x+y-20A. 1B. 16 C. 8D. 4【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图，设 m=2x+y，则得 y=- 2x+m,平移直线 y= - 2x+m,由图象可知当直线 y=-2x+m 经过点 A 时，

13、直线的截距最小, 此时 m 最小，z 也最小，由卩，解得产 1,得 A （1,1）h+y-2=0ly=l此时 m=2X1+仁 3, z=22x+y=z=23=8,故选：C.7.（5 分）执行如图所示的程序框图，则输出的结果为（/W7结束A. 7 B. 9C. 10 D. 11【解答】解：模拟程序的运行，可得:- I :,否；13i=3, S=lg-Flg-=1i=5, S=lg-Hgy=l17ih, s=lgy+lgy=l-1 L, - 二二:，是，输出 i=9.故选：B.8. (5分)设函数f (x) =x3+ax2， 若曲线y=f (x)在点P (xo， f (xo)处的切线 方程为x+y

14、=0，则点 P 的坐标为()A. (0, 0) B. (1，- 1)C. (- 1，1) D. (1，- 1)或(1，1)【解答】解： f (x) =x3+a/，f(x) =3x2+2ax，函数在点(xo，f (Xo)处的切线方程为 x+y=0，2 3x0+2ax0= - 1，Txj+X03+ax02=0，解得 X0= 1 .当 X0=1 时，f (X0)=- 1，当 X0= 1 时，f (X0)=1.故选：D.，否;，否;，否;9.(5 分)在正四棱锥 P- ABCD 中，PA=2 直线 PA 与平面 ABCD 所成角为 60 E 为PC 的中点，则异面直线 PA 与 BE 所成角为( )A

15、.90 B.60 C.45D.30【解答】解：连接 AC, BD 交于点 0,连接 0E, OP因为 E 为 PC 中点，所以 0E/ PA,所以/ 0EB 即为异面直线 PA 与 BE 所成的角.因为四棱锥 P- ABCD 为正四棱锥，所以 P0 丄平面 ABCC，所以 A0 为 PA 在面 ABCD 内的射影，所以/ PA0 即为 PA 与面 ABCD 所成的角，即/ PA0=6O,因为 PA=2 所以 0A=0B=1 0E=1.所以在直角三角形 E0B 中/0EB=45,即面直线 PA 与 BE 所成的角为 4510. (5 分)已知函数 f (x) =sinx+入 cos(入 R)的图

16、象关于 x=- 对称， 则把 函数 f (x)的图象上每个点的横坐标扩大到原来的 2 倍，再向右平移得到 函数 g (x)的图象，则函数 g (X)的一条对称轴方程为()A兀 c 兀 c 兀r nnA. x=B. x=C. x= D. x=6436IT【解答】解：根据函数 f (x) =sinx+入 cos(R)的图象关于 x=- 对称，可得 -.-I丄可得入=1所以1.1:，, , I 111.-把 f (X)的图象横坐标扩大到原来的 2 倍，可得 y=sin ( x-)的图象，24再向右平移一，得到函数 g (x)=二 sin丄(x-)-_=匚 sin (丄 x-)3234212的图象，即

17、 g (x)=匚 sin (=.-_)，令:=k*三，求得 x=2kn，k Z,故函数 g (x)的图象的对称轴212 2 6 方程为 x=2kn，k Z.6当 k=0 时，对称轴的方程为，丄x6故选：D. f (-x)=2(-x)2-e|-x=2x2-eix，故函数为偶函数，当 x= 2 时，y=8 - e2( 0，1)，故排除 A，B;当 x 0，2时，f (x) =y=2x2- ex，11. (5 分)函数 y=2x2- e|x|在-2, f(x) =4x- ex=0 有解，故函数 y=2x?-M 在0，2不是单调的，故排除 C，故选：D12. (5 分)已知函数 f (x) =xsin

18、x+cosxx2，则不等式 i - . ,_i的x解集为()A.(e，+x)B.(0,e)C一. I I ,.D.丄、=：ee【解答】解：函数 f (x) =xsinx+cosx+x2的导数为：f (x)=sinx+xcosx- sinx+2x=x (2+cosx),则 x 0 时，f( x) 0, f (x)递增，且 f (- x) =xsinx+cos (- x) + (- x)2=f (x),则为偶函数，即有 f (x) =f (|x| ),则不等式I - .1：,即为 f (Inx)vf (1)x即为 f(| lnx|)vf(1),则|lnx|v1,即-1vlnxv1,解得，一vxve

19、.e故选：D.、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.- 1 一 |；即 x+2 (x+1) =0;2故答案为：.14. （5 分）在各项都为正数的等比数列中，已知 a1=2,-,.,n+l则数列On的通项公式 an=_.：_.【解答】解：设等比数列On的公比为 q 0,V01=2,.- 13.（5 分）设向量 1=（x，x+1） ，b= （1, 2），且；丄 X，贝 Ux=_ 亠 + ：严 ，化为：q4- 4q2+4=,解得 q2=2, q0,解得 q= :.n十则数列&的通项公式 an=*&Q=:.门十故答案为：.15. (5 分)已知|x| 2, |y|

20、 2,点 P 的坐标为(x, y),当 x, y R 时， 点 P 满足(x- 2)2+(y-2)24 的概率为16【解答】解：如图，点 P 所在的区域为正方形 ABCD 及其内部 满足(x-2)2+ (y-2)24的点位于的区域是 以 C (2, 2)为圆心，半径等于 2 的圆及其内部 P 满足(x-2)2+ (y-2)24 的概率为pJ扇羽寺开1匕 -4:故答案为：.rfl20,若存在实数 b,LI_2IBX+4ID使得关于 x 的方程 f(x) =b 有三个不同的零点，则 m 的取值范围是 (3, +X).【解答】解：当 m0 时，函数的图象如下：x-2inx+4in/ xm 时，f (

21、x) =x2- 2mx+4m= (x- m)2+4m - m24m - m2,二 y 要使得关于 x 的方程 f (x) =b 有三个不同的根，必须 4m - m2vm (m0),即 m2 3m (m 0),解得 m3,m 的取值范围是(3, +x),故答案为：(3,+x).三解答题：共 7070 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第仃2121题为必考题，每个考生都必须作答.第2222、2323 题为选考题，考生根据要求作答.(一)必考题：共 6060 分.17. (12 分)已知数列an的前 n 项和为 Sn，且 S1=2an- 2 (n N*).(I)求数列an的通项公式；(n)

22、求数列SJ 的前 n 项和 Tn.【解答】解：(I)列an的前 n 项和为 Sn,且 Sn=2an-2.则：Sn+i=2an+i- 2 ，-得：an+1=2an，即：亠.(常数)，当 n=1 时，ai=S=2ai- 2，解得：a1=2，所以数列的通项公式为：-：，(n)由于：一-，则：1,点，- . ： : -2 -2 2,=2n+2- 4 -2n.18.（12 分）某城市随机抽取一年（365 天）内 100 天的空气质量指数 API 的监 测数据，结果统计如下：API0，(50，(100，(150，(200，(250， 30050100150200250300空气质优良轻微污轻度污中度污中度

23、重污重度污量染染染染染天数413183091115记某企业每天由空气污染造成的经济损失（单位： 元） ， 空气质量指数 API 为在 区间0, 100对企业没有造成经济损失；在区间（100, 300对企业造成经济损 失成直线模型（当 API 为 150 时造成的 经济损失为 500 元，当 API 为 200 时， 造成的经济损失为 700 元）；当 API 大于 300 时造成的 经济损失为 2000 元；（1） 试写出是 S （ 3）的表达式：（2） 试估计在本年内随机抽取一天，该天经济损失 S 大于 200 元且不超过 600 元的概率；（3） 若本次抽取的样本数据有 30 天是在供暖季

24、，其中有 8 天为重度污染，完成 下面 2X2 列联表，并判断能否有 95%的把握认为该市本年空气重度污染与供暖 有关？附：P (Ck0)0.250.150.100.050.0250.0100.0050.001k01.322.072.703.848.026.637.8710.82n (ad-bu) I r ：i . i:非重度污染重度污染合计供暖季非供暖季合计100【解答】解：（1）根据在区间0, 100对企业没有造成经济损失；在区间（100, 300对企业造成经济损失成直线模型（当 API 为 150 时造成的经济损失为 500 元, 当 API为 200 时，造成的经济损失为 700 元）

25、；当 API 大于 300 时造成的经济损O 0, 100失为 2000 元，可得S（3）十 43-100,（100, 300;2000, xE（300, +8）（2）设 在本年内随机抽取一天，该天经济损失 S 大于 200 元且不超过 600 元”为事件 A;由 200vS3.841所以有 95%的把握认为空气重度污染与供暖有关.19. （12 分）如图 1,矩形 ABCD 中，AB=12, AD=6, E、F 分别为 CD AB 边上的 点，且 DE=3, BF=4,将厶 BCE 沿 BE 折起至 PBE 位置（如图 2 所示），连结 AP、（1）求证：PF 丄平面 ABED（2）求点 A

26、 到平面 PBE 的距离.【解答】解：（1）连结 EF,由翻折不变性可知，PB=BC=6 PE=CE=9在厶 PBF 中, PF2+BF2=20+16=36=P,所以 PF 丄 BF（2 分）在图 1 中，利用勾股定理，得 EF=m7：4= T7,在厶 PEF 中, EF2+P=61+20=8 仁 PE, PF 丄 EF（4 分）又 BFA EF=F BF?平面 ABED, EF?平面 ABED PF 丄平面 ABED - （6 分）（2）解：由（1）知 PF 丄平面 ABED, PF 为三棱锥 P-ABE 的高.（8 分）设点 A 到平面 PBE 的距离为 h ,由等体积法得 VA-PBE=

27、VP-ABE, （10 分）即 . 一 -.： ：.一二 h=3，即点 A 到平面 PBE 的距离为 .（14 分）3图1B图?20. （12 分）已知椭圆 C: V -的离心率为,且过点 A（ 2 , 1）.a2（I）求椭圆 C 的方程；（n） 若 P, Q 是椭圆 C 上的两个动点,且使/ PAQ 的角平分线总垂直于 x 轴,试判断直线 PQ 的斜率是否为定值？若是，求出该值；若不是，说明理由.【解答】解：(I)因为椭圆 C 的离心率为二丄，且过点 A(2,1),2因为 a2=b2+c2,解得 a2=8, b2=2, （3 分）2 2所以椭圆 C 的方程为-( 4 分)8 2(U)解法一：

28、因为/ PAQ 的角平分线总垂直于 x 轴，所以 PA 与 AQ 所在直线 关于直线 x=2 对称.设直线 PA 的斜率为 k,贝 U 直线 AQ 的斜率为-匕(5 分)所以直线 PA 的方程为 y-仁 k (x-2),直线 AQ 的方程为 y-仁-k (x-2). 设点 P (xp, yp),Q (XQ, yQ),-l=k(x-2)由，/ 护 ，消去 丫，得(1+4k2) x2-( 16k2- 8k) x+16k2- 16k-4=0.因为点 A(2,1)在椭圆 C 上，所以 x=2 是方程的一个根，则（6 分）所以（ 7 分）$ l+4kZ9同理(8分)所以9分)所以直线 PQ 的斜率为_-

29、. (11 分)所以直线 PQ 的斜率为定值，该值为.( 12 分)16k?-16k-4l+4k2又丁二- .1_ 1l+4k2（10 分）解法二：设点 P (X1, y1), Q (x2, y2),则直线 PA 的斜率.-；,直线 QA 的斜率:.因为/ PAQ 的角平分线总垂直于 x 轴，所以 PA 与 AQ 所在直线关于直线 x=2 对称.所以kpA=-kQA，即，（5分）因为点 P (xi, yi), Q (X2, y2)在椭圆 C 上,1y11x1+2由得: | .:，得，(6分)（7 分）化简得 Xiy2+X2y1+ (X1+X2) +2 (yi+y2)+4=0,(8 分) 由得

30、Xiy2+X2yi-(X1+X2)- 2(yi+y2) +4=0，(9 分)-得 Xi+X2=- 2 (yi+y2).(10 分)所以直线 PQ 的斜率为一为定值.（12 分）解法三：设直线 PQ 的方程为 y=kX+b，点 P （X1, yj , Q （X2, y2）,贝Uy1=kX1+b, y2=kX2+b,y 1_1 p _1直线 PA 的斜率_1,直线 QA 的斜率5 分）因为/ PAQ 的角平分线总垂直于 X 轴，所以 PA 与 AQ 所在直线关于直线X=2 对称.y1-1y 空 一 1所以 kpA=- kQA,即 =, , - （6 分）x! -2七_2由得X j+2K2+2同理由

31、得-得1,得龙严 24ky1+y2)2(11 分)2 2所以，化简得 X1y2+X2y1-(X1+X2)- 2 (y1+y2) +4=0.把 yi=kxi+b, y2=kx2+b 代入上式，并化简得2kxix2+ (b - 1 - 2k) (X1+X2)-4b+4=0. (*)(7 分)由-v2V2，消去 y 得(4“+1) x2+8kbx+4b2- 8=0, (* )谀七，:, ，1 4k2+l代入(* )得丄二一亠一 _；”启一”，(9 分)4k2+l4kZ+l整理得(2k- 1) (b+2k- 1) =0, 所以厂丄或 b=1 - 2k.(10 分)若 b=1 - 2k,可得方程(*)的一个根为 2，不合题意.(11 分) 若.厂丄时，合题意.所以直线 PQ 的斜率为定值，该值为(12 分)21.(12 分)已知函数 f (x) =x2-(a- 2) x- alnx (a R).(I)求函数 y=f (x)的单调区间；(U)当 a=1 时，证明：对任意的 x0, f (x) +ex/+X+2.【解答】解：(I)函数 f(x)的定义域是(0，+x)，f(x)=2x-(a- 2)-1(2 分)当 a 0 对任意 x( 0，+x)恒成立，所以，函数 f (x)在区间(0，+x)单调递增；(4 分)当 a0 时，由 f (x)0 得