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文档简介
1、广东省东莞市高考数学二调试卷(文科)一、选择题:本题共 1212 小题,每小题 项 中,只有一项是符合题目要求的.5 5 分,共 6060 分.在每小题给出的四个选(5 分)已知 A=1, 2, 4,8,16,B=y| y=iog2x, x A,贝 U AnB=()79-夕B.-彳 C.4D. 土99(5 分)直线I 经过椭圆的一个顶点和一个焦点,若椭圆中心到 I 的距离为其A . 1B . 16 C. 8 D . 47.(5 分)执行如图所示的程序框图,则输出的结果为()A.2.A.1, 2 B. 2, 4, 8 C. 1, 2,(5 分)若复数 z 满足(1+2i) z= (1- i),B
2、.:554D. 1, 2,4, 8则 |z|=()3. (5 分)已知 sinC.1D .不5-cosa-=,贝U sin2a =3A.4.短轴长的1, 则该椭圆的离心率为(A.c-i5. (5 分) 在厶 ABC中,A.D.4B=,BC 边上的高等6._BTC10105x-yAO(5 分)已知* 3x-y-6C0 ,则乙=2的最小值是(x+y-20/W7结束A. 7 B. 9C. 10 D. 118.(5 分)设函数 f (x) =x3+a,若曲线 y=f (x)在点 P (x, f (x。)处的切线 方程为 x+y=0,则点 P 的坐标为()A. (0,0)B. (1,- 1) C. (-
3、 1, 1) D. (1,- 1)或(1, 1)9.(5 分)在正四棱锥 P-ABCD 中,PA=2,直线 PA 与平面 ABCD 所成角为 60E 为 PC 的中点,则异面直线 PA 与 BE 所成角为()二、填空题:本题共 4 4 小题,每小题 5 5 分,共 2020 分.13. (5 分)设向量 a= (x, x+1), b= (1, 2),且丄 B,则 x=_14.(5 分)在各项都为正数的等比数列an中,已知 ai=2, ,.,A. 90 B.60 C.45D.3010. (5 分)函数 f (x)已知函数 f( x) =sinx+入 cos(入 R)的图象关于 x=-一对称,4的
4、图象上每个点的横坐标扩大到原来的2 倍,再向右平移,3则把得到函数 g (x)A兀A. x=6的图象,则函数 g (x)的一条对称轴方程为(B.x=C. x=D. x=l1-436A. (e,+x)B.(0,e)C. 丨丨 D.:一二ee解集为()n+t nnr 1则数列an的通项公式 an=_.15. ( 5 分)已知|x| 2, |y| 2,点 P 的坐标为(x, y),当 x, y R 时,点 P满足(x- 2)2+ (y- 2)20,若存在实数 b,Lz -2mx+4im使得关于 x 的方程 f (x) =b 有三个不同的零点,贝 U m 的取值范围是_ .三.解答题:共 7070 分
5、,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.第仃2121题为必考题,每个考生都必须作答第2222、2323 题为选考题,考生根据要求作答.(一)必考题:共 6060 分.17. (12 分)已知数列an的前 n 项和为 Sn,且 Sn=2an-2 (n N*).(I)求数列 an的通项公式;(n)求数列S的前 n 项和 Tn.18. (12 分)某城市随机抽取一年(365 天)内 100 天的空气质量指数 API 的监 测数据,结果统计如下:API0,(50,(100,(150,(200,(250, 30050100150200250300空气质优良轻微污轻度污中度污中度重污重度污量染染染染染天
6、数413183091115记某企业每天由空气污染造成的经济损失 (单位:元),空气质量指数 API 为.在 区间0, 100对企业没有造成经济损失;在区间(100, 300对企业造成经济损 失成直线模型(当 API 为 150 时造成的 经济损失为 500 元,当 API 为 200 时, 造成的经济损失为 700 元);当 API 大于 300 时造成的 经济损失为 2000 元;(1) 试写出是 S (3)的表达式:(2) 试估计在本年内随机抽取一天,该天经济损失 S大于200元且不超过600 元的概率;(3) 若本次抽取的样本数据有 30 天是在供暖季,其中有 8 天为重度污染,完成下面
7、 2X2 列联表,并判断能否有 95%的把握认为该市本年空气重度污染与供暖 有关?非重度污染重度污染合计供暖季非供暖季合计10019. (12 分)如图 1,矩形 ABCD 中,AB=12, AD=6, E、F 分别为 CD AB 边上的点,且 DE=3, BF=4,将厶 BCE 沿 BE 折起至 PBE 位置(如图 2 所示),连结 AP、(2)求点 A 到平面 PBE 的距离.20. (12 分)已知椭圆 C::亠-的离心率为丄上,且过点 A (2, 1). a b (I)求椭圆 C 的方程;(n)若 P, Q 是椭圆 C 上的两个动点,且使/ PAQ 的角平分线总垂直于 x 轴, 试判断
8、直线 PQ 的斜率是否为定值?若是,求出该值;若不是,说明理由.21. (12 分)已知函数 f (x) =x2-(a- 2) x- alnx (a R).2P (K2ko)0.250.150.100.050.0250.0100.0050.001ko1.322.072.703.848.026.637.8710.82附:2K2=II -:1 | .I: . r. I:(I)求函数 y=f (x)的单调区间;(n)当 a=1 时,证明:对任意的 x0, f (x) +exx2+x+2.(二)选考题:共 1010 分请考生在第 2222、2323 题中任选一题作答如果多做, 则按所做的第一题计分答题
9、时请写清题号并将相应信息点涂黑.选修 4-44-4 参数方程与极坐标系22.(10 分)在直角坐标系中,直线的参数方程为丫 (t 为参数)在以坐标ly=l+t原点为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线 C:p=2_.门-上(I)求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程;(n)求曲线上的点到直线的距离的最大值.选修 4-54-5:不等式选讲23.已知函数 f (x) =|x+a- 1|+| x 2a| .(1) 若 f (1)v3,求实数 a 的取值范围;(2) 若 a 1, x R,求证:f (x) 2.162018 年广东省东莞市高考数学二调试卷(文科)参考答案与试题解析一、选择题:本题共
10、 1212 小题,每小题 5 5 分,共 6060 分.在每小题给出的四个选 项中,只有一项是符合题目要求的.1. (5 分)已知 A=1, 2, 4, 8, 16 , B=y|y=logx, x A,则 AHB=()A. 1, 2 B. 2, 4, 8 C. 1, 2, 4 D. 1, 2, 4, 8【解答】解:A=1, 2, 4, 8, 16, B=y| y=log2x, x A=0, 1, 2, 3, 4, AHB=1,2,4.故选:C.2. (5 分)若复数 z 满足(1+2i) z= (1- i),则|z|=()A.:B.;C. D.不555【解答】解:由(1+2i) z= (1-i
11、),彳曰】.: -:-: = 一寸 I 匚I I:i=,则 |z|=-一故选:C.(si ncosa)2=1-2sinacosa-=Si n2【解答】解:sin cosa=,iB4C4D.3. (5 分)已知 sinCOSa=贝 U sin2a=A.16故选:A.4. (5 分)直线 I 经过椭圆的一个顶点和一个焦点,若椭圆中心到I 的距离为其短轴长的 I,则该椭圆的离心率为()4A.丄 B.丄 C. - D.32342 2【解答】解:设椭圆的方程为直线 I 经过椭圆的一个顶点和一个 a b焦占八、八、)则直线方程为:一一丄,椭圆中心到 I 的距离为其短轴长的,2 2一一一 =3-2=3,C
12、e=a 2故选:B.B= , BC 边上的高等于1BC,贝 U sinA=(D-T【解答】解:在 ABC 中,B , BC 边上的高等于丄 BC,43 AB= - BC,3由余弦定理得:AC= .:一 =-二二-BC,sinA=故选:Dx-yO5.(5 分)在厶 ABC 中,故BC?BC=AB?AC?sinABC?sinA6.(5 分)已知b-y-gO,则z=22x+y的最小值是()x+y-20A. 1B. 16 C. 8D. 4【解答】解:作出不等式组对应的平面区域如图,设 m=2x+y,则得 y=- 2x+m,平移直线 y= - 2x+m,由图象可知当直线 y=-2x+m 经过点 A 时,
13、直线的截距最小, 此时 m 最小,z 也最小,由卩,解得产 1,得 A (1,1)h+y-2=0ly=l此时 m=2X1+仁 3, z=22x+y=z=23=8,故选:C.7.(5 分)执行如图所示的程序框图,则输出的结果为(/W7结束A. 7 B. 9C. 10 D. 11【解答】解:模拟程序的运行,可得:- I :,否;13i=3, S=lg-Flg-=1i=5, S=lg-Hgy=l17ih, s=lgy+lgy=l-1 L, - 二二:,是,输出 i=9.故选:B.8. (5分)设函数f (x) =x3+ax2, 若曲线y=f (x)在点P (xo, f (xo)处的切线 方程为x+y
14、=0,则点 P 的坐标为()A. (0, 0) B. (1,- 1)C. (- 1,1) D. (1,- 1)或(1,1)【解答】解: f (x) =x3+a/,f(x) =3x2+2ax,函数在点(xo,f (Xo)处的切线方程为 x+y=0,2 3x0+2ax0= - 1,Txj+X03+ax02=0,解得 X0= 1 .当 X0=1 时,f (X0)=- 1,当 X0= 1 时,f (X0)=1.故选:D.,否;,否;,否;9.(5 分)在正四棱锥 P- ABCD 中,PA=2 直线 PA 与平面 ABCD 所成角为 60 E 为PC 的中点,则异面直线 PA 与 BE 所成角为( )A
15、.90 B.60 C.45D.30【解答】解:连接 AC, BD 交于点 0,连接 0E, OP因为 E 为 PC 中点,所以 0E/ PA,所以/ 0EB 即为异面直线 PA 与 BE 所成的角.因为四棱锥 P- ABCD 为正四棱锥,所以 P0 丄平面 ABCC,所以 A0 为 PA 在面 ABCD 内的射影,所以/ PA0 即为 PA 与面 ABCD 所成的角,即/ PA0=6O,因为 PA=2 所以 0A=0B=1 0E=1.所以在直角三角形 E0B 中/0EB=45,即面直线 PA 与 BE 所成的角为 4510. (5 分)已知函数 f (x) =sinx+入 cos(入 R)的图
16、象关于 x=- 对称, 则把 函数 f (x)的图象上每个点的横坐标扩大到原来的 2 倍,再向右平移得到 函数 g (x)的图象,则函数 g (X)的一条对称轴方程为()A兀 c 兀 c 兀r nnA. x=B. x=C. x= D. x=6436IT【解答】解:根据函数 f (x) =sinx+入 cos(R)的图象关于 x=- 对称,可得 -.-I丄可得入=1所以1.1:,, , I 111.-把 f (X)的图象横坐标扩大到原来的 2 倍,可得 y=sin ( x-)的图象,24再向右平移一,得到函数 g (x)=二 sin丄(x-)-_=匚 sin (丄 x-)3234212的图象,即
17、 g (x)=匚 sin (=.-_),令:=k*三,求得 x=2kn,k Z,故函数 g (x)的图象的对称轴212 2 6 方程为 x=2kn,k Z.6当 k=0 时,对称轴的方程为,丄x6故选:D. f (-x)=2(-x)2-e|-x=2x2-eix,故函数为偶函数,当 x= 2 时,y=8 - e2( 0,1),故排除 A,B;当 x 0,2时,f (x) =y=2x2- ex,11. (5 分)函数 y=2x2- e|x|在-2, f(x) =4x- ex=0 有解,故函数 y=2x?-M 在0,2不是单调的,故排除 C,故选:D12. (5 分)已知函数 f (x) =xsin
18、x+cosxx2,则不等式 i - . ,_i的x解集为()A.(e,+x)B.(0,e)C一. I I ,.D.丄、=:ee【解答】解:函数 f (x) =xsinx+cosx+x2的导数为:f (x)=sinx+xcosx- sinx+2x=x (2+cosx),则 x 0 时,f( x) 0, f (x)递增,且 f (- x) =xsinx+cos (- x) + (- x)2=f (x),则为偶函数,即有 f (x) =f (|x| ),则不等式I - .1:,即为 f (Inx)vf (1)x即为 f(| lnx|)vf(1),则|lnx|v1,即-1vlnxv1,解得,一vxve
19、.e故选:D.、填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.- 1 一 |;即 x+2 (x+1) =0;2故答案为:.14. (5 分)在各项都为正数的等比数列中,已知 a1=2,-,.,n+l则数列On的通项公式 an=_.:_.【解答】解:设等比数列On的公比为 q 0,V01=2,.- 13.(5 分)设向量 1=(x,x+1) ,b= (1, 2),且;丄 X,贝 Ux=_ 亠 + :严 ,化为:q4- 4q2+4=,解得 q2=2, q0,解得 q= :.n十则数列&的通项公式 an=*&Q=:.门十故答案为:.15. (5 分)已知|x| 2, |y|
20、 2,点 P 的坐标为(x, y),当 x, y R 时, 点 P 满足(x- 2)2+(y-2)24 的概率为16【解答】解:如图,点 P 所在的区域为正方形 ABCD 及其内部 满足(x-2)2+ (y-2)24的点位于的区域是 以 C (2, 2)为圆心,半径等于 2 的圆及其内部 P 满足(x-2)2+ (y-2)24 的概率为pJ扇羽寺开1匕 -4:故答案为:.rfl20,若存在实数 b,LI_2IBX+4ID使得关于 x 的方程 f(x) =b 有三个不同的零点,则 m 的取值范围是 (3, +X).【解答】解:当 m0 时,函数的图象如下:x-2inx+4in/ xm 时,f (
21、x) =x2- 2mx+4m= (x- m)2+4m - m24m - m2,二 y 要使得关于 x 的方程 f (x) =b 有三个不同的根,必须 4m - m2vm (m0),即 m2 3m (m 0),解得 m3,m 的取值范围是(3, +x),故答案为:(3,+x).三解答题:共 7070 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.第仃2121题为必考题,每个考生都必须作答.第2222、2323 题为选考题,考生根据要求作答.(一)必考题:共 6060 分.17. (12 分)已知数列an的前 n 项和为 Sn,且 S1=2an- 2 (n N*).(I)求数列an的通项公式;(n)
22、求数列SJ 的前 n 项和 Tn.【解答】解:(I)列an的前 n 项和为 Sn,且 Sn=2an-2.则:Sn+i=2an+i- 2 ,-得:an+1=2an,即:亠.(常数),当 n=1 时,ai=S=2ai- 2,解得:a1=2,所以数列的通项公式为:-:,(n)由于:一-,则:1,点,- . : : -2 -2 2,=2n+2- 4 -2n.18.(12 分)某城市随机抽取一年(365 天)内 100 天的空气质量指数 API 的监 测数据,结果统计如下:API0,(50,(100,(150,(200,(250, 30050100150200250300空气质优良轻微污轻度污中度污中度
23、重污重度污量染染染染染天数413183091115记某企业每天由空气污染造成的经济损失(单位: 元) , 空气质量指数 API 为在 区间0, 100对企业没有造成经济损失;在区间(100, 300对企业造成经济损 失成直线模型(当 API 为 150 时造成的 经济损失为 500 元,当 API 为 200 时, 造成的经济损失为 700 元);当 API 大于 300 时造成的 经济损失为 2000 元;(1) 试写出是 S ( 3)的表达式:(2) 试估计在本年内随机抽取一天,该天经济损失 S 大于 200 元且不超过 600 元的概率;(3) 若本次抽取的样本数据有 30 天是在供暖季
24、,其中有 8 天为重度污染,完成 下面 2X2 列联表,并判断能否有 95%的把握认为该市本年空气重度污染与供暖 有关?附:P (Ck0)0.250.150.100.050.0250.0100.0050.001k01.322.072.703.848.026.637.8710.82n (ad-bu) I r :i . i:非重度污染重度污染合计供暖季非供暖季合计100【解答】解:(1)根据在区间0, 100对企业没有造成经济损失;在区间(100, 300对企业造成经济损失成直线模型(当 API 为 150 时造成的经济损失为 500 元, 当 API为 200 时,造成的经济损失为 700 元)
25、;当 API 大于 300 时造成的经济损O 0, 100失为 2000 元,可得S(3)十 43-100,(100, 300;2000, xE(300, +8)(2)设 在本年内随机抽取一天,该天经济损失 S 大于 200 元且不超过 600 元”为事件 A;由 200vS3.841所以有 95%的把握认为空气重度污染与供暖有关.19. (12 分)如图 1,矩形 ABCD 中,AB=12, AD=6, E、F 分别为 CD AB 边上的 点,且 DE=3, BF=4,将厶 BCE 沿 BE 折起至 PBE 位置(如图 2 所示),连结 AP、(1)求证:PF 丄平面 ABED(2)求点 A
26、 到平面 PBE 的距离.【解答】解:(1)连结 EF,由翻折不变性可知,PB=BC=6 PE=CE=9在厶 PBF 中, PF2+BF2=20+16=36=P,所以 PF 丄 BF(2 分)在图 1 中,利用勾股定理,得 EF=m7:4= T7,在厶 PEF 中, EF2+P=61+20=8 仁 PE, PF 丄 EF(4 分)又 BFA EF=F BF?平面 ABED, EF?平面 ABED PF 丄平面 ABED - (6 分)(2)解:由(1)知 PF 丄平面 ABED, PF 为三棱锥 P-ABE 的高.(8 分)设点 A 到平面 PBE 的距离为 h ,由等体积法得 VA-PBE=
27、VP-ABE, (10 分)即 . 一 -.: :.一二 h=3,即点 A 到平面 PBE 的距离为 .(14 分)3图1B图?20. (12 分)已知椭圆 C: V -的离心率为,且过点 A( 2 , 1).a2(I)求椭圆 C 的方程;(n) 若 P, Q 是椭圆 C 上的两个动点,且使/ PAQ 的角平分线总垂直于 x 轴,试判断直线 PQ 的斜率是否为定值?若是,求出该值;若不是,说明理由.【解答】解:(I)因为椭圆 C 的离心率为二丄,且过点 A(2,1),2因为 a2=b2+c2,解得 a2=8, b2=2, (3 分)2 2所以椭圆 C 的方程为-( 4 分)8 2(U)解法一:
28、因为/ PAQ 的角平分线总垂直于 x 轴,所以 PA 与 AQ 所在直线 关于直线 x=2 对称.设直线 PA 的斜率为 k,贝 U 直线 AQ 的斜率为-匕(5 分)所以直线 PA 的方程为 y-仁 k (x-2),直线 AQ 的方程为 y-仁-k (x-2). 设点 P (xp, yp),Q (XQ, yQ),-l=k(x-2)由,/ 护 ,消去 丫,得(1+4k2) x2-( 16k2- 8k) x+16k2- 16k-4=0.因为点 A(2,1)在椭圆 C 上,所以 x=2 是方程的一个根,则(6 分)所以( 7 分)$ l+4kZ9同理(8分)所以9分)所以直线 PQ 的斜率为_-
29、. (11 分)所以直线 PQ 的斜率为定值,该值为.( 12 分)16k?-16k-4l+4k2又丁二- .1_ 1l+4k2(10 分)解法二:设点 P (X1, y1), Q (x2, y2),则直线 PA 的斜率.-;,直线 QA 的斜率:.因为/ PAQ 的角平分线总垂直于 x 轴,所以 PA 与 AQ 所在直线关于直线 x=2 对称.所以kpA=-kQA,即,(5分)因为点 P (xi, yi), Q (X2, y2)在椭圆 C 上,1y11x1+2由得: | .:,得,(6分)(7 分)化简得 Xiy2+X2y1+ (X1+X2) +2 (yi+y2)+4=0,(8 分) 由得
30、Xiy2+X2yi-(X1+X2)- 2(yi+y2) +4=0,(9 分)-得 Xi+X2=- 2 (yi+y2).(10 分)所以直线 PQ 的斜率为一为定值.(12 分)解法三:设直线 PQ 的方程为 y=kX+b,点 P (X1, yj , Q (X2, y2),贝Uy1=kX1+b, y2=kX2+b,y 1_1 p _1直线 PA 的斜率_1,直线 QA 的斜率5 分)因为/ PAQ 的角平分线总垂直于 X 轴,所以 PA 与 AQ 所在直线关于直线X=2 对称.y1-1y 空 一 1所以 kpA=- kQA,即 =, , - (6 分)x! -2七_2由得X j+2K2+2同理由
31、得-得1,得龙严 24ky1+y2)2(11 分)2 2所以,化简得 X1y2+X2y1-(X1+X2)- 2 (y1+y2) +4=0.把 yi=kxi+b, y2=kx2+b 代入上式,并化简得2kxix2+ (b - 1 - 2k) (X1+X2)-4b+4=0. (*)(7 分)由-v2V2,消去 y 得(4“+1) x2+8kbx+4b2- 8=0, (* )谀七,:, ,1 4k2+l代入(* )得丄二一亠一 _;”启一”,(9 分)4k2+l4kZ+l整理得(2k- 1) (b+2k- 1) =0, 所以厂丄或 b=1 - 2k.(10 分)若 b=1 - 2k,可得方程(*)的一个根为 2,不合题意.(11 分) 若.厂丄时,合题意.所以直线 PQ 的斜率为定值,该值为(12 分)21.(12 分)已知函数 f (x) =x2-(a- 2) x- alnx (a R).(I)求函数 y=f (x)的单调区间;(U)当 a=1 时,证明:对任意的 x0, f (x) +ex/+X+2.【解答】解:(I)函数 f(x)的定义域是(0,+x),f(x)=2x-(a- 2)-1(2 分)当 a 0 对任意 x( 0,+x)恒成立,所以,函数 f (x)在区间(0,+x)单调递增;(4 分)当 a0 时,由 f (x)0 得
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