通信原理-信号频谱分析和概率论补充

1、12022-4-1第第 2 2 章章 信号与噪声分析信号与噪声分析 2.1 通信常用信号和系统响应2.2 信号频谱分析概述2.3 随机变量的统计特性返回主目录22022-4-1n通信过程是有用信号通过通信系统的过程，且在通信系统各点常常伴随有噪声的加入及此加入噪声在系统中的传输。由此看来，分析与研究通信系统，总离不开对信号和噪声的分析。实际的信号通常是随机的，加之通信系统中普遍存在的噪声都是随机的，所以对随机信号的分析是非常重要的。 32022-4-1n从统计数学的观点看，随机信号和噪声统称为随机过程。因此，统计数学中有关随机过程的理论可以运用到随机信号和噪声的分析中来。n本章将在先修课程的基

2、础上，首先介绍通信系统常用信号并对确知信号的分析作必要的复习巩固，然后在复习概率论基本概念的基础上，讨论随机信号和噪声的数学模型随机过程。 42022-4-12.1 通信常用信号和系统响应通信常用信号和系统响应n2.1.1常用信号n由语音、图像、数码等形成的电信号，其形式可以是多种多样的，从不同的角度进行分类可以得出各种不同的名称。但是从信号数学分析的角度来说，通常采用下面的几种分类。n数字信号与模拟信号 n确知信号与随机信号 n周期信号与非周期信号n能量信号与功率信号 52022-4-1n在通信过程中，信号的变换和传输是由系统完成的。系统是指包括有若干元件或若干部件的设备。系统有大有小，大到

3、由很多部件组成的完整系统，小到由具体几个电路组成的部件。信号在系统中的变换和传输可用图2.1表示，图中假设输入信号为x(t)，通过系统后得到的输出响应为y(t)。从数学的观点来看， y(t)和x(t)之间存在着如下的函数关系：n y(t)=fx(t) 信号与系统62022-4-1图图2.1 系统示意图系统示意图 系 统输 入 信 号输 出)(tx)(ty相关知识：线性系统；线性变换；线性代数；特征值；特征向量；基二端网络；线性电路的响应；线性非齐次方程的解；72022-4-12.1.2系统系统响应响应n线性系统与非线性系统 n一个系统如果是线性的，那么叠加原理一定适用。对于线性系统而言，一个激

4、励的存在并不影响另一个激励的响应。 n时不变与时变系统 n时不变系统也称恒参系统，时变系统也称变参（随参）系统。82022-4-12.2信号频谱分析概述信号频谱分析概述n我们知道，信号可以分为确知信号和随机信号。对于确知信号，频谱分析是研究它的有效工具；对于随机信号，则要用统计的方法来分析。本节将主要介绍确知信号的频谱分析方法。 频谱分析的物理意义（单色平面波；）和数学分析上的便利性（线性系统的本征函数；微分处理很简便）92022-4-12.2.1 周期信号周期信号 n基本表示式n任意一个周期为T0 的周期函数可以展开为傅立叶级数： 1000)sincos()(nnntnBtnAAtf1020

5、22-4-1n余弦函数表示式 100)cos()(nnntnCCtf112022-4-1n指数函数表示式 ntjnneFtf0)(20200)(10TTdtetfTFtjnn122022-4-12.2.2 2.2.2 信号的傅立叶变换信号的傅立叶变换nf(t)的傅立叶（Fourier）变换式n它把一个时间域内的函数变换为频率域内的函数。n为F()的傅立叶逆变换式n傅立叶变换可以看做周期函数周期无限长对应的傅立叶级数的极限；但本身已经成为很重要的工具 dtetfFtj)()(deFtftj)(21)(132022-4-1n本课程中常用的信号有矩形脉冲、三角形脉冲、冲击函数、指数函数、阶跃函数等n

6、性质包括：线性、时移、频移、微分、积分、卷积等等n信号的物理实现：电流、电压、场强等142022-4-12.2.3 2.2.3 信号的能量谱与功率谱信号的能量谱与功率谱 n1. 1. 功率和能量的一般计算公式功率和能量的一般计算公式n前面讨论了周期信号和非周期信号的时域和频域的关系。时间信号的另一个重要特性是能量或功率随频率分布的关系，即能量谱密度或功率谱密度。 22)(TTdttpE22)(1TTdttpTP时间谱；时域；傅里叶变换后得到频域（谱）；能量频谱密度的模方即为能量谱密度；能量谱密度与T的比值为功率谱密度（功率谱密度不是功率频谱密度的模方！）152022-4-12. 2. 帕塞瓦尔

7、定理帕塞瓦尔定理 n对于能量信号n 对于周期性功率信号 dFdttfE22)(21)(nnFdttfTPTT2202020)(1周期性的信号，其能量趋向于无穷；f，信号（电流，电压，电场强度等）162022-4-1n帕塞瓦尔定理不但把一个信号能量或功率的计算和频谱函数或频谱联系起来，而且给出一个很重要的概念，即能量信号的总能量等于频域内各个频率分量单独贡献出来的能量的积分，而周期性功率信号的平均功率等于各个频率分量单独贡献出来的平均功率的和。 172022-4-13. 3. 能量谱密度和功率谱密度能量谱密度和功率谱密度 n设能量以E表示，功率以P表示，如果在频域内有:n式中 ，则称 为能量谱密

8、度函数，而称 为功率谱密度函数。 dfEdEE)()(21dfPdPP)()(21f2)(E)(P182022-4-14. 4. 信号带宽信号带宽 n几乎所有实际的信号，其能量或功率的主要部分往往集中在一定的频率范围之内，超出此范围的成分将大大减小。这个频率范围通常用信号的带宽来描述。信号带宽是由信号能量谱密度或功率谱密度在频域的分布规律确定的，信号带宽的符号用B表示，单位为Hz。 192022-4-1n从理论上讲，除了极个别的信号外，信号的频谱都是分布得无穷宽的。实际上，一般信号虽然频谱很宽，但绝大部分使用信号的主要能量或功率都是集中在某一个不太宽的频率范围以内的，因此通常根据信号能量或功率

9、集中的情况，恰当的定义信号的带宽。常用的定义有以下三种： 202022-4-1n根据占总能量或总功率的百分比定义带宽 n根据能量谱或功率谱从最大值下降3dB处所对应的频率间隔定义带宽 n等效矩形带宽 212022-4-12.2.4 2.2.4 波形的相关波形的相关 n波形的相关是研究波形间的相关程度，包括互相关和自相关，波形间相关的程度用相关函数、归一化相关函数和相关系数来表示。而波形间相关程度的相关函数又与功率谱密度或能量谱密度有联系。n1. 1. 互相关函数互相关函数 dttftfR)()()(2112222022-4-12. 2. 自相关函数自相关函数 n如果两个信号的信号完全相同，此时

10、互相关函数就变成自相关函数n3. 3. 归一化相关函数和相关系数归一化相关函数和相关系数 n归一化自相关函数定义为 n归一化互相关函数定义为n互相关系数定义为 dttftfR)()()()0()(1111RR)0()0()(221112RRR)0()0()0(22111212RRR232022-4-14. 4. 相关函数与谱密度的关系相关函数与谱密度的关系 n相关函数的物理概念，虽然建立在信号的时间波形之间，但相关函数与能量谱密度或功率谱密度之间却有着确定的关系，因而可以由其中一个求出另一个。n信号的自相关函数与功率谱密度互为傅立叶变换关系 n通常称为维纳辛钦（Wiener-Khintchin

11、e）关系。 )()(PR242022-4-12.3 2.3 随机变量的统计特性随机变量的统计特性 n实际通信系统中由信源发出的信息是随机的，或者说是不可预知的，因而携带信息的信号也都是随机的，例如语音信号、数字信号等，这种信号称为随机信号。n由于随机信号和噪声在波形上的随机性，不可能用一个或几个时间函数准确的描述。但这也不是说随机波形就毫无规律。人们经过大量实践发现单个随机信号的确存在随意性，但同类大量的随机信号却存在着某种完全确定的规律性，这种规律性通常称为统计规律性，可以用概率统计的方法来研究。 252022-4-12.3.1 2.3.1 随机事件与概率随机事件与概率 n事件和概率事件和概

12、率n自然界和人类社会中有一类现象，我们可以预言它在一定条件下是否会出现。例如，重物让它自由下落必然是垂直下落。纯水在一个标准大气压下加热到100必然会沸腾。这种在一定条件下必然会发生的事件称为必然时间。反之，在一定条件下必然不会发生的事件称为不可能事件。 262022-4-1n但是，自然界中还存在着与决定性现象有着本质区别的现象。例如，抛一枚硬币，假定其不能直立，则可能正面朝上，也可能反面朝上；某地区在将来某一时刻可能下雨，也可能不下雨；向一目标进行射击可能击中，也可能击不中目标等等。这些在一定条件下可能发生也可能不发生的现象称为随机现象 272022-4-1n随机现象是通过随机试验表现出来的

13、。我们称一个试验中可能发生也可能不发生的事件为该试验的随机事件，以下简称为事件，通常用字母、B、C来表示，称该试验可能出现的每一个结果为试验的基本事件。 282022-4-1n基本事件的全体组成的集合称为该试验的样本空间。一个随机试验可能出现各种各样的随机事件，但是仅仅知道它可能发生那些事件并没有多大意义，重要的是要掌握这些事件发生的可能性有多大，描述事件出现可能性大小的量称为概率。 292022-4-12.3.2 2.3.2 随机变量与概率分布随机变量与概率分布 随机变量随机变量n在许多实际问题中，随机试验的结果常常是一些数，例如，试验“记录某电话交换台在1分钟内所接到电话呼叫次数”，该试验

14、可能出现的结果是一整数；又如，试验“记录某工厂生产的灯泡的使用寿命”，该试验可能出现的每个结果是一非负实数。有些随机试验，其试验的结果虽然不是数，但总可以设法使其与唯一的实数对应起来，例如，掷一硬币出现正面反面的随机试验，规定数值1表示出现反面，数值0表示出现正面。 302022-4-1n这样，不管随机试验可能出现的结果是否为实数，我们总可以在试验的样本空间上定义一个映射，使试验可能出现的每一个结果与唯一的实数对应起来，为此给出如下定义：一个随机试验，设是其样本空间，如果对每一个，有唯一的实数与之对应，我们就得到了一个定义在上的实值函数，称为此试验的一个随机变量。 312022-4-1n2.

15、2. 随机变量的分布函数随机变量的分布函数n对于随机试验仅知道它可能出现什么样的随机事件并不重要，重要的是知道这些事件出现的可能性有多大。引入随机变量后，我们不仅关心取什么数为值，更重要的是知道它取某些数值的可能性大小，也就是说，要关心它以多大的概率取某些数为值。 322022-4-1n设X是一个随机变量，x是任一实数。定义随机变量的分布函数F(x)是X的取值小于或等于x的概率，即n （2.3-11）n从定义可知，随机变量X的分布函数F(x)是在整个实数轴上定义的。F(x)在x处的函数值表示随机变量X在(-,x上取值的概率。 )()(xXPxF332022-4-1n连续型和离散型随机变量连续型

16、和离散型随机变量n常见的随机变量有两种类型：连续型随机变量和离散型随机变量。n如果随机变量的分布函数是连续的，则称是连续型随机变量。连续型随机变量的值可能充满实数轴上的某个空间，甚至于整个实数轴。 342022-4-12.3.3 2.3.3 随机变量的数字特征随机变量的数字特征 n如果要完整的表述一个随机变量的统计特性，就必须知道这个随机变量的分布函数或概率密度函数。但是，在许多实际问题中，往往并不关心随机变量的概率分布，而只关心它的某些特征。例如，随机变量的数学期望（或简称均值），它能够反映随机变量取值的集中位置；随机变量的方差，它能够反映随机变量取值的集中程度；两个随机变量的相关系数，它能够反映这两个随机变量之间的相关程度等等。这些表述随机变量“某些特征”的数，就称之为随机变量的数字特征。 352022-4-1n1. 1. 数学期望数学期望n随机变量所有可能的取值和它对应概率之积的和（或连续和）称为该随机变量的数学期望，记为EX、EY等。数学期望表示随机变量的统计平均值。n设P(xi)(i=1，2，n）是离散型随机变量X取值x