中考专题复习——最短路径问题(有答案)

1、优秀教案欢迎下载中考专题复习一一路径最短问题、具体内容包括: 蚂蚁沿正方体、长方体、圆柱、圆锥外侧面吃食问题； 线段（之和）最短问题；二、原理：两点之间，线段最短；垂线段最短。（构建“对称模型”实现转化）三、例题：例 1、如右图是一个棱长为 4 的正方体木块，一只蚂蚁要从木块的点 侧面爬到点 B 处，则它爬行的最短路径是。如右图是一个长方体木块，已知 AB=3,BC=4,CD=2，假设一只蚂蚁在点 A 处，它要沿着木 块侧面爬到点 D 处，则蚂蚁爬行的最短路径是 _。_D乡CA B例 2、如图，要在河边修建一个水泵站，分别向张村、李庄送水，水泵站修在河边什么地 方可使所用的水管最短。李庄B 张

2、村A _ _ L如图，直线 L 同侧有两点 A、B，已知 A、B 到直线 L 的垂直距离分别为 1 和 3，两点的水平距离为 3，要在直线 L 上找一个点 P，使 PA+PB 的和最小。请在图中找出点 P 的位置，并计算 PA+PB 的最小值要在河边修建一个水泵站，向张村、李庄铺设管道送水，若张村、李庄到河边的垂直距离 分别为1Km 和 3Km，张村与李庄的水平距离为 3Km，则所用水管最短长度为 _李庄张村.四、练习题（巩固提高）优秀教案欢迎下载（一） 1、如图是一个长方体木块，已知 AB=5,BC=3,CD=4，假设一只蚂蚁在点 A 处，它要3、如图是一个圆柱体木块，一只蚂蚁要沿圆柱体的表

3、面从A 点爬到点 B 处吃到食物，知圆点，贝 U PE+PB 的最小值为6、如图，在ABC 中，AC = BC = 2，ZACB = 90 D 是 BC 边的中点，E 是 AB 边上一动点,则 EC + ED 的最小值为7、AB 是O0 的直径，AB=2 , OC 是OO 的半径，OC _LAB，点 D 在 AC 上，AD = 2CD，点P 是半径 0C 上的一个动点，贝 U AP+PD 的最小值为 _。（二）8、如图，点 P 关于0A、0B 的对称点分别为 C、D，连接 CD，交0A于M，交 0B沿着木块侧面爬到点 D 处，则蚂蚁爬行的最短路径是CZZ5BA2、现要在如图所示的圆柱体侧面A

4、点与 B 点之间缠一条金丝带（金丝带的宽度忽略不计），圆柱体高为 6cm，底面圆周长为16cm，则所缠金丝带长度的最小值为柱体的高为 5 cm，底面圆的周长为 24cm，则蚂蚁爬行的最短路径为4、正方形 ABCD5、在菱形 ABCD中，AB=2， ZBAD=60，点 E是 ABP 是对角线 AC 上的一个动0最小值为图0图的边长为 8，M 在 DC 上DN +MN 的优秀教案欢迎下载于 N，若 CD = 18cm，则 APMN 的周长为_。9、 已知，如图 DE 是ABC 的边 AB 的垂直平分线，D 为垂足，DE 交 BC 于 E，且 AC = 5，BC = 8，则AAEC 的周长为_。10

5、、已知，如图，在 ABC 中，ABVAC，BC 边上的垂直平分线 DE 交 BC 于点 D，交 AC于点 E，AC = 8，ABE 的周长为 14，则 AB 的长_11、如图，在锐角厶 ABC 中，AB = 4 寸 2，ZBAC = 45 ZBAC 的平分线交 BC 于点 D，M、N 分别是 AD 和 AB 上的动点，贝 U BM+MN 的最小值是 .12、在平面直角坐标系中，有 A （3，-2），B （4，2）两点，现另取一点 C （1，n），当 n =时，AC + BC 的值最小.第 11 题第 14 题第 15 题13 ABC 中，/C = 90 AB = 10，AC=6,BC=8,过

6、AB 边上一点 P 作 PE 1AC 于 E，PF 丄优秀教案欢迎下载BC 于 F, E、F 是垂足，则 EF 的最小值等于 _.14、 如图，菱形 ABCD 中，AB=2, ZBAD=60 ，点 E、F、P 分别是 AB、BC、AC 上的动点, 则PE+PF 的最小值为_.15、如图，村庄 A、B 位于一条小河的两侧，若河岸 a、b 彼此平行，现在要建设一座与河岸 垂直的桥 CD，问桥址应如何选择，才能使 A 村到 B 村的路程最近?16、一次函数 y=kx+b 的图象与 x、y 轴分别交于点 A(2，0)，B(0，4).(1)求该函数的解析式;(三)16、如图，已知/AOB 内有一点 P，

7、试分别在边 0A 和 各找一点 E、F,使得APEF 的周长最小。试画出图形，并说明17、如图，直线 I 是第一、三象限的角平分线.实验与探究：(1)由图观察易知 A (0，2)关于直线 I 的对称点 A 的坐标为(2，0)，请在图中分别标明B(5,3)、C ( 2,5)关于直线 I 的对称点 B、C 的位置，并写出他们的坐标：B _(2) O 为坐标原点，设 0A、AB 的中点分别为动点，求 PC + PD 的最小值，并求取得最小值时0B 上OB 上理由优秀教案欢迎下载归纳与发现:优秀教案欢迎下载18、几何模型：条件：如图，A、B 是直线 L 同旁的两个定点问题：在直线 L 上确定一点 P，

8、使 PA+PB 的 值最小.方法：作点A关于直线1 2的对称点A,连结A B交1于点P，则PAPB -AB 的值最小(不必 证明).模型应用：(1)如图 1，正方形 ABCD 的边长为 2,E为 AB 的中点，P 是 AC 上一动点.连结 BD ,由 正方形对称性可知，B与D关于直线AC对称.连结 ED 交 AC 于P，则PBPE 的最小值是_ ?(2)如图 2，。的半径为 2，点AB、C在。上, 0A 丄 0B，也AOC = 60，P 是 0B 上 一动点，求PA PC的最小值；(3)如图 3，ZAOB=45 ,P 是 HOB 内一点，PO=10，Q、R 分别是 OA、 求QR 周长的最小值

9、.1 如图，四边形 ABCD 是正方形，ABOcm, E 为边 BC 的中点，P 为 BD 上的一个 动点，求PC PE的最小值；2 如图，若四边形 ABCD 是菱形，AB=10cm, N ABC=45。，E 为边 BC 上的一个动 点，P 为BD 上的一个动点，求PC PE的最小值；问题解决(3)如图，若四边形 ABCD 是矩形，ABOcm , BCOcm , E 为边 BC 上的OB 上的动点,A19、问题探究之和最小，并求出Q 点坐标.平面 分线 I试在距离图 3优秀教案欢迎下载BECBC优秀教案欢迎下载20. 如图，在直角坐标系中，点 A 的坐标为（-2, 0）,连结 0A，将线段OA

10、绕原点 0 顺时针 旋转120。得到线段 0B.（1）求点 B 的坐标；（2）求经过 A、0、B 三点的抛物线的解析式；（3） 在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点 C,使 AB0C 的周长最小？若存在，求出点 C的坐标；若不存在，请说明理由（注意：本题中的结果均保留根号）解：（1）过点 B 作 BD _b轴于点 D，由已知可得：0B=0A=2，ZBOD=60 .在 Rt8BD 中，J0DB=90。OBD=30 .0D=1，DB=、3点 B 的坐标是（1，3 ）（2）设所求抛物线的解析式为y=ax2，bx，由已知可得:(3)存在.由y = x2-3x配方后得：y = 3x 1 2 _33333

11、抛物线的对称轴为x= 1.（也写用顶点坐标公式求出）OB=2，要使ABOC 的周长最小，必须 BC+CO 最小.c =0a+b +c =門4a 2b +c = 0解得:adb32、33,c = 0.所求抛物线解析式为y诗x2号x.优秀教案欢迎下载点 O 与点 A 关于直线x= 1 对称，有 CO=CA.优秀教案欢迎下载 BOC 的周长=OB+BC+CO=OB+BC+CA.当 A、 C、 B 三点共线， 即点 C 为直线 AB 与抛物线对称轴的交点时， BC+CA 最小， 此时 BOC的周长最小.设直线 AB 的解析式为y二kx b,则有:b3-2k+b = 0解得：k二仝,b-U.直线 AB

12、的解析式为“壬.辽3333当x= - 1 时，y二仝.所求点 C 的坐标为（一 1，仝）.3321、如图，抛物线y =ax2，bx c的顶点 P 的坐标为1,-4乜，交 x 轴于 A、B 两点，交 yI 3|轴于点c（o,-、3）.（1） 求抛物线的表达式.（2） 把ABC 绕 AB 的中点 E 旋转 180。 ， 得到四边形 ADBC . 判断四边形 ADBC 的形状，并说明理由.（3） 试问在线段 AC 上是否存在一点 F,使得AFBD 的周长最小,若存在，请写出点 F 的坐标；若不存在，请说明理由.解：（1 ）由题意知(3-14 加一胪_ _d 品4a-3 分（列出方程组给 1 分，解出

13、给 2 分）抛物线的解析式为y3x2-2 3x - 3-4 分33（2）设点 A （x1， 0）， B （x2， 0），则xx - J3 = 0，33x3优秀教案欢迎下载解得禺- -1, X2 =3r1,IOB 山3又ZOCB=牛QCB = 60。，同理可求 QCA = 30 .ACB = 90 -6 分由旋转性质可知 AC = BD , BC = AD四边形 ADBC 是平行四边形- 7 分又tACB = 90 .A四边形DBC 是矩形 - 8 分（3）延长 BC 至 N，使 CN 二 CB .假设存在一点 F，使 AFBD 的周长最小.即 FD FB DB 最小.DB 固定长.只要 FD+

14、FB 最小.又VCA JBNFD+FB = FD+FN .当 N、F、D 在一条直线上时，FD+FB 最小. -10 分1又.C 为 BN 的中点，.FC 专 AC （即 F 为 AC 的中点）.又TA（- 1，0），C （0Q3）点 F 的坐标为 F （-，-）w22存在这样的点 F （-，-），使得 FBD 的周长最小.-12 分2 21、.1c.22. 已知：直线y x 1与 y 轴交于 A，与x轴交于 D，抛物线y x2bx c与直线交于 A、22E 两点，与x轴交于 B、C 两点，且 B 点坐标为 （1，0）.（1） 求抛物线的解析式；（2） 动点 P 在x轴上移动，当 PAE 是直角三角形且以 P 为直角顶点时，求点 P 的坐标.（3） 在抛物线的对称轴上找一点 M，使|AM -MC |的值最大，求出点 M 的坐标.答案：（1 ）将 A （0，1 ）、B （1，0）坐标代入y=x2+bx+c得优秀教案欢迎下载2优秀教案欢迎下载仁c10 b c2抛物线的解折式为y=2x2x(3) 抛物线的对称轴为 x3r 对称B.(2)设点 E 的横坐标为 m,则它的纵坐标为123贝 U E (m, m m 1).221又点E在直线y = -x 1上,2.12 一m2解得mh =0(舍去)m2=4.E 的坐标为(4, 3).过 E 作