概率论与数理统计 第一章 第三节

1、三、全概率公式与贝叶斯定理考虑乘法法则例1（书中p16） 全概率公式与贝叶斯公式 全概率公式 设设A1, A2, An是两两互不相容的事件，构成一个完备事是两两互不相容的事件，构成一个完备事件组，且件组，且P(Ai)0, i =1, 2, , n; 另有一事件另有一事件B, 它总是与它总是与A1, A2, , An 之一同时发生，则全概率公式为：之一同时发生，则全概率公式为：l 若若A A1 1,A,A2 2, ,A,An n是是样本空间样本空间 的一个的一个划分划分, ,那么那么, ,对于每次对于每次试验试验, ,事件事件A A1 1,A,A2 2, ,A,An n中必有一个且仅有一个中必有

2、一个且仅有一个发生发生. . 贝叶斯公式 设设A1, A2, An构成一个完备事件组，并且它们都具有正概率，则对于任何一个概率不为零的事件B,有： 证明：根据条件概率定义及全概率公式求得iiimmmABPAPABPAPBAP 全概率公式和贝叶斯公式主要用于计算比较复杂全概率公式和贝叶斯公式主要用于计算比较复杂事件的概率事件的概率, 它们实质上是加法定理和乘法定理它们实质上是加法定理和乘法定理的综合运用。的综合运用。 贝叶斯公式例题1仍考虑从仍考虑从1,2,3个箱子中抽取红球的案例，现某人从任意一箱个箱子中抽取红球的案例，现某人从任意一箱中任意摸出一球，发现是红球，求该球是中任意摸出一球，发现是

3、红球，求该球是取自取自1号箱号箱的概率的概率解：解：记记 Ai=球取自球取自 i 号箱号箱, i =1,2,3; B =取得红球取得红球 贝叶斯公式例题3某一地区患有癌症的人占某一地区患有癌症的人占0.005 P(A)A) ，患者对一种试验反，患者对一种试验反应是阳性的概率为应是阳性的概率为0.95 P(B|A)，正常人对这种试验反应是，正常人对这种试验反应是阳性的概率为阳性的概率为0.04 ，现抽查了一个人，试验反应，现抽查了一个人，试验反应是阳性，问此人是癌症患者的概率有多大是阳性，问此人是癌症患者的概率有多大? P(A | B)= ?解：解：设设 A = 抽查的人患有癌症抽查的人患有癌症

4、, “抽查的人不患癌症抽查的人不患癌症” B = 试验结果是阳性试验结果是阳性。已知。已知带入贝叶斯公式带入贝叶斯公式得得P(A | B)= 0.1066 )(ABP 结果的意义：结果的意义：(1). 该试验对于诊断一个人是否患有癌有无意义？该试验对于诊断一个人是否患有癌有无意义？如果不做试验，抽查一人如果不做试验，抽查一人, 他是癌症患者的概率他是癌症患者的概率 P(A)=0.005 ，患者阳性反应的概率是，患者阳性反应的概率是0.950.95，若试验后呈阳，若试验后呈阳性反应，则根据试验得到的信息：此人是癌症患者的概率性反应，则根据试验得到的信息：此人是癌症患者的概率为为 P(A|B)=

5、0.1066 ，概率从概率从0.005增加到增加到0.1066, 约约增加了增加了2121倍。试验对于诊断一个人是否患癌症有意义。倍。试验对于诊断一个人是否患癌症有意义。(2). 检出阳性是否一定患有癌症检出阳性是否一定患有癌症?试验结果为阳性，此人确患癌症的概率为试验结果为阳性，此人确患癌症的概率为P(A|B)=0.1066， 即使你检出阳性，也不必过早下结论你有癌症，这种可能即使你检出阳性，也不必过早下结论你有癌症，这种可能性只有性只有10.66% (平均来说，平均来说，1000个人中大约只有个人中大约只有107人确患人确患癌症癌症)，此时医生常要通过其他试验来确认，此时医生常要通过其他试

6、验来确认。 条件概率小节的区别与积事件概率条件概率)()(ABPBAP.)()(,)(,)(,.,)(,)(大比一般来说中基本事件数中基本事件数中基本事件数中基本事件数则用古典概率公式发生的概率计算中表示在缩小的样本空间而的概率发生计算中表示在样本空间ABPABPABABPABABPBABPABABPAA 1.4独立试验概型考察同一试验的两个事件，有时一件事情的发生与否会影响到另一事件发生的概率，但也有可能一件事情的发生于另一事件发生的概率毫无关系。例如，在投掷一枚硬币和一枚骰子组成的试验中，硬币是否出现正面不会影响骰子出现点数为1（或其他点）的概率。这样的两个事情称为独立事件。 A=第二次掷

7、出第二次掷出6点点， B=第一次掷出第一次掷出6点点，显然有：显然有：P(A|B)=P(A)一、独立事件定义直观说法：对于两事件A,B，若事件A发生的可能性不受事件B发生与否的影响，则称为事件A与事件B独立. P(A|B) = P(A) P(AB)/P(B) = P(A) P(AB) = P(A)P(B) 扩展：若 中任何一个事件发生的可能性都不受其它一个或者n个事件发生与否的影响，则称为 相互独立。 二、独立事件的性质（1）若事件A与B独立的充要条件：P(AB)=P(A)P(B)A与B相互独立 P(AB)=P(A)P(B)（2）（3）若事件A1,A2,An相互独立，则有 多个事件多个事件两两

8、独立两两独立与与相互独立相互独立 定义定义: :设设A,B,CA,B,C是三事件是三事件, ,如果具有等式如果具有等式P(AB)=P(A)P(B)P(AB)=P(A)P(B)P(BC)=P(B)P(C)P(BC)=P(B)P(C)P(CA)=P(C)P(A)P(CA)=P(C)P(A)称称A,B,CA,B,C两两独立两两独立 定义定义:设设A,B,C是三事件是三事件,如果具有等式如果具有等式 P(AB)=P(A)P(B) P(BC)=P(B)P(C) P(CA)=P(C)P(A) P(ABC)=P(A)P(B)P(C) 称称A,B,C为为相互独立相互独立的事件的事件(4)(4)零概率事件与任何

9、事件都是互相独立的零概率事件与任何事件都是互相独立的.证明:设设P(A)=0,B为任一事件为任一事件因为因为 AB A所以所以 0=P(AB)P(A)故故 P(AB)=0=0P(B)=P(A)P(B)（5 5）概率为）概率为1 1的事件与任何事件都是互相独立的的事件与任何事件都是互相独立的. .证明:考虑P(A+B)=1 注意:互斥与独立的区别1.互斥的概念是事件本身的属性； 独立的概念是事件的概率属性。2.两事件互斥,即A与B不能同时发生； P(AB)=0P(AB) P(A)P(B) 即即A与与B不独立不独立独立是指A与B的概率互不影响.P(AB)=P(A)P(B)3.若0P(A)1, 0P

10、(B)1, 互斥一定不独立；独立一定不互斥互斥一定不独立；独立一定不互斥。4.在用途上有区别：互斥通常用于概率的加法运算, 独立通常用于概率的乘法运算。AB 例1:甲、乙两个战士打靶甲、乙两个战士打靶, ,甲的命中率为甲的命中率为0.9,0.9,乙的乙的命中率为命中率为0.85,0.85,两人同时射击同一目标两人同时射击同一目标, ,各打一枪各打一枪. .求目标被击中的概率求目标被击中的概率. .解:设设A=甲击中目标甲击中目标,B=乙击中目标乙击中目标,C=目标被目标被击中击中,则则“甲乙同时射击，结果互不影响甲乙同时射击，结果互不影响” P(C)=P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB

11、) =P(A+B)=P(A)+P(B)-P(A)P(B) =0.9+0.85-0.90.85=0.985 例2(P21) 甲、乙、丙三部机床独立工作，由一个工人照管，某段时间内他们不需要工人照管的概率分别为0.9，0.8及0.85。求在这段时间内有机床需要工人照管的概率；机床因无人照管而停工的概率。解解:设设A=“机床甲不需要工人照管机床甲不需要工人照管”; B=“机床乙不需要工人照管机床乙不需要工人照管”;C=“机床丙不需要工人照管机床丙不需要工人照管”;根据题意根据题意,A、B、C相互独立，并且相互独立，并且P(A)=0.9 P(B)=0.8 P(C)=0.85理解：理解：“机床因无人照管

12、而停工机床因无人照管而停工”等价于同时有两台机器需等价于同时有两台机器需要要照管（至少两台机器需要同时照管？）。照管（至少两台机器需要同时照管？）。 例3： 若例1中的3部机床性能相同，设P(A)P(B)P(C)0.8，求这段时间内恰有一部机床需要照管的概率；恰有两部机床需要照管的概率； 解：设解：设Di“恰有恰有i部机床需要照管部机床需要照管” P(D1)=？ P(D2)=？384. 08 . 02 . 0213C二、独立试验序列概型二、独立试验序列概型 在概率论中，把在相同条件下重复进行试验的数学模型称为独立试验序列概型。独立试验序列概型。 进行n次试验，若任何一次试验中各结果发生的可能性

13、都不受其他各次试验结果发生情况的影响，称这称这n次试验是相互独立的。次试验是相互独立的。 进行n次试验，如果这n次试验满足：)每次试验的条件相同每次试验的条件相同)每次试验的结果互不影响每次试验的结果互不影响称这称这n n次试验为次试验为：n n次重复独立试验概型次重复独立试验概型。特别的：当每次试验只有两种可能结果，即只有事特别的：当每次试验只有两种可能结果，即只有事件件A A与与，且在每次试验中，且在每次试验中P(A)=p, P()=1-p 时，时，称为称为n重贝努里试验概型重贝努里试验概型例1：一批产品的废品率为0.1，每次抽取一个，观察后放回去，下次再取一个，共重复3次，3次中恰有两次取到废品的概率 解：设B2“3次中恰有两次取到废品” Ai“第i次取到废品” ( i=1,2,3) 贝努里定理 设一次试验中事件A发生的概率为p(0p1),则n重贝努里试验中，事件A恰好发生k次的概率为： 其中q=1-p 例2(P24):一条自动生产线上产品的一级品率为0.6，现检查了10件，求至少有两件一级品的概率？ 设B表示：“至少有两件为一级品” “至多有一件为一级品”B 第一章第一章 回顾与总结回顾与总结 重点：重点：随机事件的概念随机事件的概念古典概型的概率计算方法古典概型的概率计算方法概率的加法公式概率的加法公式条件概率和乘法公式的应用条件概率和乘法公式的应用全概率公式