理论力学第12章动能定理

1、Theory of Mechanics 理论力学理论力学第十二章第十二章动能定理动能定理自然界中物体系统运动状态的变化自然界中物体系统运动状态的变化 -能量能量（energy）间的相互转换 -热能热能到到机械能机械能, , 机械能机械能到到电能电能, ,电能电能到到光能光能( (热能）等热能）等 矢量形式矢量形式 标量形式标量形式求求解解动动力力学学问问题题动量定理 动能定理 能量能量（EnergyEnergy）是基本量是基本量力（力（力偶力偶）和）和动量（动量（动量矩动量矩）是基本量；是基本量；动量矩定理 理理 论论 力力 学学河南理工大学力学系第十二章第十二章 动能定理动能定理学习重点学习

2、重点 1、力的功的计算；、力的功的计算； 2、刚体的动能计算；、刚体的动能计算； 3、机械效率，功率的单位。、机械效率，功率的单位。 4、理想约束：纯滚动时摩擦力的功；、理想约束：纯滚动时摩擦力的功； 5、动能定理与机械能守恒定理的关系。、动能定理与机械能守恒定理的关系。 6、三定理的综合应用、三定理的综合应用理理 论论 力力 学学河南理工大学力学系第十二章第十二章 动能定理动能定理第十二章第十二章 动能定理动能定理12-12-1 力的功力的功 12- -2 刚体的动能计算刚体的动能计算 12-12-3 动能定理动能定理 12-12-4 功率功率 功率方程功率方程 12-5 12-5 机械能守

3、恒定律机械能守恒定律 12-6 12-6 物体系统的动力学问题举例物体系统的动力学问题举例 理理 论论 力力 学学河南理工大学力学系第十二章第十二章 动能定理动能定理12-1 12-1 力的功力的功 力的功力的功是力沿路程累积效应的度量。路程是指是力沿路程累积效应的度量。路程是指力其作用点的物体的路程。力其作用点的物体的路程。一常力的功一常力的功cos WFSF S力的功是代数量。时力的功是代数量。时,正功；时正功；时,功为零；功为零；时时,负功。负功。单位：焦耳（）；单位：焦耳（）；222m1N1J1理理 论论 力力 学学河南理工大学力学系第十二章第十二章 动能定理动能定理二变力的功二变力的

4、功 dsFdFrd cos(, )WF sF 元功元功： 变力变力 在曲线在曲线 上所做的功上所做的功等于在此段路程中所有元功的总和等于在此段路程中所有元功的总和 12M M221211d cos(, )ddMsM MMsWF sF sF Fr =xyzFFFF =ijkddddxyzr =ijk代入元功的表达式，得ddddxyzWF xFyF zFr =2211d(ddd )MMxyzMMWF xFyF zFr功的总和，为理理 论论 力力 学学河南理工大学力学系第十二章第十二章 动能定理动能定理nWWW 21 上式表明，上式表明，作用于质点的合力在任一路程中所作作用于质点的合力在任一路程中所

5、作的功，等于各分力在同一路程中所作的功的代数和的功，等于各分力在同一路程中所作的功的代数和。三合力的功三合力的功质点质点M 受受n个力个力 作用合力为作用合力为 则合力则合力 的功的功R12nF = FFFRF()2211222111MMR12nMMMMM12nMMMWdddddFr =FFFrFrFrFr理理 论论 力力 学学河南理工大学力学系第十二章第十二章 动能定理动能定理四常见力的功四常见力的功 1重力的功重力的功2112()zzWmgdzmg zzmgh质点系：)()(2121CCiiiizzMgzzgmWW 质点系重力的功，等于质点系的重量与其在始末位置重质点系重力的功，等于质点系

6、的重量与其在始末位置重心的高度差的乘积，而与各质点的路径无关。心的高度差的乘积，而与各质点的路径无关。0, 0, xyzFFFmg 质点：重力在三轴上的投影：12zzh 质点起止位置的高度差。 理理 论论 力力 学学河南理工大学力学系第十二章第十二章 动能定理动能定理2弹性力的功弹性力的功弹簧原长，在弹性极限内k弹簧的刚度系数，表示使弹簧发生单位变形时所需的力。N/m , N/cm。0l0()k rl Fer re22110()MmMMWdk rldFrer211()()22dddd rdrrrrrerrr r200)( 2 )(2121lrdkdrlrkWrrrr022011202201,

7、)()(2lrlrlrlrk令)( 22212 kW即弹性力的功只与弹簧的起始变形和终了弹性力的功只与弹簧的起始变形和终了变形有关，而与质点运动的路径无关。变形有关，而与质点运动的路径无关。理理 论论 力力 学学河南理工大学力学系第十二章第十二章 动能定理动能定理()zWF dsFrdmdF)(1221 ()zWmdF作用于转动刚体上力的功等于力矩的功。作用于转动刚体上力的功等于力矩的功。21mdW若m = 常量, 则)(12 mW注意：功的符号的确定。注意：功的符号的确定。如果作用力偶m , 且力偶的作用面垂直转轴 3定轴转动刚体上作用力定轴转动刚体上作用力( (力偶力偶)的功的功设在绕 z

8、 轴转动的刚体上M点作用有力，计算刚体转过一角度 时力所作的功。M点轨迹已知。FFzrFFF + F理理 论论 力力 学学河南理工大学力学系第十二章第十二章 动能定理动能定理4. 任意运动刚体上力系的功任意运动刚体上力系的功 无论刚体作何运动，力系的功总等于力系中所有力作功无论刚体作何运动，力系的功总等于力系中所有力作功的代数和。的代数和。 对刚体而言，力系的简化和等效原理对动力学也适用。对刚体而言，力系的简化和等效原理对动力学也适用。将力系向刚体上任一点简化，一般简化为一个力和一个力将力系向刚体上任一点简化，一般简化为一个力和一个力偶。由力系的等效原理，这个力和力偶所作的元功等于力偶。由力系

9、的等效原理，这个力和力偶所作的元功等于力系中所有力所作元功的和，有系中所有力所作元功的和，有 ddiRCCWWFrM平面运动刚体平面运动刚体 ddRCCWFrM理理 论论 力力 学学河南理工大学力学系第十二章第十二章 动能定理动能定理说明说明:1.对任何运动的刚体对任何运动的刚体,上述结论都适用上述结论都适用; 2. C 点不是质心点不是质心,而是刚体上任意一点时而是刚体上任意一点时,上述结论也成立上述结论也成立 3.计算力系的主矢、主矩时，可以不包含不作功的力。计算力系的主矢、主矩时，可以不包含不作功的力。 221112RddCCCCWFrM当质心由当质心由 , ,转角由转角由 时时, ,力

10、系的功为力系的功为21 CC21理理 论论 力力 学学河南理工大学力学系第十二章第十二章 动能定理动能定理已知已知:均质圆盘均质圆盘R , m , F =常量常量, 且很大且很大, 使使O 向右运动向右运动, f , 初静止。初静止。求求: O 走过走过S 路程时力的功。路程时力的功。 例例12-1 F理理 论论 力力 学学河南理工大学力学系第十二章第十二章 动能定理动能定理 重力，摩擦力，法向约束力都不作功，只有力重力，摩擦力，法向约束力都不作功，只有力F作功，作功，将力将力F向质心简化，得向质心简化，得解解：2CWF sMFsCFSPFNF理理 论论 力力 学学河南理工大学力学系第十二章第

11、十二章 动能定理动能定理12-2 12-2 刚体的动能计算刚体的动能计算221iimT2 2、质点系的动能、质点系的动能1 1、质点的动能、质点的动能221mT 根据物体运动性质的不同，或仅仅需要知道运动物根据物体运动性质的不同，或仅仅需要知道运动物体的某些运动特征时，为了研究方便，算常把物体体的某些运动特征时，为了研究方便，算常把物体抽象为质点。或质点系。因此，抽象为质点。或质点系。因此，在介绍刚体的动能在介绍刚体的动能计算之前，我们先来确定质点和质点系的动能。计算之前，我们先来确定质点和质点系的动能。 单位：单位：J J（焦耳），或（焦耳），或 (牛顿米牛顿米) N m理理 论论 力力 学

12、学河南理工大学力学系第十二章第十二章 动能定理动能定理iCimvvmTi22212122222212121iiiiiirmrmvmT（1 1）平移刚体的动能）平移刚体的动能（2 2）定轴转动刚体的动能）定轴转动刚体的动能221zJT 即即 221CmvT 即即 imm令刚体的质量令刚体的质量 理理 论论 力力 学学河南理工大学力学系第十二章第十二章 动能定理动能定理222)(2121mdJJTCp即即:平面运动刚体的动能等于随质心平移的动能平面运动刚体的动能等于随质心平移的动能与绕质心转动的动能之和与绕质心转动的动能之和.222121CCJmvT得得速度瞬心为速度瞬心为P（3 3）平面运动刚体

13、的动能）平面运动刚体的动能上面结论也适用于刚体的任意运动上面结论也适用于刚体的任意运动.理理 论论 力力 学学河南理工大学力学系第十二章第十二章 动能定理动能定理 例例12-2 均质圆盘沿直线轨道作纯滚动。设均质圆盘沿直线轨道作纯滚动。设圆盘重圆盘重 ，半径，半径R，某瞬时其质心，某瞬时其质心C的速度的速度为为 。求圆盘的动能。求圆盘的动能。 GCv解：解：圆盘做平面运动，圆盘做平面运动，P为速度瞬心，为速度瞬心，圆盘的角圆盘的角速度速度 CvR22222221111 13()2222 24CCCCCvGGGTmvJvRvggRg理理 论论 力力 学学河南理工大学力学系第十二章第十二章 动能定

14、理动能定理1P6CmvmL221() 126OOLLJmLm291mL22211218OTJmL223mRLO2243mRT PmRPmv221mRLC2224121mRmvT 例例 基本量计算基本量计算 (动量动量,动量矩动量矩,动能动能)理理 论论 力力 学学河南理工大学力学系第十二章第十二章 动能定理动能定理ddtrddmFt将将 两端点乘两端点乘 , ,21dd(),d,2mmFrw由于由于12-3 12-3 动能定理动能定理1 1、质点的动能定理、质点的动能定理wm)21(d2因此因此ddmFr得得 上式称为上式称为质点质点动能定理动能定理的的微分形式微分形式，即质点动能即质点动能的

15、增量等于作用在质点上力的元功。的增量等于作用在质点上力的元功。理理 论论 力力 学学河南理工大学力学系第十二章第十二章 动能定理动能定理1221222121Wmm称称质点动能定理的积分形式质点动能定理的积分形式: :在质点运动的某个过程中在质点运动的某个过程中, ,质点质点动能的改变量等于作用于质点的力作的功动能的改变量等于作用于质点的力作的功. .积分之积分之,有有理理 论论 力力 学学河南理工大学力学系第十二章第十二章 动能定理动能定理2 2、质点系的动能定理、质点系的动能定理称称质点系动能定理的微分形质点系动能定理的微分形式式: :质点系动能的增量，等于作用质点系动能的增量，等于作用于质

16、点系全部力所作的元功的和于质点系全部力所作的元功的和. . 由由iiiwm)21(d2iiiwm)21(d2求和求和iwTd得得理理 论论 力力 学学河南理工大学力学系第十二章第十二章 动能定理动能定理称称质点系动能定理的积分形式质点系动能定理的积分形式: :质点系在某一段运动过程中质点系在某一段运动过程中, ,起点和终点的动能改变量起点和终点的动能改变量, ,等于作用于质点系的全部力在这等于作用于质点系的全部力在这段过程中所作功的和段过程中所作功的和. .积分之积分之, 有有iwTT12理理 论论 力力 学学河南理工大学力学系第十二章第十二章 动能定理动能定理1、理想约束理想约束 在许多情况

17、下，约束反力的功之和为零，满足此条件的约在许多情况下，约束反力的功之和为零，满足此条件的约束称为束称为。2、光滑固定面约束光滑铰链或轴承约束 刚性连接约束 联接两个刚体的铰 柔软不可伸长的绳索约束 当约束不是理想约束时，应当考虑摩擦力的功，此时可将摩擦力作为主动力来考虑。说明说明3 3、理想约束及内力做功理想约束及内力做功 对理想约束对理想约束,在动能定理中只计入主动力的功即可在动能定理中只计入主动力的功即可.理理 论论 力力 学学河南理工大学力学系第十二章第十二章 动能定理动能定理拉紧时，内部拉力的元功之和恒等于零。rdNrdNWN)(0rdNrdN 理想约束反力的功理想约束反力的功约束反力

18、元功为零或元功之和为零的约束称为理想约束约束反力元功为零或元功之和为零的约束称为理想约束。1光滑固定面约束光滑固定面约束2活动铰支座、固定铰支座和向心轴承活动铰支座、固定铰支座和向心轴承3刚体沿固定面作纯滚动刚体沿固定面作纯滚动4联接刚体的光滑铰链（中间铰）联接刚体的光滑铰链（中间铰）5柔索约束（不可伸长的绳索）柔索约束（不可伸长的绳索）)( 0)(rdNrdNWN理理 论论 力力 学学河南理工大学力学系第十二章第十二章 动能定理动能定理 质点系内力的功质点系内力的功 只要只要A、B两点间距离保持不变两点间距离保持不变,内力的元功和就等于零内力的元功和就等于零。 不变质点系的内力功之和等于零。

19、刚体的内力功之和等于零。不变质点系的内力功之和等于零。刚体的内力功之和等于零。不可伸长的绳索内力功之和等于零不可伸长的绳索内力功之和等于零。BArdFrdFWBArdFrdF)(BArrdF)(BAdF理理 论论 力力 学学河南理工大学力学系第十二章第十二章 动能定理动能定理例例12-5已知已知:均质圆盘均质圆盘R ,m ,F=常量常量,且很大且很大,使使O 向右运动向右运动, f ,初静止。初静止。 求求:O 走过走过S 路程时路程时， 。理理 论论 力力 学学河南理工大学力学系第十二章第十二章 动能定理动能定理0vR01T圆盘速度瞬心为圆盘速度瞬心为C 2222200113()2224mR

20、Tmvmv 解解:12TTW20324FSmgfsmv)(a2WFsmgfs02(2)3svFmgfm将式将式(a)两端对两端对t 求导求导,并利用并利用00,varr)2(320mgfFma得得理理 论论 力力 学学河南理工大学力学系第十二章第十二章 动能定理动能定理 例例12-7 已知已知:m, h, k, 其它质量不计其它质量不计.max求求:理理 论论 力力 学学河南理工大学力学系第十二章第十二章 动能定理动能定理解：物体为研究对象解：物体为研究对象 , 0, 031TTmax2max2)(00khmgkmghgmkkmg2122max22max12mgkmghm gkk由于弹簧的压缩

21、量必定是正值，因此取正号由于弹簧的压缩量必定是正值，因此取正号 ，分析物体从，分析物体从位置位置到位置到位置的整个过程的整个过程 理理 论论 力力 学学河南理工大学力学系第十二章第十二章 动能定理动能定理已知：轮已知：轮O ：R1 ，m1 ,质量分布在轮缘上质量分布在轮缘上; 均质轮均质轮C ：R2 ， m2 ，纯滚动，纯滚动, 初始静止初始静止 ; , M 为常力偶。为常力偶。求求:轮心轮心C 走过路程走过路程s 时的速度和加速度时的速度和加速度例例12-3理理 论论 力力 学学河南理工大学力学系第十二章第十二章 动能定理动能定理122sinWMm gs01T2222221112222211

22、1 1()()222 2Tm Rm vm R轮轮C与轮与轮O共同作为一个质点系共同作为一个质点系解解:1212,CCvvRR1212TTW2212sin(23)4CvMm gsmm)(a1sR21112(sin )2(23)CMm gRsvRmm式式(a)是函数关系式，两端对是函数关系式，两端对t 求导求导,得得12211(23)sin2CCCCvmm v aMm gvR211212 (sin )(23)CMm gRamm R理理 论论 力力 学学河南理工大学力学系第十二章第十二章 动能定理动能定理 例例12-5 均质杆AB长l，质量为m，在水平位置处由静止释放如图所示。试求杆AB到达铅垂位置

23、时点A的速度和加速度。 理理 论论 力力 学学河南理工大学力学系第十二章第十二章 动能定理动能定理 解：分析杆的受力，有重力解：分析杆的受力，有重力 和约束力和约束力 、 ，做功的力为杆的重力。杆，做功的力为杆的重力。杆AB可作定轴转动。可作定轴转动。mgBxFB yF21TTW由积分形式的动能定理由积分形式的动能定理10T 2212BTJ2ilWmg2122BlJmg代入动能定理代入动能定理2313BmglmglgJlml理理 论论 力力 学学河南理工大学力学系第十二章第十二章 动能定理动能定理 要求A点的加速度，需要求出杆的角加速度 。求杆的角加速度，可用两种方法： 3Avlgl(1) 在

24、一般位置处列出动能定理表达式，通过求导得在一般位置处列出动能定理表达式，通过求导得角加速度角加速度(2) 用刚体统定轴转动微分方程求角加速度用刚体统定轴转动微分方程求角加速度一般位置处，所有力的功为一般位置处，所有力的功为sin2lWmg21sin22BlJmg代入动能定理代入动能定理, we have对时间求导对时间求导 cos2BlJmg cos2BmglJ理理 论论 力力 学学河南理工大学力学系第十二章第十二章 动能定理动能定理 当 ， ，故cos2BlJmg cos2BmglJ90023nAAaalg(2) 用刚体统定轴转动微分方程求用刚体统定轴转动微分方程求角加速度角加速度()BBJ

25、MF在图在图13-15（c）所示位置，有）所示位置，有0BJ0理理 论论 力力 学学河南理工大学力学系第十二章第十二章 动能定理动能定理 注意注意：1用动能定理求加速度时，必须写出般位置（角度）处的动能定理表达式，再对等式进行求导。不能对某特定位置（角度）表达式求导。 2 由此比较可知，对于单个绕定轴转动刚体，用刚体定轴转动微分方程求角加速度较方便。此题的最简解法为：先用动能定理求 ；再用刚体统定轴转动微分方程求 。 理理 论论 力力 学学河南理工大学力学系第十二章第十二章 动能定理动能定理例例1 图示系统中,均质圆盘A、B各重P，半径均为R, 两盘中心线为水平线, 盘A上作用矩为M(常量)的

26、一力偶；重物D重Q。问下落距离h时重物的速度与加速度。(绳重不计，绳不可伸长，盘B作纯滚动，初始时系统静止)理理 论论 力力 学学河南理工大学力学系第十二章第十二章 动能定理动能定理解解：取系统为研究对象)/( )(RhQhmWF01T222221 2121BCAOJvgQJT)78(16232121221222222PQgvRgPvgQRgPBA)(12FWTT由PQhgQRMvhQRMPQgv78)/(4 )(0)78(162上式求导得：)( )(21678dtdhvdtdhQRMdtdvvgPQPQgQRMa78)/(8理理 论论 力力 学学河南理工大学力学系第十二章第十二章 动能定理动

27、能定理 例例12-6 在绞车的主动轴I上作用一恒力偶M以提升重物，如图所示。已知重物的质量为m；主动轴I和从动轴II连同安装在轴上的齿轮等附件的转动惯量分别为J1和J2，传动比 ；鼓轮的半径为R。轴承的摩擦和吊索的质量均不计。绞车初始时静止，试求当重物上升的距离为h时的速度v及加速度。 解：取绞车和重物组成的质点系为研究对象。12i 理理 论论 力力 学学河南理工大学力学系第十二章第十二章 动能定理动能定理例例12-7 行星齿轮传动机构, 放在水平面内。 动齿轮半径r ,重P, 视为均质圆盘；曲柄重Q, 长l , 作用一力偶, 矩为M(常量), 曲柄由静止开始转动； 求曲柄的角速度 (以转角

28、的函数表示) 和角加速度。解解：取整个系统为研究对象MWF)(01T21221222 2 2121321grPvgPgQlTrlrvlv111 , 222222221292)( 4 )(26lgPQrlgrPlgPgQlT根据动能定理，得MlgPQ0129222PQgMl9232将上式对t 求导数，得2)92(6lPQgM理理 论论 力力 学学河南理工大学力学系第十二章第十二章 动能定理动能定理12-4 功率功率 功率方程功率方程 dWPtddPF vtrFF v一、功率：单位时间力所作的功称功率一、功率：单位时间力所作的功称功率即即: 功率等于切向力与力作用点速度的功率等于切向力与力作用点速

29、度的乘积乘积. 由由 , ,得得dWFr理理 论论 力力 学学河南理工大学力学系第十二章第十二章 动能定理动能定理zzMtMtWPddd单位单位: :W W（瓦特）（瓦特）, ,1 1W=1=1J/s作用在作用在转动刚体转动刚体上的力的功率为上的力的功率为理理 论论 力力 学学河南理工大学力学系第十二章第十二章 动能定理动能定理二、功率方程二、功率方程dddiTWPtt称称功率方程功率方程, 即即 质点系动能对时间的一阶导数质点系动能对时间的一阶导数,等于作用于等于作用于质点系的所有力的功率的代数和质点系的所有力的功率的代数和.无用有用输入PPPtTdd或或ddTPPPt无用输入有用inout

30、putlossddTPPPtinoutputlossddTPPPt理理 论论 力力 学学河南理工大学力学系第十二章第十二章 动能定理动能定理三、机械效率三、机械效率机械效率机械效率输入有效PP有效功率有效功率tTPPdd有用有效多级转动系统多级转动系统n2,1理理 论论 力力 学学河南理工大学力学系第十二章第十二章 动能定理动能定理例例12-7 12-7 已知已知: :5.4,Pkw输入%30输入无用PPmin/ r42,mm100nd若若 ，求，求F的最大值。的最大值。min/r112 n求求: :切削力切削力F F的最大值的最大值理理 论论 力力 学学河南理工大学力学系第十二章第十二章 动

31、能定理动能定理解解: :kw78. 3无用输入有用PPP2 30dnPFF有用kN19.17min)/ r42)(m1 . 0()kw78. 3(sec)(60FkN45. 6min)/112)(m1 . 0()kw78. 3(sec)(60rF当当min/r112n时时当当42 / minn r时时理理 论论 力力 学学河南理工大学力学系第十二章第十二章 动能定理动能定理13-5 13-5 机械能守恒定律机械能守恒定律 若质点在某空间内的任一位置都受到一定大小和方向的力若质点在某空间内的任一位置都受到一定大小和方向的力的作用，则此空间称为的作用，则此空间称为力场力场（field of for

32、ce） 。一、势力场一、势力场 1、力场、力场 2、势力场、势力场 如质点在某一力场内运动时，力场对质点所所作的功仅与如质点在某一力场内运动时，力场对质点所所作的功仅与质点的质点的起止位置有关起止位置有关，而与其，而与其运动路径无关运动路径无关，这种力场称为，这种力场称为。质点在势力场中所受到的力称为。质点在势力场中所受到的力称为(保守力保守力)，如重力、，如重力、弹性力等。重力场、万有引力场、弹性力场都是势力场。弹性力等。重力场、万有引力场、弹性力场都是势力场。 理理 论论 力力 学学河南理工大学力学系第十二章第十二章 动能定理动能定理 二、势能二、势能 在势力场中在势力场中, 质点从位置质

33、点从位置M 运动到任选位置运动到任选位置M0, 有势力所有势力所作的功称为质点在位置作的功称为质点在位置M 相对于位置相对于位置M0的势能的势能（potential energy） ，用，用V 表示。表示。00d(ddydz)MMxyzMMVF xFF Fr M0为基准位置，势能为零，称为零势能点。因而，势能具有为基准位置，势能为零，称为零势能点。因而，势能具有相对性。相对性。 V仅与质点或质点质心的位置有关。在一般情形下，仅与质点或质点质心的位置有关。在一般情形下， V是是位置坐标的单值连续函数，称为位置坐标的单值连续函数，称为势能函数势能函数。 在势力场中势能相等的各点所组成的平面称为在势

34、力场中势能相等的各点所组成的平面称为等势面等势面，可，可表示为：表示为：V(x,y,z)=C。由此可知，当质点沿任一等势面运动时，。由此可知，当质点沿任一等势面运动时，势力的功恒为零。势力的功恒为零。理理 论论 力力 学学河南理工大学力学系第十二章第十二章 动能定理动能定理三、机械能守恒定律三、机械能守恒定律 设质点系只受势力设质点系只受势力(或同时受或同时受到不作功的非有势力到不作功的非有势力) 作用，则作用，则2112TTW1212WVV而2211TVTV常量(*)说明说明(1) (*)式表明质点在内运动时机械能保持不变，此即。(2) 由于势力场具有机械能守恒的特性，因而势力场又称为。则势

35、力又称为。(3) 若质点在的作用下产生机械运动，则机械能不再守恒，。理理 论论 力力 学学河南理工大学力学系第十二章第十二章 动能定理动能定理（1）重力场中心势能）重力场中心势能00dZZVmg zmg zz（2）弹性力场的势能）弹性力场的势能0220d2rrkVFr00 为零势能点。为零势能点。22kV下面介绍几种常见的势能下面介绍几种常见的势能 理理 论论 力力 学学河南理工大学力学系第十二章第十二章 动能定理动能定理（3）万有引力场中的势能）万有引力场中的势能00122AArAAfm mVFRerrdd112122111drrfm mVrfm mrrrddrerr由于有理理 论论 力力

36、学学河南理工大学力学系第十二章第十二章 动能定理动能定理取零势能点在无穷远取零势能点在无穷远1r 12fm mVr 0iiMiMVFrd质点质点00iiiCCVm g zzmg zz 重力场重力场( , , )VV x y z势能函数势能函数 ddydz=dxyzF xFFVdddydzVVVVxxyzxVFx yVFy zVFz ( , , )VV x y zC理理 论论 力力 学学河南理工大学力学系第十二章第十二章 动能定理动能定理例1 长为长为l，质量为，质量为m的均质直杆，初瞬时直立于的均质直杆，初瞬时直立于光滑的桌面上。当杆无初速度地倾倒后，求质心的光滑的桌面上。当杆无初速度地倾倒后

37、，求质心的速度（用杆的倾角速度（用杆的倾角 和质心的位置表达）。和质心的位置表达）。解：由于水平方向不受外力，解：由于水平方向不受外力，且初始静止，故质心且初始静止，故质心C铅垂下降。铅垂下降。由于约束反力不作功由于约束反力不作功, 主动力为有势力，主动力为有势力，因此可用机械能守恒定律求解。因此可用机械能守恒定律求解。mglVT2, 011初瞬时初瞬时：理理 论论 力力 学学河南理工大学力学系第十二章第十二章 动能定理动能定理sin2 , sin2 cos12 lylyly即又由机械能守恒定律：由机械能守恒定律：)2(2124120222ylmgymmlmgl将将代入上式，化简后得代入上式，

38、化简后得sin2ly ygy22sin31sin6222222212412121ymmlymITC)2(2ylmgV任一瞬时任一瞬时：理理 论论 力力 学学河南理工大学力学系第十二章第十二章 动能定理动能定理例2 均质圆柱均质圆柱A的重量为的重量为 ，半径为，半径为R，放在足，放在足够粗糙的水平面上，其轴心够粗糙的水平面上，其轴心O处连接一弹簧常数为处连接一弹簧常数为k 的水平拉伸弹簧，弹簧的另一端固定在墙上。圆柱上的水平拉伸弹簧，弹簧的另一端固定在墙上。圆柱上绕有质量不计的细绳，绳子绕过一重量为绕有质量不计的细绳，绳子绕过一重量为 、半、半径为径为r 的均质滑轮的均质滑轮B，其另，其另端悬挂

39、重量端悬挂重量 的物块的物块C，使圆柱在地面上作纯滚动。若滑轮轴承的摩擦略，使圆柱在地面上作纯滚动。若滑轮轴承的摩擦略去不计，整个系统从静止开始运动，起始时弹簧无变去不计，整个系统从静止开始运动，起始时弹簧无变形，绳与滑轮间无相对滑动。试以物块的起始位置为形，绳与滑轮间无相对滑动。试以物块的起始位置为x轴的原点，如图所示，建立物块的加速度轴的原点，如图所示，建立物块的加速度 与位移与位移x间的关系式。间的关系式。 Am gBm gCm ga理理 论论 力力 学学河南理工大学力学系第十二章第十二章 动能定理动能定理 解：解：分析分析系统的待求量为运动量，可用动能定理系统的待求量为运动量，可用动能

40、定理求解，因该系统为保守系统，亦可用机械能守恒定求解，因该系统为保守系统，亦可用机械能守恒定律求解。律求解。取系统为研究对象取系统为研究对象。受力分析：。受力分析： 系统中作功的力为系统中作功的力为C块的重力和弹簧的弹性力。块的重力和弹簧的弹性力。分析运动：分析运动： C块作直线运动，轮块作直线运动，轮B绕轴绕轴Ol作定轴转动，轮作定轴转动，轮A作平面作平面运动，各物体的速度或角速运动，各物体的速度或角速度如图所示。度如图所示。 求解方法有以下两种：求解方法有以下两种： 理理 论论 力力 学学河南理工大学力学系第十二章第十二章 动能定理动能定理 1. 用动能定理求解用动能定理求解10T 系统初

41、始静止系统初始静止 C物块下移物块下移x时，系统动能为时，系统动能为 22222CBAO11112222CBOATm vJm vJ由于由于 CBvr2CAOvvv2COvv 2OCAvvRR2222CBAA2211 11111 1122 2242 24CTmm rmm RvrR2CBA113228Cmmmv理理 论论 力力 学学河南理工大学力学系第十二章第十二章 动能定理动能定理 所有力的功所有力的功 2C1(0)2Wm gxk知道知道2x 2C18Wm gxkx代入动能定理得代入动能定理得22CBAC11312288Cmmmvm gxkx （a）式（式（a）两边对时间）两边对时间t求导求导

42、CCBA184843Cm gkxammm理理 论论 力力 学学河南理工大学力学系第十二章第十二章 动能定理动能定理 2用机械能守恒定律求解用机械能守恒定律求解该系统机械能守恒该系统机械能守恒 TVC取平衡位置处为重力零势能点，弹簧原取平衡位置处为重力零势能点，弹簧原长为弹性力零势能点。长为弹性力零势能点。初始位置初始位置 110,0TV任意位置时任意位置时 2221128CCVm gxkm gxkx 22222CBAO11112222CBOATm vJm vJ2CBA113228Cmmmv理理 论论 力力 学学河南理工大学力学系第十二章第十二章 动能定理动能定理 由由 机械能守恒机械能守恒11

43、22TVTV22CBAC113102288Cmmmvm gxkx22CBAC11312288Cmmmvm gxkx （b）式式(a)和式和式(b)完全相同。完全相同。 注意：注意：当系统中作功的力全为保守力时，系统机械能当系统中作功的力全为保守力时，系统机械能守恒，此时可用机械能守恒定律解题。但一定要指明守恒，此时可用机械能守恒定律解题。但一定要指明零势能点，否则讲势能无意义。可用机械能守恒定律零势能点，否则讲势能无意义。可用机械能守恒定律求解的题目一定可用动能定理求解。求解的题目一定可用动能定理求解。理理 论论 力力 学学河南理工大学力学系第十二章第十二章 动能定理动能定理12-6 12-6

44、 物体系统的动力学问题举例物体系统的动力学问题举例动量定理（或质心运动定理）动量定理（或质心运动定理）建立了动量的变化（或建立了动量的变化（或质心运动的变化）与外力系主矢的关系。它涉及到速质心运动的变化）与外力系主矢的关系。它涉及到速度、时间和外力三种量。对于用时间表示的运动过程，度、时间和外力三种量。对于用时间表示的运动过程，通常使用动量定理求解。特别是已知运动求约束反力通常使用动量定理求解。特别是已知运动求约束反力的问题，必须用动量定理（或质心运动定理）求解。的问题，必须用动量定理（或质心运动定理）求解。 动量定理、动量矩定理和动能定理动量定理、动量矩定理和动能定理，从不同侧面阐，从不同侧

45、面阐明了物体机械运动的规律，用不同的物理量反映了明了物体机械运动的规律，用不同的物理量反映了质点或质点系运动的改变和作用力的关系，在求解质点或质点系运动的改变和作用力的关系，在求解动力学两类问题时，各有其特点。动力学两类问题时，各有其特点。理理 论论 力力 学学河南理工大学力学系第十二章第十二章 动能定理动能定理求解综合动力学问题时，需要针对具体问题进行受力分析和运求解综合动力学问题时，需要针对具体问题进行受力分析和运动分析，弄清楚问题的性质和条件，再结合各定理所反映的规动分析，弄清楚问题的性质和条件，再结合各定理所反映的规律，来选择适用的定理，或者联合运用定理求解。律，来选择适用的定理，或者

46、联合运用定理求解。 动量矩定理动量矩定理建立了质点系动量矩的变化与外力系主建立了质点系动量矩的变化与外力系主矩的关系。当质点系绕轴运动时，可考虑使用动量矩的关系。当质点系绕轴运动时，可考虑使用动量矩定理求解。如果已知运动，则可使用动量矩定理矩定理求解。如果已知运动，则可使用动量矩定理求解作用线不通过转轴的力。如果已知外力矩，则求解作用线不通过转轴的力。如果已知外力矩，则可使用动量矩定理求解质点系绕轴（或点）的运动。可使用动量矩定理求解质点系绕轴（或点）的运动。 动能定理动能定理建立了质点系动能的变化与力的功的关系。建立了质点系动能的变化与力的功的关系。它涉及到速度、路程和力三种量。对于用路程表

47、示的它涉及到速度、路程和力三种量。对于用路程表示的运动过程，当已知力求质点系运动的速度（或角速运动过程，当已知力求质点系运动的速度（或角速度）、加速度（或角加速度）时，通常使用动能定理度）、加速度（或角加速度）时，通常使用动能定理求解较为方便。求解较为方便。理理 论论 力力 学学河南理工大学力学系第十二章第十二章 动能定理动能定理举例说明三定理的综合应用：举例说明三定理的综合应用： 例例1 两根均质杆AC和BC各重为P，长为l，在C处光滑铰接，置于光滑水平面上；设两杆轴线始终在铅垂面内，初始静止，C点高度为h，求铰C到达地面时的速度。理理 论论 力力 学学河南理工大学力学系第十二章第十二章 动

48、能定理动能定理讨论 动量守恒定理动能定理求解。 计算动能时，利用平面运动的运动学关系。解解：由于不求系统的内力，可以不拆开。研究对象：整体分析受力：，且初始静止，所以水平方向质心位置守恒。 0)(exFPhhPWF22)(01T222223123121lgPlgPT代入动能定理：ghvPhvgPCC3 03122231 CCvgPTlv理理 论论 力力 学学河南理工大学力学系第十二章第十二章 动能定理动能定理 例例2 均质圆盘A：m，r；滑块B：m；杆AB：质量不计，平行于斜面。斜面倾角，摩擦系数f，圆盘作纯滚动，系统初始静止。求：滑块的加速度。解：选系统为研究对象)cossin2( cos

49、sin 2)(fSmgmgSfSmgWF22222121212121 0mrmvmvTT运动学关系：rv 2245mvT 由动能定理：)cossin2(0452fmgSmv对求导，得gfa)cos52sin54(理理 论论 力力 学学河南理工大学力学系第十二章第十二章 动能定理动能定理 例例13-9 图（图（a）所示铰车鼓轮的半径为）所示铰车鼓轮的半径为r，重为，重为G1，重，重心与轴承心与轴承O的中心相重合，在其上作用一力偶矩为的中心相重合，在其上作用一力偶矩为M的常的常力偶，使半径为力偶，使半径为R，重为，重为G2的滚子（鼓轮和滚子均视为均的滚子（鼓轮和滚子均视为均质圆盘）沿倾角为质圆盘）

50、沿倾角为 的斜面由静止开始向上作纯滚的斜面由静止开始向上作纯滚动。设绳子不能伸长且不计质量，求鼓轮由静止开始转过动。设绳子不能伸长且不计质量，求鼓轮由静止开始转过角角 时，滚子质心时，滚子质心C的速度、加速度、绳子的拉力和的速度、加速度、绳子的拉力和轴承轴承O处约束力。处约束力。 理理 论论 力力 学学河南理工大学力学系第十二章第十二章 动能定理动能定理 解：(1) 取整个系统为研究对象，应用动能定理求滚子质取整个系统为研究对象，应用动能定理求滚子质心心C的速度、加速度。的速度、加速度。系统初始瞬时的动能系统初始瞬时的动能 10T 系统终止瞬时的动能系统终止瞬时的动能22222111222CC

51、COOGTvJJg运动分析可知运动分析可知 CCvROCvr理理 论论 力力 学学河南理工大学力学系第十二章第十二章 动能定理动能定理 则则 2222222222221221111()()222111()()22 22 2(3)4CCCCOCCCCvvGTvJJgRrvvGGGvRrggRgrGGvg系统具有系统具有理想约束理想约束，且内力功之和恒等于零。，且内力功之和恒等于零。主动力的功主动力的功只只有滚子的重力有滚子的重力G2和力偶矩为和力偶矩为M的力偶作功，做功总和为的力偶作功，做功总和为 2sinWG rM 根据质点系的动能定理根据质点系的动能定理 2212(3)0sin4CGGvG

52、rMg （1） 理理 论论 力力 学学河南理工大学力学系第十二章第十二章 动能定理动能定理 解得解得 2214(sin )3CMG rgvGG将式（将式（1）两端对）两端对t求一阶导数，得求一阶导数，得212d(3)d2(sin )4ddCCvGGvMG rgttddCOvtr由于由于 可得滚子质心的加速度可得滚子质心的加速度 221d2(sin )d(3)CCvMG rgatGG r （2） 理理 论论 力力 学学河南理工大学力学系第十二章第十二章 动能定理动能定理 (2) 取鼓轮（包括绳子）为研究对象取鼓轮（包括绳子）为研究对象，其受力图如图，其受力图如图13-20（b）所示。应用刚体绕定

53、轴转动微分方程，求滚子对绳）所示。应用刚体绕定轴转动微分方程，求滚子对绳子的拉力。子的拉力。 根据刚体绕定轴转动微分方程，可得根据刚体绕定轴转动微分方程，可得TOJMF r而而 212OGJrg22212(sin )(3)CaMG rgrGG r代入上式得绳子的拉力代入上式得绳子的拉力 21T21(sin )(3)MG rGMFrGG r (3) 理理 论论 力力 学学河南理工大学力学系第十二章第十二章 动能定理动能定理 (3) 仍以鼓轮（包括绳子）为研究对象，仍以鼓轮（包括绳子）为研究对象，根据质心运动定根据质心运动定理求轴承理求轴承O处约束力。处约束力。 因鼓轮质心的加速度为零，故由质心运

54、动定理的投影形式因鼓轮质心的加速度为零，故由质心运动定理的投影形式可得可得 T0cosOxFFT10sinOyFFG将式（将式（3）代入，解得）代入，解得2121(sin )cos(3)OxMG rGMFrGG r21121(sin )sin(3)OyMG rGMFGrGG r理理 论论 力力 学学河南理工大学力学系第十二章第十二章 动能定理动能定理 例例13-10 均质细长杆为均质细长杆为l，质量为，质量为m，静止直立于光滑水静止直立于光滑水平面上。当杆受微小扰动，而倒下时，求平面上。当杆受微小扰动，而倒下时，求AB杆刚刚达到杆刚刚达到地面时的角速度和地面的约束力。地面时的角速度和地面的约束

55、力。 解：解：由于地面光滑，由于地面光滑，AB杆在运动中只杆在运动中只受重力和地面法向反力作用，所有外受重力和地面法向反力作用，所有外力均为铅垂，倒下过程中，即水平方力均为铅垂，倒下过程中，即水平方向合力等于零，则质心在水平方向的向合力等于零，则质心在水平方向的运动守恒。运动守恒。 由于杆初瞬时静止，质心的由于杆初瞬时静止，质心的横坐标横坐标xC保持常数。保持常数。 因此，因此，AB杆的质心将铅垂下落。杆的质心将铅垂下落。 设杆向左滑动于任一角度设杆向左滑动于任一角度P为杆的速度瞬心为杆的速度瞬心 理理 论论 力力 学学河南理工大学力学系第十二章第十二章 动能定理动能定理 由运动学知，杆的角速

56、度由运动学知，杆的角速度 2cosCCvvCPl杆的动能为杆的动能为 22222111112223cosCCCTmvJmv杆的初瞬时动能为杆的初瞬时动能为 10T 由于地面反力作功等于零，所以系统只有重力作功由于地面反力作功等于零，所以系统只有重力作功 (1 sin )2mglW根据动能定理根据动能定理 221110(1 sin )23cos2Cmglmv理理 论论 力力 学学河南理工大学力学系第十二章第十二章 动能定理动能定理 当当 时，解出时，解出132Cvgl3gl0杆刚刚到达地面时，受力及加速度如图所示，由刚体平面运杆刚刚到达地面时，受力及加速度如图所示，由刚体平面运动微分方程，得动微分方程，得点点A的加速度的加速度Aa方向为水平方向为水平 质心质心C的加速度为铅垂的加速度为铅垂 选选A为基点，则为基点，则C点的加速度为点的加速度为 NCmgFma （1）2NC212lmlFJ （2）理理 论论 力力 学学河南理工大学力学系第十二章第十二章 动能定理动能定理 沿铅垂方