高中数学最全必修一函数性质详解与知识点总结与题型详解

1、WORD格式.(经典 )高中数学最全必修一函数性质详解及知识点总结及题型详解分析一、函数的概念与表示1、映射：（1）对映射定义的理解。（2）判断一个对应是映射的方法。一对多不是映射，多对一是映射集合 A，B 是平面直角坐标系上的两个点集，给定从AB 的映射 f:(x,y) (x2+y 2,xy) ，求象 (5， 2)的原象 .13. 已知集合 A 到集合 B0，1，2，3的映射 f:x x 1 ，则集合 A 中的元素最多有几个 ?写出元素最多时的集合 A.2、函数。构成函数概念的三要素定义域对应法则值域两个函数是同一个函数的条件：三要素有两个相同1、下列各对函数中，相同的是（）A、 f ( x

2、)lg x2, g(x)2 lg xB、 f (x) lg x1 , g (x)lg( x 1) lg( x1)x1C、 f (u)1u, g( v)1vD、f（ x） =x， f (x)x 21u1v2、 M x | 0x2,N y | 0y3 给出下列四个图形，其中能表示从集合M 到集合N 的函数关系的有（）A、 0个B、 1个C、 2个D、3个yyyy322221111O1 2 xO1 2 xO1 2 xO1 2x二、函数的解析式与定义域函数解析式的七种求法待定系数法： 在已知函数解析式的构造时，可用待定系数法。专业资料整理例 1设 f (x) 是一次函数，且f f ( x)4 x3 ，

3、求 f (x).配凑法：已知复合函数f g (x) 的表达式，求 f (x) 的解析式， f g( x) 的表达式容易配成g ( x) 的运算形式时，常用配凑法。但要注意所求函数f (x) 的定义域不是原复合函数的定义域，而是 g( x) 的值域。例 2 已知 f (x1) x 21 ( x0) ，求 f ( x) 的解析式xx2三、换元法： 已知复合函数 f g (x) 的表达式时，还可以用换元法求f ( x) 的解析式。与配凑法一样，要注意所换元的定义域的变化。例 3 已知 f ( x 1) x2 x ，求 f ( x 1)四、代入法： 求已知函数关于某点或者某条直线的对称函数时，一般用代

4、入法。例 4 已知：函数 yx 2x与 yg( x) 的图象关于点 ( 2,3) 对称，求 g( x) 的解析式五、构造方程组法： 若已知的函数关系较为抽象简约，则可以对变量进行置换，设法构造方程组，通过解方程组求得函数解析式。 例 5 设 f ( x)满足 f ( x)2 f (1 )x, 求 f ( x)x例 6 设 f (x) 为偶函数， g( x) 为奇函数，又 f (x)g (x)x1 , 试求 f ( x)和g ( x) 的解析式1六、赋值法： 当题中所给变量较多，且含有“任意”等条件时，往往可以对具有“任意性”的变量进行赋值，使问题具体化、简单化，从而求得解析式。例 7已知： f

5、 (0)1，对于任意实数x、y，等式 f ( xy)f ( x)y(2xy1) 恒成立，求 f (x)七、递推法： 若题中所给条件含有某种递进关系，则可以递推得出系列关系式，然后通过迭加、迭乘或者迭代等运算求得函数解析式。例 8设 f (x) 是 N 上的函数，满足f (1)1，对任意的自然数a,b都有 f ( a)f (b)f (ab)ab ，求f (x)1、求函数定义域的主要依据：（1）分式的分母不为零；（2）偶次方根的被开方数不小于零，零取零次方没有意义；（3）对数函数的真数必须大于零； （ 4）指数函数和对数函数的底数必须大于零且不等于1；6.（ 05 江苏卷）函数ylog 0.5 (

6、4 x23x) 的定义域为2 求函数定义域的两个难点问题（ 1） 已知 f (x)的定义域是 -2,5,求 f(2x+3)的定义域。.（2）已知 f ( 2x 1的)定义域是 -1,3,求 f( )x的定义域例 2设 f ( x) lg 2x ，则 f ( x) f ( 2 ) 的定义域为 _2x2x变式练习： f (2 x)4x2 ，求f ( x ) 的定义域。三、函数的值域1 求函数值域的方法直接法：从自变量x 的范围出发，推出y=f(x) 的取值范围，适合于简单的复合函数；换元法：利用换元法将函数转化为二次函数求值域，适合根式内外皆为一次式；判别式法：运用方程思想，依据二次方程有根，求出

7、y 的取值范围；适合分母为二次且x R 的分式；分离常数：适合分子分母皆为一次式（x 有范围限制时要画图）；单调性法：利用函数的单调性求值域；图象法：二次函数必画草图求其值域；利用对号函数几何意义法：由数形结合，转化距离等求值域。主要是含绝对值函数1（直接法） yx212 f ( x)2242xx23（换元法） yx2x 12x34. （法） y3x5.x21xx2y6. (分离常数法 ) y4x21x 1 y3x1x4) 7. ( 单调性 ) yx31，2x( 2( x1,3) 8. yx12xx 11yx 1x19(图象法 ) y32xx2 (1x2) 10(对勾函数) y2x8 (x4)

8、x11. ( 几何意义 ) yx2x1四函数的奇偶性1定义 :2. 性质：y=f(x) 是偶函数y=f(x) 的图象关于 y 轴对称 ,y=f(x) 是奇函数y=f(x) 的图象关于原点对称 ,若函数 f(x)的定义域关于原点对称，则f(0)=0.奇±奇=奇 偶±偶=偶奇×奇=偶偶×偶=偶奇×偶=奇两函数的定义域 D1，D2，D1D2 要关于原点对称3奇偶性的判断看定义域是否关于原点对称看 f(x)与 f(-x)的关系1已知函数 f (x) 是定义在 (,) 上的偶函数 . 当 x (, 0) 时， f ( x)xx 4 ，则当x( 0,) 时

9、， f ( x).2已知定义域为 R 的函数 f (x)2xb 是奇函数。（）求 a,b 的值；（）若对任意的 t R ，2x 1a不等式 f (t22t )f (2t 2k)0 恒成立，求 k 的取值范围；3已知 f ( x) 在（ 1，1）上有定义，且满足 x, y( 1,1)有 f ( x) f ( y)xy),f (xy1证明： f ( x) 在（ 1，1）上为奇函数；4若奇函数 f (x)( xR) 满足 f (2)1， f ( x 2)f ( x)f (2) ，则 f (5)_五、函数的单调性1、函数单调性的定义： 2设 yf g x 是定义在 M 上的函数，若 f(x) 与 g(

10、x) 的单调性相反，则 y f g x在 M 上是减函数；若 f(x) 与 g(x) 的单调性相同，则 yf g x在 M 上是增函数。2例 函数 f ( x) 对任意的 m, nR ，都有 f (m n)f (m)f (n) 1 ，并且当 x0 时，f ( x) 1 ，求证： f ( x) 在 R 上是增函数；若 f (3)4，解不等式 f (a 2a5)23函数 ylog 0.1 (6x 2x 2 ) 的单调增区间是 _4(高考真题 )已知 f (x)(3a1)x4a, x1,) 上的减函数，那么 a 的取值范围是log ax, x1是 (（A） (0,1)（B） (0, 1 )（C） 1

11、 ,1)（D） 1 ,1)3737一：函数单调性的证明1.取值2，作差3，定号4，结论二：函数单调性的判定，求单调区间yx22x3yx22 x3yx25x4y1x 22x3.221 x 4 xylog 2 ( x23 x2)yyx 21y12 1522xxxa（ a0 ）y xa（ a0 ）y xxx三：函数单调性的应用1.比较大小例：如果函数fx x 2bxc对任意实数 t 都有()f (2 t)f (t2) ，那么 A、 f (2)f (1)f (4)B、 f (1)f (2)f (4) C、 f (2)f (4) f (1)C、f (4)f (2)f (1)2.解不等式 例：定义在（ 1

12、，1 ）上的函数 f ( x) 是减函数，且满足：围。 例：设是定义在上的增函数，且f (1a)f (a)，求实数，a 的取值范求满足不等式的 x 的取值范围 .3.取值范围 例: 函数在上是减函数 ,则的取值范围是 _例：若 f ( x)(3a1)x4ax1）log a xx1是 R 上的减函数，那么 a 的取值范围是（A. (0,1)1)C. 11)1B. (0,7,D. ,1)3374. 二次函数最值 例：探究函数f()x221在区间 0,1 的最大值和最小值。xax例：探究函数 f ( x)x22x1在区间 a, a1 的最大值和最小值。5.抽象函数单调性判断例：已知函数 f ( x)

13、 的定义域是 (0,) ，当 x1 时， f (x) 0，且 f ( xy) f (x)f ( y)求 f (1) ，证明 f ( x) 在定义域上是增函数如果 f ( 1)1，求满足不等式 f ( x)f ( 1) 2 的 x 的取值范围3x22例：已知函数()对于任意x，R，总有( )f() ()，且当x>0 时，()<0，(1) .f xyf xyf xyf xf3(1) 求证： f(x)在 R 上是减函数； (2) 求 f(x)在 3,3 上的最大值和最小值x1例：已知定义在区间 (0， ) 上的函数f(x)满足 f()f(x1 ) f(x2 )，且当 x>1 时，

14、f(x)<0. x2(1) 求 f(1)的值； (2) 判断 f(x)的单调性； (3) 若 f(3) 1，解不等式 f(|x|)<2.六函数的周期性：1（ 定义）若 f ( xT )f ( x)(T0)f ( x)是周期函数，T 是它的一个周期。说明：nT也是f (x)的周期（推广）若 f ( xa)f ( xb) ，则 f (x) 是周期函数， ba 是它的一个周期对照记忆 f ( xa)f ( xa) 说明： f (ax)f (ax) 说明：2若 f (x a)f ( x) ； f (x a)1； f (x a)1；则 f ( x) 周期是 2af ( x)f ( x)1 已

15、知定义在 R 上的奇函数 f(x)满足 f(x+2)=f(x),则,f(6) 的值为(A) 1(B) 0(C)1(D)22定义在 R 上的偶函数 f ( x) ，满足 f (2 x) f (2x) ，在区间 -2,0 上单调递减，设af ( 1.5), b f ( 2), cf (5)，则 a, b, c 的大小顺序为 _3已知 f (x)是定义在实数集上的函数，且f (x2)1f ( x) , 若 f (1)23, 则1f ( x)f (2005)=.4已知 f ( x) 是(- ，)上的奇函数， f (2x)f ( x) ，当 0 x 1时， f(x)=x ，则f(7.5)=_例 11 设

16、 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数，且对任意实数x 恒满足 f ( 2x)f ( x) ，当x 0,2 时 f ( x) 2 xx 2 求证： f (x) 是周期函数； 当 x 2,4 时，求 f ( x) 的解析式；计算：七二次函数 (涉及二次函数问题必画图分析 )1、已知函数 f ( x) 4x 2mx 5在区间 2,) 上是增函数，则 f (1) 的范围是（）（ A） f (1)25(B)f (1)25(C)f (1)25(D)f (1)25.2、方程mx 22mx10 有一根大于1，另一根小于1，则实根m 的取值范围是_八指数式与对数式1幂的有关概念(1)零指数幂 a01(a0)

17、(2)负整数指数幂 an1a0, nNanmn am(3)正分数指数幂 a na0, m, nN , n1 ；(5)负分数指数幂 am110, m, nN , n1nmaa nn am(6)0 的正分数指数幂等于0,0 的负分数指数幂没有意义 .2有理数指数幂的性质1 ar as ar sa 0,r , sQ2 arsars a0, r , sQ3abrar br a0b,0r ,Q3根式 根式的性质 :当 n 是奇数，则 n a na ；当 n 是偶数，则 nanaaa0aa04对数 (1)对数的概念 :如果 a bN (a0, a1) ,那么 b 叫做以 a 为底 N 的对数 ,记 blo

18、g a N (a0,a 1)(2) 对数的性质：零与负数没有对数 log a 10 log a a1(3) 对数的运算性质logMN=logM+logN对数换底公式： log a Nlog m N0且 a1,m0且 m1)( N 0, alog m a对数的降幂公式： log a mN nn log a N (N0, a0且 a1)m113lg 8 lg 125lg 2 lg 5(1) (1) 2(4ab)1(2)42 ( a3 b 3 ) 2lg10lg 0.1(0.1)十指数函数与对数函数1、 指数函数 y=ax 与对数函数 y=log ax (a>0 , a 1)互为反函数名称指数

19、函数对数函数一般形式Y=ax(a>0且 a1)y=log x (a>0 , a 1)a.定义域(-,+ )(0,+ )值域(0,+ )(-,+ )过定点（， 1）（1，）指数函数 y=ax 与对数函数 y=log a x (a>0 , a 1)图象关于 y=x 对称图象a> 1,在(-,+ )上为增函数a>1, 在 (0,+ )上为增函数单调性 a<1, 在(-,+ )上为减函 a<1, 在(0,+ )上为减函数数值分布y>1 ?y<1?y>0?y<0?2. 比较两个幂值的大小，是一类易错题，解决这类问题，首先要分清底数相同还是

20、指数相同，如果底数相同，可利用指数函数的单调性；指数相同，可以利用指数函数的底数与图象关系（对数式比较大小同理）记住下列特殊值为底数的函数图象：3、研究指数，对数函数问题，尽量化为同底，并注意对数问题中的定义域限制4、指数函数与对数函数中的绝大部分问题是指数函数与对数函数与其他函数的复合问题，讨论复合函数的单调性是解决问题的重要途径。1、（1） ylg x lg( 5 3x) 的定义域为 _；1（ 2） y2 x 3 的值域为 _；.（ 3） y lg(x 2x) 的递增区间为 _ ，值域为 _2、（1） log 21 x10，则 x _243、要使函数 y12x4x a 在 x,1 上 y

21、0 恒成立。求 a 的取值范围。4.若 a2x+ 1 ·ax 1 0（a0 且 a1），求 y=2a2x3·ax+4 的值域 .22十函数的图象变换（1）1、平移变换：（左 +右-，上 +下- ）即yf ( x )h0 ,右移; h0, 左移yf ( xh )yf ( x )k0 ,下移; k0, 上移yf ( x )k 对称变换：（对称谁，谁不变，对称原点都要变）yf ( x)x 轴yf( x )yf ( x)y 轴yf (x )yf ( x)原点yf (x )yf ( x)yxf1y( x )yf ( x)y 轴右边不变，左边为右边部分的对称图yf ( x )yf ( x)保留x 轴上方图，将x 轴下方图上翻yf ( x )1f(x) 的图象过点 (0,1) ，则 f(4-x) 的反函数的图象过点（）A.(3,0)B.(0,3)C.(4,1)D.(1,4)2作出下列函数的简图： （1）y=|log 2x |；2）y=|2x -1|；（3）y=2 |x|；函数图像的变换函数图象及变化规则掌握几类基本的初等函数图像是学好本内容的前题1、基本函数（ 1）一次函数、（2）二次函数、（ 3）反比例函数、（4）指数函数、（ 5）对数函数、（6）三角函数。2、图象的变换（1）平移变换（左加右减）.函数 y=f(x