运用导数拓展函数知识的应用

1、.运用导数拓展函数知识的应用运用导数拓展函数知识的应用(内部资料）在高中数学中,运用导数这一强大工具来研究函数的性质,是新大纲、新教材的一大特点，与传统教材相比，不仅极大地降低了教材难度，而且是高一函数知识的拓展，从而使函数知识具有更广泛的应用前景。本文拟就此问题做初步的探讨。一、运用导数研究函数单调性定理：设函数f (x)在a, b上连续，在（a, b）内可导，且>0 (或(x)<0),则在a, b上递增(或递减)。注：在区间上恒正或者恒负仅是在此区间上严格单调的充分条件，而不是必要条件。其实在区间上严格单调性并不排斥在区间内某些孤立点处有=0。例1：求函数的单调区间解： 令&g

2、t;0 得 x<1或x>3; 令，得 故的单调增区间是，单调减区间是（1，3）例2：讨论函数,()的单调性。解： 令，由于cosx+1>0，所以2cosx-1>0 又，从而 同理，令，得 故在上是单调增函数，在上是减函数。例3：要使是R上的递增函数，其系数应满足什么条件？ 解： 由题意知：对一切，有 即 的解集为R若，则：当、时，在R上恒成立 当时，在R上不恒成立 此时，在R上递增的条件是：且 若 则由的解集为R得：,且=， 此时，在R上递增的条件是：且，综上所述：且或且，为所求。例4：在为R上的增函数解： 要使是R上的增函数，只须对一切，都有： 若即时，在R上不恒成立

3、即时 则 又 所以 为所求。例5：已知可导函数的定义域为，且对任意,满足。 1）问：能否同为偶函数？2）若试求定义域D的最大范围； 3）若，试判断g(x)的单调性，并加以推广且给出证明。解：1）不能同为偶函数。 若同为偶函数，则同为奇函数且区间关于原点对称，又在区间可导，所以 从而， 即：，这与题设矛盾 故 不能同为偶函数。2） 由题设得： 所以 x<0 故定义域D的最大范围为 3）当时，是增函数，此时，是增函数。 当时，是减函数，此时，是减函数。 一股地，若是增函数（或减函数）则是增函数（或减函数）。证：若是增函数，则 由得从而是增函数。同理可证是减函数的情形。二、运用导数求函数的值域

4、（最值） 应用“在闭区间a,b上的连续函数必有最大值和最小值”及函数的单调性，可以解决求函数的值域、最值及相关问题；灵活运用以下结论，往往可使这类问题的解答更方便。 结论：若可导函数在开区间（a, b）有且只有一个极值点，而实际问题中又有最大（小）值，则必在该点处取得最大（小）值。例1：函数的值域。解： 时，即上是增函数 而 所以的值域是，+）例2： 已知函数，求y的最小值。解1： 解2：令 则 例3：已知 例4：已知,求的取值范围.解：由得且 令得 又 例5：求函数的最值。解：由题意得： 令得： 令得： 函数在时取得极大值； 又时，时， 故：三、运用导数研究方程的根的分布 把方程=0的根看作

5、是函数的图象与x轴的交点，从而可根据函数的图象（性质）来研究方程的根的分布。例1：判别方程lgxx3的解的情况；若此方程所在的区间为，求使 的的值。解：则 从而，方程上有且只有一个实数解； 又 例2：关于x的方程有2实根，则实数a的取值范围是_解：令 在（0，）上是增函数，在（，+）上是减函数从而易得在例3：直线y=a与函数的图象有三个相异交点，求a的取值范围。解：依题意，方程有三个相异实根 令 则： 由得：x=-1或x=1 当x<-1时，；当-1<x<1时，；当x>1时，在x=-1处有极大值 在x=1处有极小值 又 例4：设a>0，a1，试求方程log(xak)

6、log(xa)有实数解的k的范围。(89年全国高考)解： 将原方程化为：log(xak)log等价于 （a>0,a1）令综上所述，四、运用导数证明不等式 把不等式的证明，转化成证明函数在某个区间上恒正或恒负。即要证，只须证明在D上恒成立。例1：证明：当证明：设 则： 由指数函数的性质知：当 所以，在R上的最小值是 故 从而 （）例2：设a、b是任意正数，n是不小于2的自然数。证明不等式：解：设 （n2，x>0） 则： 所以当x >0时，是递增的，又，所以当x>0时，即 令x = a，得：例3：证明：证明：令 则： 在上是减函数； 例4：已知实数其中e是自然对数的底。证明

7、：分析：因为所以 从而可证函数解：令 则： 故： 例5：求证：当时，证明：令 则 令 则 当时， 所以 又 当时，恒成立 在区间上是增函数 即在上是增函数 故五、导数在数列中的应用 数列作为函数的特例，因而数列中有关单调性、最值、大小比较等问题可转化为函数问题来研究，充分利用函数这一强大工具来解决相应问题。例1：证明数列是递增数列。解： 则： 恒成立在上是增函数 从而数列是递增数列。例2：已知数列，试比较的大小。解：令 在上是增函数 从而当 故：解： 六、运用导数求曲线的切线根据导数的几何意义，求曲线的切线问题变得更简单。例1：已知函数求过的图象上一点P（0，1）的切线的方程解： 例2：求经过点P（-1，-1）且与函数的图象相切的直线方程。解： 设切点为P(x0，y0)，则切线的斜率切线方程为： 点P(x0，y0)在切线上，从而： 即： 又点P(x0，y0)在曲线C上， 由、消去y0并整理得： 切线方程为： 即：为所求。例3：求证：过椭圆上的点P的切线方程为证明：在方程中，把y看作是x的函数，在方程两边对x求导， 得： 从而，过点P的切线斜率 切线方程为 又 由、可得：例4：已知函数且在和处取得极值。1） 求证：；2） 若，则过