第一章函数ppt课件

1、一元函数微积分学一元函数微积分学q一元函数的极限一元函数的极限q微分学微分学q积分学积分学第一章第一章 函数的极限函数的极限1.2 函数的极限1.1 函数的概念1.3 函数的连续性1.1 函数的概念函数的概念1.1.1 函数的定义函数的定义1.1.2 分段函数分段函数1.1.3 有界函数有界函数1.1.4 复合函数复合函数1.1.1 函数的定义函数的定义数集数集D D 叫做这个函数的定义域叫做这个函数的定义域. .( )yf x，因变量因变量自变量自变量.)(00处处的的函函数数值值为为函函数数在在点点称称时时, ,当当0 0 xxfDx ( ),.Wy yf x xD数集称为函数的值域定义定

2、义 设设 x x 和和 y y 是两个变量是两个变量,D,D是一个给定的数集，是一个给定的数集，如果对于每个数如果对于每个数x , x , 变量变量y y 按照一定法按照一定法则总有则总有D确定的数值和它对应，则称确定的数值和它对应，则称y y 是是x x 的函数，记作的函数，记作 函数的两要素函数的两要素: : 定义域、定义域、 对应法则对应法则. .()D0 xx对应法则对应法则f)(Wy)(0 xf自变量自变量因变量因变量约定约定: : 定义域是自变量所能取的使算式有意定义域是自变量所能取的使算式有意义的一切实数值义的一切实数值. .21xy，例例如如 1 , 1 : D211xy，例例

3、如如)1 , 1(: D基本初等函数基本初等函数幂函数类幂函数类)( 是常数是常数 xy)1 , 1(oxyxy1 2xy xy xy 11)1, 0( aaayxxey xay xay)1( )1( a)1 , 0( 指数函数类指数函数类xyalog xya1log )1( a)1, 0(log aaxyaxyln )0 , 1(对数函数类对数函数类正弦函数正弦函数xysin xysin 三角函数类三角函数类.余弦函数余弦函数xycos xycos .正切函数正切函数xytan xytan .余切函数余切函数xycot xycot .正割函数正割函数xysec xysec .余割函数余割函数

4、xycsc xycsc .xyarcsin反正弦函数反正弦函数xyarcsin 反三角函数类反三角函数类xyarccos反反余余弦弦函函数数xyarccos xyarctan反反正正切切函函数数xyarctan xycotarc反反余余切切函函数数1.1.2 分段函数分段函数在自变量的不同变化范围中在自变量的不同变化范围中, , 对应法则用不同的对应法则用不同的式子来表示的函数式子来表示的函数, , 称为分段函数称为分段函数. . 0, 10, 12)(,2xxxxxf例例如如12 xy12 xy1.1.3 有界函数有界函数则称则称 f (x )f (x )为有界函数为有界函数. . ,f x

5、M定义定义 若存在若存在M 0,M 0,对任意的对任意的x x ，有，有fD例如，正弦函数例如，正弦函数 是有界函数是有界函数.sinyx因为，有常数因为，有常数 M = 1，,xR 使得使得sin1.xM 正弦函数正弦函数xysin xysin .:sin ,1, 1 .y yxxR1.1.4 复合函数复合函数,自变量自变量x,中间变量中间变量u,因变量因变量y ,f u 外层函数 x内层函数.,arcsinuy 例如例如1;ux arcsin(1).yx例例1 12( ),1, ( )1, ( ).xf xe xxxfx设求及其定义域22( )1,( )1 1.xxRxRxx 解的定义域为

6、实数集 ，且有 2( )1( ).xxf xfxee由函数的定义知：21( ).xfxeR且的定义域为实数集初等函数初等函数 由常数和基本初等函数经过有限多次的由常数和基本初等函数经过有限多次的四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子表示的函数可用一个式子表示的函数, 称为初等函数称为初等函数.微积分研究的主要对象是初等函数微积分研究的主要对象是初等函数. .1.2 函数的极限函数的极限1 函数极限的定义函数极限的定义2 极限四则运算法则极限四则运算法则3 复合函数的极限复合函数的极限lim1 .2.1极限概念极限概念 oxy1,0.yxxx x

7、1x0.x00 x1xlim. 0lim, lim,xxxf xAf xA一般地，记为.A其中 为实数或无穷小量、无穷大量无穷小量、无穷大量 的定义的定义的无穷小量的无穷小量. .即无穷小量是以零为极限的变量即无穷小量是以零为极限的变量. . 假设假设 ，则称函数，则称函数 是当是当 时时 lim0 xf x f xx 假设假设 ，则称函数，则称函数 是当是当 时时 0limxxf x f x0 xx的无穷大量的无穷大量. .即无穷大量是以即无穷大量是以 为极限的变量为极限的变量. . 例如例如, , 0sinlim0 xx.0sin时时的的无无穷穷小小是是当当函函数数xx1lim0,1xx1

8、.1xx函数是当时的无穷小量11lim.1xx 11.1xx函数是当时的无穷大量极限概念续）极限概念续）xysin x00limxsin x0 x0sin x0limx0.右极限右极限左极限左极限若函数的极限是一个有限数，则称函数的极限存在若函数的极限是一个有限数，则称函数的极限存在. .0limsinxxsin0左、右极限的定义左、右极限的定义假设假设 且且 时，函数时，函数 以以A A为极限，为极限， 0 xx f x0 xx假设假设 且且 时，函数时，函数 以以A A为极限，为极限， 0 xx f x0 xx则称则称A A 为函数为函数 在点在点 处的右极限处的右极限. .记为记为 f

9、x0 xx 0lim.xxfxA 0lim.xxfxA则称则称A A 为函数为函数 在点在点 处的左极限处的左极限. .记为记为 0 xx f x 0limxxf xA 0lim.xxf xA 0limxxf xA且且定理定理1极限不存在极限不存在极限概念的分类极限概念的分类 lim f x 0limxxf x limxf x 0limxxf x 0limxxf x 0limxxf x limxf x limxfx limxfx极限存在极限存在( ,)A( ,)A( ,)A( ,)A( ,)A ( ,)A注解注解4.若函数的极限存在，则其极限是惟一的若函数的极限存在，则其极限是惟一的.(2).

10、 函数的极限值仅与函数在自变量的极限点函数的极限值仅与函数在自变量的极限点附近的值有关！附近的值有关！(1). 一个极限问题由函数的极限和自变量的极一个极限问题由函数的极限和自变量的极限两个部分构成，函数的极限值依赖于自变量限两个部分构成，函数的极限值依赖于自变量的极限，因此函数的极限与自变量的极限有关！的极限，因此函数的极限与自变量的极限有关！(3). 函数在某点的极限存在的充分必要条件是函数在某点的极限存在的充分必要条件是函数在该点的左、右极限存在且相等，即函数在该点的左、右极限存在且相等，即1.2.2 极限的四则运算法则极限的四则运算法则 limlimlimlimlimlimlim,.f

11、 xg xf xg xf xg xcf xcf xc定理2 设限与存在，则(1)线性性，其中 为常数 1212limlimlim.c f xc g xcf xcg x limlimlimf xg xf xg x，极限法则续）极限法则续） (2)limlimlim.f x g xf xg x lim(3)lim,lim0.limf xf xg xg xg x其中 limlim,.f xf xR limlim, lim0lim0.f xf xf xf x且无穷小量与无穷大量的性质无穷小量与无穷大量的性质性质性质2 2 有限个无穷小量的积仍然是无穷小量有限个无穷小量的积仍然是无穷小量. .性质性质1

12、 1 有限个无穷小量的代数和仍然是无穷小量有限个无穷小量的代数和仍然是无穷小量性质性质3 3 有界量与无穷小量的积仍是无穷小量有界量与无穷小量的积仍是无穷小量. .性质性质4 4 无穷小量无穷小量 ( )( )的倒数是无穷大量的倒数是无穷大量. . 反之，无穷大量的倒数是无穷小量反之，无穷大量的倒数是无穷小量. .0例例3 322lim 322xxx求22lim 322xxx解22223lim2limlim2xxxxx23 22 2214. 00.xxx当时，多项式的极限等于它在点 处的函数值 101101,limlim.nnnnnnnnnxaxaPxa xa xaPxa xa xaP a即，

13、若则例例4 4342lim22xxx) 3(lim)42(lim222xxxx818例例5 5942lim23xxx)42(lim)9(lim323xxxx0100解解429lim23xxx942lim23xxx例例6 62211lim.2xxxx求2211lim2xxxx解111lim12xxxxx11lim2xxx11lim1lim2xxxx1.321lim20 xxx21lim10 xx00型例例7 7231lim.2xxxx求“”型2lim1xx 3lim2xxx 231lim2xxxx解23331lim2xxxxxx3211lim112xxxx1tx3020lim0.lim 12tt

14、ttt320lim12tttt例例8 83321lim2xxxx求3321lim2xxxx解333321lim2xxxxxx3212lim112xxx1tx3202lim12ttt3020lim 22.lim 12tttt“”型3lim 21xx 3lim2xxx 例例932lim.1xxxx求“”型1tx231limxxxx解23331limxxxxxx3211lim11xxxx320lim0.1tttt32lim1xxxx故231lim1xxxx. 2lim1xx 3limxxx 例例10sin2lim.xxx求,sin21,xRx 解 因为有1lim0.xx且所以sin2limxxx1l

15、imsin2xxx0.1.2.3 复合函数的极限复合函数的极限 00000,(1)lim,(2) lim.limlim.xxuuxxuuyf uuxxuf uAfxuxf uA定理3 设且则v两个重要极限两个重要极限0sin1l1im.xxx、1lim.12xxex、0“”型01 型例例11110sin2lim.xxx求0sin2limxxx解0sin2lim2uuuxu0sin2limuuu2.0sin2limxxx解法202sin coslimxxxx00sin2limlim cosxxxxx2.0“ ”型0例例1212 01sinlim,li0m.xxxxx可以证明：其中0tan2lim

16、.sin3xxx求0tan2limsin3xxx解0sin21limcos2sin3xxxx0sin21limcos2sin3xxxx2x2x330002sin211limlimlimsin332cos23xxxxxxxx2.30“ ”型0例例13 13 11lim.xxxx求11limxxxx解11limxxxxxx11limlimxxxxxxx1lim 1xxx. e1 型例例14141lim.1xxxx求1lim1xxxx解1(1) 1lim1xxxx11lim 11xxx11im(l11)1xxx1.e1 型 01limlim 1.xxxxex若，则幂指函数的极限幂指函数的极限 000

17、010lim,(2)lim.xxxxu xu xuv xv命题 设（ ）且 0limv xxxu x则 00limlimxxv xxxu x00.vu例例15152lim.1xxxx求2lim1xxxx解21lim 11xxx2111lim 1(1)xxxxx 2lim111lim 1(1)xxxxxx .e2111lim1(1)xxxxx21.3 函数的连续性函数的连续性定义定义性质性质函数连续的定义函数连续的定义设函数设函数)(xf在在0 x的邻域的邻域)(0 xU 内有定义内有定义, ,如果如果 )()(lim00 xfxfxx 那末就称函数那末就称函数)(xf在点在点0 x连续连续.

18、. 0000( )( ,(0)(),( );f xa xf xf xf xx若函数在内有定义且则称在处左连续点0000( ), ),(0)(),( ).f xx bf xf xf xx若函数在内有定义且则称在处右连续点00( )( ).f xxf xx在处连续在处既左连续又右连续例例1616.0, 0, 0, 0,1sin)(处处连连续续在在试试证证函函数数 xxxxxxf证证, 01sinlim0 xxx, 0)0( f又又),0()(lim0fxfx 由定义知由定义知.0)(处处连连续续在在函函数数 xxf例例1717.0, 0, 2, 0, 2)(连连续续性性处处的的在在讨讨论论函函数数 xxxxxxf解解)2(lim)(lim00 xxfxx2 )2(lim)(lim00 xxfxx2 .0)(处不连续处不连续在点在点故函数故函数 xxf 00limlim,xxfxfx因 0limxf x所以不存在.x2yxoy21122yx。.定义续）定义续） 在区间上每一点都连续的函数在区间上每一点都连续的函数, 叫做在该区叫做在该区间上的连续函数间上的连续函数, 或者说函数在该区间上连续或者说函数在该区间上连续.( , ), ( ) , .a bxaxbf xa b 如果函数在开区间