第三章 恒定电流的电场和磁场

1、13.1 3.1 恒定电流的电场恒定电流的电场（第一部分）（第一部分）3.2 3.2 磁感应强度磁感应强度3.3 3.3 恒定磁场的基本方程恒定磁场的基本方程3.4 3.4 矢量磁位矢量磁位3.5 3.5 磁偶极子磁偶极子3.6 3.6 磁介质中的场方程磁介质中的场方程 （第二部分）（第二部分）3.7 3.7 恒定磁场的边界条件恒定磁场的边界条件3.8 3.8 标量磁位标量磁位3.9 3.9 互感和自感互感和自感3.10 3.10 磁场能量磁场能量3.11 3.11 磁场力磁场力2 恒定电流的电场的基本特征恒定电流的电场的基本特征（第一部分）（第一部分） 磁感应强度与磁场强度磁感应强度与磁场强

2、度 恒定磁场的基本方程恒定磁场的基本方程 磁介质中的场方程磁介质中的场方程 （第二部分）（第二部分） 恒定磁场的边界条件恒定磁场的边界条件 自感与互感的计算自感与互感的计算 磁场能量与能量密度磁场能量与能量密度3 电流与电流密度的概念和计算方法电流与电流密度的概念和计算方法 电荷守恒定律电荷守恒定律/欧姆定律欧姆定律/焦耳定律焦耳定律 恒定电场的基本方程恒定电场的基本方程 电动势、漏电电导及接地电阻的概念和计算电动势、漏电电导及接地电阻的概念和计算 恒定电场的边界条件恒定电场的边界条件 静电比拟法静电比拟法4 电流：电流：电荷在电场作用下定向运动形成电电荷在电场作用下定向运动形成电 流，习惯上

3、规定正电荷运动的方向流，习惯上规定正电荷运动的方向 为电流的方向。为电流的方向。 恒定电流：恒定电流：若电流不随时间变化而变化若电流不随时间变化而变化 恒定电场：恒定电场：恒定电流的空间存在的电场恒定电流的空间存在的电场5一、电流强度（标量）（一、电流强度（标量）（A） 单位时间通过某导线截面的电荷量单位时间通过某导线截面的电荷量 dtdqtqit 0limi为时间的函数，若电荷流动的速度不变，称恒定电流为时间的函数，若电荷流动的速度不变，称恒定电流即直流电流即直流电流Idtdqi 二、电流密度（矢量）（二、电流密度（矢量）（A/m2）体电流密度体电流密度大小为大小为与正电荷运动方向垂直的单位

4、面积上的电流强度。与正电荷运动方向垂直的单位面积上的电流强度。方向为方向为正电荷运动的方向。正电荷运动的方向。 ndSdInSIJS 0lim如图，设通过如图，设通过 S的电流为的电流为I，该点处的电流密度为，该点处的电流密度为61、体电流密度、体电流密度ndSdInSIJS 0lim SSdJI与与I的关系的关系与与的关系的关系vJ 2、面电流密度、面电流密度ndldInlIJlS 0limvJS 3、线电流密度、线电流密度vnIJll 若电流仅分布在导体表面的一薄层内，引入面电流密度若电流仅分布在导体表面的一薄层内，引入面电流密度如果电流流过一根非常细的导线时，引入线电流密度如果电流流过一

5、根非常细的导线时，引入线电流密度与与S的关系的关系lIJ dl 与与I的关系的关系电流密度动态演示：电流密度动态演示：7 VSdVdtddtdqSdJ 电荷守恒的数学表达式（电流连续性方程的积分形式）电荷守恒的数学表达式（电流连续性方程的积分形式） VSdVtSdJ 电流连续性方程的微分形式电流连续性方程的微分形式 0 tJ 恒定电流场的基本方程之一：恒定电流场的基本方程之一：微分形式：微分形式： 积分形式：积分形式： 表明：无散表明：无散，即即电流密度电流密度矢量线是无起点无终点闭合曲线矢量线是无起点无终点闭合曲线0 J0 SSdJ电荷定恒定律：电荷定恒定律：任一封闭系统的电荷总量不变。即任

6、意任一封闭系统的电荷总量不变。即任意体积体积V内的电荷增量必定等于流入这个体积的电荷增量。内的电荷增量必定等于流入这个体积的电荷增量。8电流分类：电流分类： 传导电流：传导电流：指导体中的自由电子或半导体中的自由电指导体中的自由电子或半导体中的自由电荷在电场作用下作定向运动所形成的电流。如金属中、荷在电场作用下作定向运动所形成的电流。如金属中、电解液中的电流。电解液中的电流。 运流电流：运流电流：指带电粒子在真空中或气体中运动时形成指带电粒子在真空中或气体中运动时形成的电流。如真空管中的电流。的电流。如真空管中的电流。欧姆定律微分形式：欧姆定律微分形式：EJ 其中其中为电导率，单位：西门子为电

7、导率，单位：西门子/米（米（S/m） 恒定电场中，仅理想导体（恒定电场中，仅理想导体（ ）内才有：）内才有：静电场中，导体内有：静电场中，导体内有： 欧姆定律积分形式：欧姆定律积分形式：RIU 0E 0E 注意：注意：只适用于传导电流、电源外部，不适用于运流电流只适用于传导电流、电源外部，不适用于运流电流9如右图，考虑一横截面为如右图，考虑一横截面为S，长度为，长度为 ，电导率为，电导率为 的均匀导电媒质。该导电媒质横界面的均匀导电媒质。该导电媒质横界面S的总电流为：的总电流为： 电场电场E在长度在长度l方向上产生的电压降为：方向上产生的电压降为： 上两式与式上两式与式 相结合相结合得到导电媒

8、质中的电流得到导电媒质中的电流与电压的关系为：与电压的关系为： EJ 均匀导电媒质均匀导电媒质 10材材 料料 电导率电导率/(S/m) 铁铁(99.98%) 107 黄铜黄铜 1.56107 铝铝 3.55107 金金 3.10107 铅铅 5.55107 铜铜 5.80107 银银 6.20107 硅硅 1.5610-3 表表3-1 常用材料的电导率常用材料的电导率 11电动势：电动势：电源：电源：一种将其他形式的能量（机械的，化学的，热的等）转化为电能的装置。一种将其他形式的能量（机械的，化学的，热的等）转化为电能的装置。非静电力：非静电力：不是由不是由静止电荷产生的力静止电荷产生的力。

9、例如在电池内，非静电力指的是由化学。例如在电池内，非静电力指的是由化学 反应产生的使正、负电荷分离的化学力。反应产生的使正、负电荷分离的化学力。非库仑场：非库仑场：非静电力对电荷的影响等效为一个非保守电场非静电力对电荷的影响等效为一个非保守电场 ，只存在电源内部。，只存在电源内部。E 库仑场：库仑场：恒定分布的电荷产生的场，保守场恒定分布的电荷产生的场，保守场 ，同时存在电源内部和外部，同时存在电源内部和外部。电动势：电动势：电源内部搬运单位正电荷从负极到正极时非静电力所作的功。电源内部搬运单位正电荷从负极到正极时非静电力所作的功。ldEAB 电动势用总电场的回路积分表示：电动势用总电场的回路

10、积分表示：l dEES )(含电源的欧姆定律的微分形式：含电源的欧姆定律的微分形式：)(EEJ 电池作用原理电池作用原理12焦耳定律：焦耳定律：电流产生的热量跟电流、电阻和通电时间的电流产生的热量跟电流、电阻和通电时间的关系。即电流通过导体的热量跟电流的平方成正比，跟关系。即电流通过导体的热量跟电流的平方成正比，跟导体的电阻成正比，跟通过时间成正比。导体的电阻成正比，跟通过时间成正比。 ),(2SAJRtIQ 单位单位焦耳定律的微分形式：焦耳定律的微分形式： 2EEJp l S 证明：证明：当导体上电压为当导体上电压为U，电流为，电流为I时，功率为时，功率为 P = UI在导体中，沿电流线方向

11、取长度为在导体中，沿电流线方向取长度为l、截面为、截面为S的体的体积元，该体积无消耗的功率为积元，该体积无消耗的功率为当当V0时，取时，取P/V的极限，得导体内任一点的极限，得导体内任一点热功热功率密度率密度，即，即2EEJp PU IE l J SEJ V 20limVPpEJEV 或或13 接地：接地：将金属导体埋入地内，而将设备中需要接地的将金属导体埋入地内，而将设备中需要接地的部分与该导体连接。部分与该导体连接。 接地体或接地电极：接地体或接地电极：埋在地内的导体或导体系统。埋在地内的导体或导体系统。 接地电阻：接地电阻：电流由电极流向大地时所遇到的电阻。当电流由电极流向大地时所遇到的

12、电阻。当远离电极时，电流流过的面积很大，而在接地电极附远离电极时，电流流过的面积很大，而在接地电极附近，电流流过的面积很小，或者说电极附近的电流密近，电流流过的面积很小，或者说电极附近的电流密度最大，因此，接地电阻主要集中在电极附近。度最大，因此，接地电阻主要集中在电极附近。 跨步电压：跨步电压：人跨一步（约人跨一步（约0.8m）的两脚间的电压。如）的两脚间的电压。如果短路，大的电流流入大地时，接地电极附近地面两果短路，大的电流流入大地时，接地电极附近地面两点间电压可能达到相当大的数值。点间电压可能达到相当大的数值。14设经引线由设经引线由O点流入半球形电极的电流为点流入半球形电极的电流为I，

13、则距球心为，则距球心为r处的地中任一点的电流密度为：处的地中任一点的电流密度为： 则电场强度为：则电场强度为： rerIJ22 rerIE22 由于电流沿径向一直流出去，直至无穷远处由于电流沿径向一直流出去，直至无穷远处所以电极在大地中的电压为：所以电极在大地中的电压为： 故得接地电阻为：故得接地电阻为： 同理，全球接地电阻同理，全球接地电阻 接地电导接地电导 aaIrdEU212URIa14Ra aG4 例：求半球形电极的接地电阻例：求半球形电极的接地电阻 15减小接地电阻方法：减小接地电阻方法： 增大半径增大半径a 采用大块接地导体采用大块接地导体采用若干个具有一定粗细，一定长度的导体柱组

14、成的采用若干个具有一定粗细，一定长度的导体柱组成的接地系统接地系统采用多根细长导体辐射状散开平铺于地下。采用多根细长导体辐射状散开平铺于地下。 增大电导率增大电导率在接地电极附近的地质中灌入盐液或其他导电液体。在接地电极附近的地质中灌入盐液或其他导电液体。14Ra 结论：结论：当流入地面电流一定，电阻越小，电压越小，因当流入地面电流一定，电阻越小，电压越小，因此为了使人接近接地电极时更安全，此为了使人接近接地电极时更安全，应该减小接地电阻。应该减小接地电阻。电阻越小，接地仪器设备的外壳越接近大地的电位电阻越小，接地仪器设备的外壳越接近大地的电位16例：例：如图一半径为如图一半径为10cm的半球

15、形接地导体电极，电极平的半球形接地导体电极，电极平面与地面重合，已知土壤的导电率为面与地面重合，已知土壤的导电率为=10-2S/m。求：。求：1）接地电阻；）接地电阻；2）若有短路电流）若有短路电流100A流入地中，某人正以流入地中，某人正以0.5m的步距向的步距向接地点前进，前脚距半球中心点的距离为接地点前进，前脚距半球中心点的距离为2m，求此人的，求此人的跨步电压及土壤的损耗功率跨步电压及土壤的损耗功率解：解：接地电极的接地电阻为接地电极的接地电阻为11159220.01 0.1Ra 已知流入地中电流为已知流入地中电流为I，则在距求心，则在距求心r处的电场强度为处的电场强度为22IEr 跨

16、步电压跨步电压159.2OBABOAUEdrV 损耗功率损耗功率261.59 10PI RW17恒定电流场的基本性质：恒定电流场的基本性质：无散无旋场无散无旋场微分形式：微分形式： 积分形式：积分形式： 0 J0E 0 SSdJ0lE dl 20E 由于恒定电场的旋度为零，可以引入电位由于恒定电场的旋度为零，可以引入电位在均匀导体内部（电导率为常数），有在均匀导体内部（电导率为常数），有E 18 在两种介质在两种介质分界面分界面上，介质性质有上，介质性质有突变突变，电场也，电场也会突变会突变 边界条件：边界条件：场分量在界面上的变化规律场分量在界面上的变化规律 恒定电流场的边界条件：恒定电流场

17、的边界条件：分界面两边恒定电流产分界面两边恒定电流产生的电场突变所遵循的规律，称为静电场的边界生的电场突变所遵循的规律，称为静电场的边界条件条件 推导恒定电流场边界条件的依据推导恒定电流场边界条件的依据是恒定电流场方是恒定电流场方程的积分形式：程的积分形式：0SJ dS 0lE dl 19电流密度电流密度的法向分量的法向分量 在分界面上构造如图非常薄的柱形闭合面，由在分界面上构造如图非常薄的柱形闭合面，由 侧侧下下上上SdJSdJSdJSdJS由于由于h0 SJ dSJ dSJ dS上上下下又又S很小，所以很小，所以S上电流密度上电流密度可看成常数可看成常数210SJ dSJn SJn S 0

18、)(12 JJnnnJJ21 nn 2211 表明：表明：电流密度的法向分量在边界面两侧连续电流密度的法向分量在边界面两侧连续或或或或0SJ dS 20电场强度电场强度的切向分量的切向分量 在分界面上构造如右图狭长回路，由在分界面上构造如右图狭长回路，由0lE dl labcdbcdaE dlE dlE dlE dlE dllabcdE dlE dlE dl10200lE dlEllEll 0)(120 EEl21()0nEE ttEE12 表明：表明：电场强度的切向分量在边界面两侧是连续的电场强度的切向分量在边界面两侧是连续的 由于由于h0 又又l很小，所以很小，所以l上电场强上电场强度度可

19、看成常数可看成常数或或或或21恒定电场的边界条件动态演示：恒定电场的边界条件动态演示：21分界面上电场分界面上电场的方向的方向分析电场强度经过两种电介质界面时，其方向改变情况分析电场强度经过两种电介质界面时，其方向改变情况1、法线方向上：、法线方向上： 2、切线方向上：、切线方向上： nnJJ21 222111coscos EE ttEE21 2211sinsin EE 1122tantan 特殊情况：特殊情况：垂直分界面入射时：垂直分界面入射时：方向不发生改变，类似光折射方向不发生改变，类似光折射当当1 2 ：即第一种媒质为良导体，第二种媒质为不即第一种媒质为良导体，第二种媒质为不良导体时，

20、只要良导体时，只要1/2，得，得20，即在不良导体中，电力，即在不良导体中，电力线近似垂直于界面，可以将良导体的表面看作等位面线近似垂直于界面，可以将良导体的表面看作等位面说明：电场强度和电位移矢量方说明：电场强度和电位移矢量方向在经过分界面两边时方向将发向在经过分界面两边时方向将发生改变，改变量与媒质性质有关生改变，改变量与媒质性质有关22恒定电场（电源外）恒定电场（电源外）静电场（静电场（=0=0的区域的区域）0E 0E 0J 0D JE DE E E 20 20 12nnJJ 12nnDD 12ttEE 12ttEE UE dl UE dl SIJ dS SqD dS 2321SE dS

21、qCUE dl 21SE dSIGUE dl 恒定电场：恒定电场： 静电比拟法：静电比拟法：当某一特定的静电场问题的解已知时，当某一特定的静电场问题的解已知时，与其相应的恒定电场的解可以通过对偶量的代换直与其相应的恒定电场的解可以通过对偶量的代换直接得出。接得出。利用静电比拟法，直接由电容得到漏电导利用静电比拟法，直接由电容得到漏电导, , , ,EJ IG静电场：静电场：, , , ,ED qC漏电电导定义：漏电电导定义：两个导体之间的漏电流两个导体之间的漏电流I与它们之间与它们之间的电压的电压U的比值为该导体系统的漏电导，用的比值为该导体系统的漏电导，用G表示。而表示。而导体与大地之间的漏

22、电阻一般称为导体与大地之间的漏电阻一般称为接地电阻接地电阻。说明：说明：漏电导与形状、位置、介质有关，与漏电导与形状、位置、介质有关，与I和和U无关。无关。孤立导体与无穷远处的导体之间存在漏电导。孤立导体与无穷远处的导体之间存在漏电导。2425常见导体系统的电容常见导体系统的电容 平行板：平行板： 其中其中S：面积，：面积，d：距离。：距离。 同轴线：同轴线：其中其中L ：长度，：长度，a，b：内外导体内外半径：内外导体内外半径 平行双导线：平行双导线：其中其中L：长度，：长度，D：导线间距，：导线间距，d：导线直径。：导线直径。 同心球：同心球： 其中其中a，b：内外球半径。：内外球半径。

23、孤立导体：孤立导体： 其中其中a：球半径。：球半径。 dSC abLCln2 dDLC2ln ababC 4aC4 26由静电比拟法可行常见导体系统的漏电导由静电比拟法可行常见导体系统的漏电导 平行板：平行板： 其中其中S：面积，：面积，d：距离。：距离。 同轴线：同轴线：其中其中L ：长度，：长度，a，b：内外导体内外半径：内外导体内外半径 平行双导线：平行双导线：其中其中L：长度，：长度，D：导线间距，：导线间距，d：导线直径。：导线直径。 同心球：同心球： 其中其中a，b：内外球半径。：内外球半径。 孤立导体：孤立导体： 其中其中a：球半径。：球半径。 SGd 2lnLGba 2lnLG

24、Dd 4abGba 4Ga 27漏电导的计算方法漏电导的计算方法 从比拟法出发，利用从比拟法出发，利用C-G和的和的- -比拟关系，直接由比拟关系，直接由电容值得到对应的漏电导值。电容值得到对应的漏电导值。 从定义出发，设两导体之间的漏电流从定义出发，设两导体之间的漏电流I，求，求U值，得值，得GIGU lUE dl 假定假定IIJnS J UGJE E 282930ab r例例3-1 设同轴线的内导体半径为设同轴线的内导体半径为a 、外导体内半径、外导体内半径b，其，其间媒质的电导率为间媒质的电导率为，求同轴线单位长度的漏电电导。，求同轴线单位长度的漏电电导。解：解：漏电电流的方向是沿半径方

25、向从内导体到外导体，漏电电流的方向是沿半径方向从内导体到外导体，如令沿轴线方向单位长度从内导体流向外导体电流为如令沿轴线方向单位长度从内导体流向外导体电流为I，则媒质内任一点的电流密度和电场为则媒质内任一点的电流密度和电场为122rrLIIJeerLr 2rIEer 两导体间的电位差为：两导体间的电位差为：ln2baIbUEdra 漏电电导为：漏电电导为：02lnIGbUa 31例例3-2 一个同心球电容器的内、外半径为一个同心球电容器的内、外半径为a、b，其间媒，其间媒质的电导率为质的电导率为，求该电容器的漏电电导。，求该电容器的漏电电导。解：解：媒质内的漏电电流沿径向从内导体流向外导体，媒

26、质内的漏电电流沿径向从内导体流向外导体，设流过半径为设流过半径为r的任一同心球面的漏电电流为的任一同心球面的漏电电流为I，则媒，则媒质内任一点的电流密度和电场为质内任一点的电流密度和电场为24rIJer 24rIEer 内外导体间的电压为：内外导体间的电压为：114baIUEdrab 漏电电导为：漏电电导为：4IabGUba ab r3233 磁感应强度与磁场强度磁感应强度与磁场强度 恒定磁场的基本方程恒定磁场的基本方程 磁介质中的场方程磁介质中的场方程 恒定磁场的边界条件恒定磁场的边界条件 自感与互感的计算自感与互感的计算 磁场能量与能量密度磁场能量与能量密度34 恒定磁场：恒定磁场：磁场不

27、随时间变化而变化（如恒定电流磁场不随时间变化而变化（如恒定电流产生的磁场）。产生的磁场）。 磁通量：磁通量：垂直于某一面积所通过的磁力线的多少。垂直于某一面积所通过的磁力线的多少。 磁感应强度：磁感应强度：大小为穿过单位面积的磁通量。方向大小为穿过单位面积的磁通量。方向为磁力线的切线方向。为磁力线的切线方向。 特斯拉（特斯拉（T）单位太大，工程上常用高斯（）单位太大，工程上常用高斯（G）单位。）单位。1G=10-4T。 通电导线所受的力：通电导线所受的力：在磁场中垂直于磁场方向的通在磁场中垂直于磁场方向的通电导线，所受的磁场力（安培力）电导线，所受的磁场力（安培力）F=BIL（左手定（左手定则

28、）。则）。()BSWb 2(/)()BSWbmT 35 左手定则：左手定则：伸开左手，使大拇指跟其余四个手指垂伸开左手，使大拇指跟其余四个手指垂直，并且都跟手掌在一个平面内，把直，并且都跟手掌在一个平面内，把 手放入磁场中，手放入磁场中，让磁感线垂直穿入手心，并使伸开的四指指向电流让磁感线垂直穿入手心，并使伸开的四指指向电流的方向。那么，拇指的方向。那么，拇指 所指的方向，就是通电导线在所指的方向，就是通电导线在磁场中的受力方向。磁场中的受力方向。 磁场强度：磁场强度：在任何磁介质中，在任何磁介质中，磁场强度的大小磁场强度的大小为磁为磁场中某点的场中某点的磁感应强度磁感应强度B与同一点的与同一

29、点的磁导率磁导率的比值。的比值。方向为磁力线的切线方向。方向为磁力线的切线方向。(/)HBAm 36一、安培定律：一、安培定律：描述电流回路间的相互作用力的大小。描述电流回路间的相互作用力的大小。 安培定律指出：在真空中载有安培定律指出：在真空中载有电流电流I1的回路的回路C1对另一载有电对另一载有电流流I2的回路的回路C2的作用力为：的作用力为： 21311220124CCRRl dIl dIF 70410/H m 112212I dlI dlCC其其中中: 和: 和是是和和回路上的电流元矢量回路上的电流元矢量12RdldlRR 是是到到的的距距离离矢矢量量, , 0为真空中的磁导率为真空中

30、的磁导率Amperes law 37二、毕奥二、毕奥萨伐尔定律：萨伐尔定律：描述回路描述回路C1在在P点产生的磁感应强度点产生的磁感应强度将安培定律改写为：将安培定律改写为： 则回路则回路C1在在P点产生的磁感应强度为：点产生的磁感应强度为：单位特斯拉，简称特（单位特斯拉，简称特（T）或（）或（Wb/m2） 21311022124CCRRl dIl dIF 131104CRRl dIB 可理解为可理解为C1产生磁场，产生磁场，C2在磁场受力在磁场受力 38例例 判断下列各点磁感应强度的方向和大小判断下列各点磁感应强度的方向和大小+39按习惯按习惯“带撇号带撇号”表示源点，表示源点， “不带撇号

31、不带撇号”表示场表示场点点源点：源点：场点：场点：1r r 2r r 1dl dl 则线电流中：则线电流中：面电流中：面电流中：体电流中：体电流中： CRRlIdB304 SdRRrJBSS 30)(4 VdRRrJBV 30)(4 此三个公式作用：此三个公式作用：已知回路的电流分布可求磁感应强度已知回路的电流分布可求磁感应强度40 CRRl dIB304 21311022124CCRRl dIl dIF 由由可得电流元可得电流元Idl在外磁场在外磁场B中所受的力为：中所受的力为：而而BlIdFd 已知外磁场已知外磁场B，回路，回路C受到的力为：受到的力为： CBlIdF以速度以速度v运动的点

32、电荷运动的点电荷q在外磁场在外磁场B中受到的力为：中受到的力为：BvqF )(BvEqF 以速度以速度v运动的点电荷运动的点电荷q在外电磁场在外电磁场(E,B)中受到的力为：中受到的力为：洛仑兹力公式洛仑兹力公式41例：例：一根沿一根沿z轴放置长度为轴放置长度为2l的直导线通过的直导线通过z方向的电流为方向的电流为I。求其在周围产生的磁感应强度。求其在周围产生的磁感应强度。( , , )Pz Idz ll 解：解：选择柱坐标系，源点坐标选择柱坐标系，源点坐标为为(0,0,z)，场点坐标为，场点坐标为(,0, z)其中：其中：()zRezz e 根据毕奥根据毕奥-萨伐尔定律：萨伐尔定律：0032

33、44zRCCIdz eeIdlRBRR Re cot,csc zzR)cos(cos4sin4210021 IedeIB 21, 0 20IeB 034CIdzeR 由由若导线无限长，则若导线无限长，则42 有向曲面有向曲面S的磁通量：的磁通量： 闭合曲面闭合曲面S的磁通量：的磁通量： 磁通连续性原理（积分形式）：磁通连续性原理（积分形式）： 表明：表明：磁感应强度磁感应强度穿过任意闭合曲面的通量恒为零。即穿过任意闭合曲面的通量恒为零。即磁力线是连续的。磁力线是连续的。磁通连续性原理（微分形式）：磁通连续性原理（微分形式）： 表明：表明：磁感应强度磁感应强度是一个无散场，磁力线是连续的闭是一个

34、无散场，磁力线是连续的闭合曲线。合曲线。 SSdB SSdB0 SSdB0 B43证明磁通连续性原理证明磁通连续性原理以载流回路以载流回路C产生的磁感应强度为例产生的磁感应强度为例034CIdlRBR 034SSCIdlRB dSdSR 034CSIdlRdSR 31RRR 014CSIdldSR VSAdVA dS 014SCVIdlB dSdVR 0SB dS 由于由于由于由于=044000CCCSB dlIB dlIB dlJ dS 或或或或单根导线电流单根导线电流 积分形式：积分形式： 微分形式：微分形式： JB0 注意：注意：用安培环路定律求解磁场分布只适用于某些用安培环路定律求解磁

35、场分布只适用于某些呈轴呈轴对称分布对称分布的磁场的求解的磁场的求解 表明：表明：恒定磁场是有旋场，旋涡源为电流恒定磁场是有旋场，旋涡源为电流物理意义：物理意义：磁感应强度沿任意回路的环量等于真空磁导磁感应强度沿任意回路的环量等于真空磁导率乘以该回路包围的电流的代数和。率乘以该回路包围的电流的代数和。推导用斯托克斯定理推导用斯托克斯定理多根导线电流多根导线电流分布电流分布电流动画演示动画演示45 表明：表明：无散场，磁力线连续，无头无尾且不相交，磁无散场，磁力线连续，无头无尾且不相交，磁力线构成闭合回路；力线构成闭合回路；有旋场，电流是磁场的旋涡源。有旋场，电流是磁场的旋涡源。总结：真空中恒定磁

36、场的基本方程总结：真空中恒定磁场的基本方程积分形式：积分形式： 微分形式：微分形式： Il dBC0 JB0 0 SSdB0 B46例：例：一根沿一根沿z轴放置无限长直导线通过轴放置无限长直导线通过z方向的电流为方向的电流为I。用用安培环路定律安培环路定律求其在周围产生的磁感应强度。求其在周围产生的磁感应强度。 20IeB 解：解：取圆柱坐标系，由对称性可知，磁感应线是圆心在取圆柱坐标系，由对称性可知，磁感应线是圆心在轴线上的圆。沿磁感应线取半径为轴线上的圆。沿磁感应线取半径为的积分路径的积分路径C，依，依安掊环路定律安掊环路定律0CB dlI 02BI 与前面解法相比：与前面解法相比：用安培

37、环路定律求解用安培环路定律求解对称分布的电流产生的磁场要简单得多对称分布的电流产生的磁场要简单得多47例例3-5 半径为半径为a的无限长直导线，载有电流的无限长直导线，载有电流I，计算导体，计算导体内、外的磁感应强度。内、外的磁感应强度。解：解：取圆柱坐标系，取圆柱坐标系，z轴与导体中轴线重合。由对称性轴与导体中轴线重合。由对称性可知，磁感应线是圆心在导体中轴线上的圆。沿磁感可知，磁感应线是圆心在导体中轴线上的圆。沿磁感应线取半径为应线取半径为r的积分路径的积分路径C，依安掊环路定律得，依安掊环路定律得02CSB dlrBJ dS而而20zrae IaJra 2022IBrra 022IrBe

38、a 02BrI 02IBer 当当ra时时当当ra时时48J xyz例：例：内、外半径分别为内、外半径分别为a、b的无限长中空导体圆柱，导的无限长中空导体圆柱，导体内沿轴向有恒定的均匀传导电流，体电流密度为体内沿轴向有恒定的均匀传导电流，体电流密度为导体磁导率为导体磁导率为。求空间各点的磁感应强度。求空间各点的磁感应强度。J 解：解：电流均匀分布在导体截面上，呈轴对称分布，取圆电流均匀分布在导体截面上，呈轴对称分布，取圆柱坐标系，依安掊环路定律得柱坐标系，依安掊环路定律得在在rb 区域：区域：2202()BrJba 220()2JBbar CSB dlJ dS 49一、矢量磁位的引入一、矢量磁

39、位的引入二、库仑规范二、库仑规范0B ()0A BA 引入矢量磁位的意义：引入矢量磁位的意义：引入引入辅助函数辅助函数，可通过间接，可通过间接求解方法求解空间磁场分布，简化电磁问题求解。求解方法求解空间磁场分布，简化电磁问题求解。要求：要求：磁感应强度与矢量磁位满足一一对应关系磁感应强度与矢量磁位满足一一对应关系矢量磁位的任意性：矢量磁位的任意性：矢量磁位不是唯一确定的，它加上矢量磁位不是唯一确定的，它加上任意一个标量任意一个标量的梯度后，仍然表示同一个磁场的梯度后，仍然表示同一个磁场恒定磁场的矢量磁位恒定磁场的矢量磁位单位：特斯拉单位：特斯拉米米(Tm或或Wb/m)BA 若若则对于则对于AA

40、 有：有：AAAB 050AA 而而0AA 上式表明：上式表明： 是性质不同的两种矢量场，这意味着是性质不同的两种矢量场，这意味着满足满足AA 和和BAA 的的 有有很很多多库仑规范条件：库仑规范条件：必须引入新的限定条件，对矢量磁位进必须引入新的限定条件，对矢量磁位进行限定，这种新引入的限定条件称为库仑规范。行限定，这种新引入的限定条件称为库仑规范。由亥姆霍兹定理可知：由亥姆霍兹定理可知：矢量场的性质由其散度和旋度确矢量场的性质由其散度和旋度确定，对于矢量磁位，其旋度已确定定，对于矢量磁位，其旋度已确定(等于磁感应强度等于磁感应强度)，只须对其散度进行限定即可唯一确定。只须对其散度进行限定即

41、可唯一确定。在恒定磁场中一般采用库仑规范条件，即令在恒定磁场中一般采用库仑规范条件，即令0A 注意：注意：规范条件是人为引入的限定条件规范条件是人为引入的限定条件51三、矢量磁位的求解三、矢量磁位的求解矢量磁位满足的方程矢量磁位满足的方程由矢量恒等式：由矢量恒等式：应用库仑规范应用库仑规范0A 磁矢位的拉普拉斯方程：磁矢位的拉普拉斯方程：BA 0BJ 0AJ 2()AAA 20()AAJ 20AJ 20A 2222xxyyzzAeAeAeA 泊松方程泊松方程在直角坐标系中，可以写成对各个分量的运算，即在直角坐标系中，可以写成对各个分量的运算，即2为矢量拉普拉斯算符为矢量拉普拉斯算符5204VJ

42、AdVR 写成矢量形式：写成矢量形式：体电流：体电流：面电流：面电流：线电流：线电流：04SSJAdSR 04lIdlAR 202020 xxyyzzAJAJAJ VzzVyyVxxdVRJAdVRJAdVRJA 444000 CSSl dASdASdB磁通计算公式：磁通计算公式：写成分量形式：写成分量形式： 对矢量磁位的说明：对矢量磁位的说明：矢量磁位的方向与电流密度矢量的方向相同矢量磁位的方向与电流密度矢量的方向相同引入矢量磁位可以大大简化磁场的计算引入矢量磁位可以大大简化磁场的计算 53例例3-6 求长度为求长度为l的载流直导线的磁矢位的载流直导线的磁矢位解：解：取圆柱坐标系，磁矢位只有

43、取圆柱坐标系，磁矢位只有z分量。分量。/201 22224()lzlIdzArzz 1 22201 222( 2)( 2)ln4( 2)(2)lzlzrIlzlzr 1 22201 2222( 2)ln42(2)zllrIAllr 200lnln42zIIllArr当当lz时时当当lr时时zzz OR r( , , )rz 2l2l 54当当l时，上式为无穷大。这是因为当电流分布在时，上式为无穷大。这是因为当电流分布在无限区域时，不能把无穷远处作为磁矢位的参考点，无限区域时，不能把无穷远处作为磁矢位的参考点，而以上的计算均基于磁矢位的参考点在无穷远处。实而以上的计算均基于磁矢位的参考点在无穷远

44、处。实际上，当电流分布在无限区域时，一般指定一个磁矢际上，当电流分布在无限区域时，一般指定一个磁矢位的参考点，就可以使磁矢位不为无穷大。当指定位的参考点，就可以使磁矢位不为无穷大。当指定r=r0 处为磁矢位的零点时，可得出处为磁矢位的零点时，可得出 02zAIBAeerr 00ln2zIrAr 利用上式，用圆柱坐标旋度公式，可求出利用上式，用圆柱坐标旋度公式，可求出55补充：补充： 建立非齐次方程直接求解法建立非齐次方程直接求解法若已知空间电流密度矢量分布，则可建立方程：若已知空间电流密度矢量分布，则可建立方程：0BJ 0BJ 2()BBB 20()BBJ 20BJ 直接求解法在理论上可以求出

45、空间磁场分布，但计直接求解法在理论上可以求出空间磁场分布，但计算十分复杂，很难得出解析解，因此一般不采用此法算十分复杂，很难得出解析解，因此一般不采用此法小结：求解磁场的方法小结：求解磁场的方法场源积分法（毕奥场源积分法（毕奥-萨伐尔定律）萨伐尔定律）非齐次方程直接求解法非齐次方程直接求解法安培环路定律安培环路定律通过矢量磁位间接求解通过矢量磁位间接求解05657磁偶极子定义：磁偶极子定义：一个载流的小闭和圆环称为磁偶极子。一个载流的小闭和圆环称为磁偶极子。 解释：解释：永久磁针的两端分别存在正磁荷和负磁荷。永久磁针的两端分别存在正磁荷和负磁荷。定义式为：定义式为： zeIaSIm2 磁矩：磁

46、矩：大小为电流环的面积与电流的乘积大小为电流环的面积与电流的乘积 方向与环路的法线方向一致。方向与环路的法线方向一致。证实：证实：在磁场的实验研究中已证实，一微小的永久磁针周在磁场的实验研究中已证实，一微小的永久磁针周围的磁场分布与微小电流环周围的磁场分布相同。围的磁场分布与微小电流环周围的磁场分布相同。对偶：对偶：磁偶极子及其磁场与电偶极子及其电场是对偶的磁偶极子及其磁场与电偶极子及其电场是对偶的58载流圆环磁矢位载流圆环磁矢位本问题的电流分布具有对称性，所以磁矢位在球面坐本问题的电流分布具有对称性，所以磁矢位在球面坐标系中只有标系中只有分量，并只是分量，并只是r和和的函数。故将场点选的函数

47、。故将场点选取在取在xoz平面。平面。200cos4IaAdR 1 22221)ar rrrr |ra 221 2(2)Rrar r 式中：式中：zxyOR r r 59又：又：如果如果ra，则，则1 2221121)ar rRrrr 1 22121)r rrr 211r rrr (sincos ),(cossin )xzxyrr eera ee 所以：所以：111sincosaRrr积分后得出积分后得出20022sinsin()44mI aArarr 03()4mrArar 6003()4mrArar 球面坐标系中求旋度得球面坐标系中求旋度得2sinsinsinrreeerrrBArArAr

48、A 03(2cossin )4rmeer 61电偶极子电偶极子磁偶极子磁偶极子304p rr 302cossin4rpEeer 03()4mrArar 03(2cossin )4rmBeer 2、存在对偶关系。、存在对偶关系。01pE 0mB 比较：比较：1、在远离偶极子处，磁偶极子和电偶极子的场、在远离偶极子处，磁偶极子和电偶极子的场分布是相同的，但在偶极子附近，二者场分布不同。分布是相同的，但在偶极子附近，二者场分布不同。引申：引申：磁力线是闭合的，电力线是间断的。磁力线是闭合的，电力线是间断的。62磁介质的分类：磁介质的分类： 顺磁质：磁介质中磁场增强顺磁质：磁介质中磁场增强r1如：锰，

49、铝，氧气，氮气如：锰，铝，氧气，氮气 抗磁质：磁介质中磁场减弱抗磁质：磁介质中磁场减弱r1如：铁，镍，钴如：铁，镍，钴 现在将一个长螺线管通电流现在将一个长螺线管通电流I0，造成一个均匀磁场，造成一个均匀磁场 B0，将磁介质充满磁场（保持电流不变）。实验发现：各种将磁介质充满磁场（保持电流不变）。实验发现：各种磁介质中的磁场有的减弱，磁介质中的磁场有的减弱， 有的加强。有的加强。均匀各向同性介均匀各向同性介质充满磁场所在空间时，有：质充满磁场所在空间时，有： 磁介质定义：磁介质定义：磁场作用下磁化，并影响磁场分布的物质磁场作用下磁化，并影响磁场分布的物质 0B 0rBB 63磁介质磁化的有关概

50、念：磁介质磁化的有关概念： 分子电流及磁矩分子电流及磁矩电子绕核运动，形成分子电流电子绕核运动，形成分子电流分子电流将产生微观磁场分子电流将产生微观磁场分子电流的磁特性可用分子磁矩表示分子电流的磁特性可用分子磁矩表示 顺磁质的磁化顺磁质的磁化磁化前，分子磁矩取向杂乱无章，磁介质宏观上无任磁化前，分子磁矩取向杂乱无章，磁介质宏观上无任何磁特性何磁特性外加磁场时：大量分子的分子磁矩取向与外加磁场趋外加磁场时：大量分子的分子磁矩取向与外加磁场趋于一致，宏观上表现出磁特性。于一致，宏观上表现出磁特性。 磁化现象：磁化现象：磁介质在外磁场作用下，产生感应磁矩，磁介质在外磁场作用下，产生感应磁矩，产生二次

51、磁场，叠加于原场之上，使磁场发生变化。产生二次磁场，叠加于原场之上，使磁场发生变化。磁化结果使介质中合成磁场可能减弱，也可能增强。磁化结果使介质中合成磁场可能减弱，也可能增强。磁化现象动态显示磁化现象动态显示64 磁化强度磁化强度描述介质磁化的程度，等于单位体积内的分子磁矩，即描述介质磁化的程度，等于单位体积内的分子磁矩，即0limVmMV N VmMNmV 若若V内每个分子内每个分子的磁矩相同，单位的磁矩相同，单位体积内分子数为体积内分子数为N 磁介质被磁化后，内部和表面会出附加电流，称这种磁介质被磁化后，内部和表面会出附加电流，称这种电流为磁化电流（束缚电流）电流为磁化电流（束缚电流） 体

52、磁化电流：内部出现的附加电流体磁化电流：内部出现的附加电流 面磁化电流：表面出现的附加电流面磁化电流：表面出现的附加电流mJM mSJMn 磁化电流动态显示磁化电流动态显示媒质表面外法向媒质表面外法向6566证明：证明：体积元为体积元为V的磁介质产生的磁矢位为的磁介质产生的磁矢位为03( )4M rVRAR 全部磁介质产生的磁矢位为全部磁介质产生的磁矢位为03( )4VM rVRAdVR 014VMdVR SR r r Vn 0044VVMMAdVdVRR VSFdVFdS 0044VSMMnAdVdSRR mJM mSJMn 利用恒等式利用恒等式利用恒等式利用恒等式()AAA 67例例3-7

53、 半径为半径为a、高为、高为L的磁化介质柱，磁化强度为的磁化介质柱，磁化强度为M0,求磁化体电流和磁化面电流。求磁化体电流和磁化面电流。解：解：取圆柱坐标系的取圆柱坐标系的z轴与磁介质柱的中轴线重合，磁轴与磁介质柱的中轴线重合，磁介质的下底面位于介质的下底面位于z=0处，上底面位于处，上底面位于z=L处。处。 00mzJMM e 00mSzzJMnM ee 00mSzzJMnM ee00mSzrJMnM eeM e 在界面在界面z=0上上在界面在界面z=L上上在界面在界面r=a上上z0M 68在磁介质中，将真空中的安培环路定律修正为：在磁介质中，将真空中的安培环路定律修正为：由于由于 CCl

54、dMIl dB00 将上式改写为：将上式改写为： 令：令： 真空中与磁介质中统一形式的安培环路定律真空中与磁介质中统一形式的安培环路定律积分形式：积分形式： Il dHC 微分形式：微分形式： JH MJm SdJJIIl dBSmCm )()(00 Il dMBC 0 MBH 0 磁场强度（辅助物理量）磁场强度（辅助物理量）单位为单位为A/m69)(0MHB 各向同性各向同性/各向异性；线性各向异性；线性/非线性；均匀非线性；均匀/非均匀非均匀对于线性各向同性的磁介质：对于线性各向同性的磁介质： HMm HHHMHBrm 000)1()(r：介质的相对磁导率介质的相对磁导率根据根据 与与 的

55、关系可将磁介质分为：的关系可将磁介质分为： M H 本构关系：本构关系： 和和 的关系，表示磁介质的磁化特性的关系，表示磁介质的磁化特性 H B m为磁化率，为无量纲量，顺磁质为正，抗磁质为负为磁化率，为无量纲量，顺磁质为正，抗磁质为负：介质的磁导率介质的磁导率铁磁材料：铁磁材料：BH和和的关系是非线性的，并且的关系是非线性的，并且BH不不是是的单值函数，会出现磁滞现象的单值函数，会出现磁滞现象70磁滞现象：磁滞现象：指铁磁物质磁化状态的变化总是落后于外加指铁磁物质磁化状态的变化总是落后于外加磁场的变化，在外磁场撤消后，铁磁质仍能保持原有的磁场的变化，在外磁场撤消后，铁磁质仍能保持原有的部分磁

56、性部分磁性OBHACDB.EF.HCBs.BrHs.初始磁初始磁化曲线化曲线Br剩磁剩磁.HsBs. 饱和磁感应强度饱和磁感应强度矫顽力矫顽力HC磁滞回线磁滞回线71微分形式：微分形式： 积分形式：积分形式： 磁矢位的微分方程：磁矢位的微分方程：在介质中同样定义磁矢位：在介质中同样定义磁矢位： 在线性均匀各向同性介质中，采用库仑规范：在线性均匀各向同性介质中，采用库仑规范： 0H JH HB 0SH dS SCSdJl dHAB 0 AJA 2基本性质：基本性质：无散场。磁力线连续，无头无尾且不相交。无散场。磁力线连续，无头无尾且不相交。有旋场。电流是磁场的旋涡源，磁力构成闭合回路。有旋场。电

57、流是磁场的旋涡源，磁力构成闭合回路。72例例3-8 同轴线内导体半径为同轴线内导体半径为a、外导体内半径为、外导体内半径为b，外半，外半径为径为c，设内外导体分别流过反向的电流，设内外导体分别流过反向的电流I，两导体之间，两导体之间介质的磁导率为介质的磁导率为，求各区域，求各区域22IrHea abcHBM解：解：如无特别声明，对良导体（不包括铁等磁性物质）如无特别声明，对良导体（不包括铁等磁性物质）一般取磁导率一般取磁导率0 ，因同轴线无限长，则其磁场沿轴线无，因同轴线无限长，则其磁场沿轴线无变化，该磁场只有变化，该磁场只有分量，且其大小只是分量，且其大小只是r的函数。的函数。当当ra时时0

58、22IrBea 0M 2IHer 当当arb时时2IBer 002IMer 22222IcrHer cb 当当bc时，全为零时，全为零73静电场的基本方程（真空中和介质中）静电场的基本方程（真空中和介质中） D SD dSq 0lD dl 0D 积分形式：积分形式： 微分形式：微分形式： DE 静电场基本性质：静电场基本性质：有散无旋场有散无旋场恒定电流产生的电场的基本方程（真空中和介质中）恒定电流产生的电场的基本方程（真空中和介质中） 0J 0SJ dS 0lE dl 0E 积分形式：积分形式： 微分形式：微分形式： JE 恒定电流场基本性质：恒定电流场基本性质：无散无旋场无散无旋场74恒定

59、磁场的基本方程（真空中和介质中）恒定磁场的基本方程（真空中和介质中） 恒定磁场基本性质：恒定磁场基本性质：无散有旋场无散有旋场微分形式：微分形式： 积分形式：积分形式： 0H JH HB 0SH dS SCSdJl dH例：例：判断矢量场的性质判断矢量场的性质?F?F ?F?F ?F?F =0=0=0 0 0=0750SB dS SH dlI 在两种在两种介质分界面上介质分界面上，介质性质有突变，介质性质有突变，磁场将磁场将发生突变发生突变 磁场的边界条件：磁场的边界条件：分界面两边磁场突变所遵循的分界面两边磁场突变所遵循的规律，称为磁场的边界条件规律，称为磁场的边界条件 推导磁场边界条件的依

60、据推导磁场边界条件的依据是磁场方程的积分形式是磁场方程的积分形式76磁感应强度磁感应强度的法向分量的法向分量 在分界面上构造如图非常薄的柱形闭合面，由在分界面上构造如图非常薄的柱形闭合面，由由于由于h0 SB dSB dSB dS上上下下又又S很小，所以很小，所以S上磁感应强度上磁感应强度可看成常数可看成常数210SB dSBn SBn S 21()0nBB 12nnBB 表明：表明：磁感应强度的法向分量在边界面两侧连续磁感应强度的法向分量在边界面两侧连续或或0SB dS 侧侧下下上上SdBSdBSdBSdBS77磁场强度磁场强度的切向分量的切向分量 在分界面上构造如右图狭长回路，由在分界面上