双曲线简单几何性质

1、双曲线的简单几何性质 方正一中 马云成 教学目标：使学生掌握双曲线的范围、对称性、顶点、渐近线等几何性质。用双曲线的方程去研究其几何性质，进一步反应了解析几何的特点，并用图像帮助理解双曲线的几何性质，解决一些相关问题。能力目标：通过类比椭圆的简单几何性质的方法来研究双曲线的简单几何性质，在老师引导下让学生积极讨论、归纳，培养学生的观察、研究能力，增强他们的自信心。情感目标：培养学生对待知识的科学态度和探索精神，而且能够运用运动的、变化的观点分析理解事物。教学重点：双曲线的简单几何性质。教学难点：渐近线的求法及理解。教学流程：(一)创设情境我们知道，椭圆和双曲线同属于一类-都为圆锥曲线，那么研究

2、的方法方式应该是大同小异的。类比椭圆，我们今天一起来研究一下双曲线的简单几何性质。 T:为了能够对双曲线的简单几何性质有一个更为全面的认识，首先来复习一下前面所学的只是和内容。T:双曲线有几个标准方程？T:分焦点在轴和焦点在轴上两种情况。T:当点在轴上时，双曲线的大致图像呈现为这样一种趋势吧！ T:再来回想一下，椭圆我们研究了它的哪些焦点几何性质啊？(T, S)研究了范围，对称性，顶点以及离心率四个方面的性质。T:类比椭圆，你认为应该研究双曲线的哪些性质？应如何研究这些性质？（二）新课讲解T:在没有办法画出双曲线较为精确的图像之前，我们只能够利用双曲线的标准方程及这个草图来研究双曲线的几何性质

3、T:不妨以焦点坐标在轴上的标准方程为例，。1范围：T:由标准方程可得，即，所以或，不难发现：|Y|随|x|的增大而增大。这说明双曲线应始终分居在直线x=a和x=-a的外侧并无限伸展。而在（-a， a）之间没有图象，这与椭圆是封闭曲线有很大的差别。2.对称性：T:请同学们观察一下这个草图，它具不具有对称性啊 ？给我们直观上的感觉它应该是一个关于对称轴和原点对称的吧？T:那该怎样来验证它呢T:要证明它关于对称轴和原点对称，只需要考察双曲线上任意一点（x ，y）关于对称轴和原点对称对称的点是否在标准方程上即可。T:因此，只需考察点（x，-y）（-x，y）（-x，-y）。T:请同学们自己验证这些点满步

4、满足标准方程？T:不难发现，它们都是满足标准方程的，在根据点（x ，y）的任意性，进而说明，双曲线关于对称轴和原点对称。T:其中坐标轴（轴、轴）是双曲线的对称轴，原点是双曲线的对称中心.双曲线的对称中心叫做双曲线的中心.3顶点T:观察图形，双曲线和对称轴x轴有 交点吧？设为A1 ,A2。.在椭圆里，我们把椭圆与对称轴的交点叫椭圆的顶点。在这里我们仍然把双曲线与对称轴x轴的交点A1 ,A2.叫做双曲线的两个顶点。T:那么坐标应为多少？T:只需将标准方程中，令得 即可，故它与轴有两个交点的坐标分别为，我们把双曲线的两个顶点间的线段叫做双曲线的实轴，把实轴在长度叫做双曲线的实轴长，因此，实轴长是2.

5、而把实轴长的一半.叫做实半轴长。T:对于方程而言，令得，这个方程没有实数根，说明双曲线和轴没有交点。但我们仍然把下面两个特殊点做在y轴上，由于这两个点并不是双曲线与对称轴y轴的交点，因此，我们不能把这两个点叫做双曲线的顶点。但这两个点在双曲线中也有非常重要的作用 把线段叫做双曲线的虚轴，虚轴长是，把虚轴长的一半b叫做双曲线的虚半轴长。T:在这里值得注意的是，应该与椭圆完全区分开来。双曲线只有两个顶点，而椭圆有4个顶点，更不能把双曲线的虚轴与椭圆的短轴混淆 T:以上三个性质，椭圆和双曲线都是具有的。对于椭圆来说，学了这三个性质之后就可以画出任意标准方程的草图了，但双曲线仅靠这三个性质是不能够较为

6、简单，快捷的画出他的草图的。这是为什么呢？在性质1里说了，|Y|随|x|的增大而增大，这种变化趋势有多快？有没有个限制的条件？是|x|变化较大时，|y|才很大；还是|x|变化较小时，|y|就很大？知不知道啊？为了寻求这个条件，我们一起来看一下双曲线具有而椭圆不具有的一个几何性质.渐近线4渐近线T:过双曲线的两顶点，作轴的平行线，经过作轴的平行线，四条直线围成一个矩形 矩形的两条对角线所在直线方程是。T:下面我们就要来说明一个事实，那就是板书：随着|x|的无限增大，双曲线无限接近直线T:也就是要证明随着双曲线各支向外无限伸展，双曲线逐渐接近直线。T:为了证明的方便。我们只证明第一象限的情况，其它

7、象限可以利用其对称性加以说明。T:首先画出第一象限的图像T:对于第一象限而言“无限接近”包含了两个方面的含义：第一，双曲线始终在直线的下方；第二，在无穷远处，双曲线上的点到直线的距离无限的接近于0.因此，证明也要从这么两个方面入手。证明过程（首先来做一下交点的理论分析。在x轴的无穷远处任做一条直线平行于y轴T:这也意味着在第一象限双曲线图像永远在的图像的下方随着的增大而无限靠近，其它象限可以利用其对称性加以说明。我们把这两条直线称为双曲线的渐近线，这是圆锥曲线中双曲线所特有的几何性质.：渐近线的求法： T:或：等轴双曲线：T:当时 渐近线为：。实轴和虚轴等长，我们把这样的双曲线叫做等轴双曲线

8、（结合图形说明：时，双曲线方程变成(或，它的实轴和虚轴都等于2a(2b)，这时直线围成正方形，渐近线方程为 它们互相垂直且平分双曲线的实轴和虚轴所成的角)：渐近线的作用： T:（1）可以帮助我们掌握双曲线的变化趋势。（2）帮助我们做草图（补充说明做法）。（三）例题讲解：例1：求双曲线的顶点，实半轴长，虚半轴长渐近线并作简图。（分析：此方程不是双曲线的标准方程，应先将方程转化成标准形式） 解：双曲线方程为，所以a=4，b=3：顶点坐标为（3，0），（-3，0），实轴长为2a=8，虚轴长为2b=6，渐近线方程为。 (四)小结：1.本堂课的主要内容为：当双曲线的焦点在x轴时的范围、对称性、顶点、渐近线方程、渐近