微积分的基本定理

1、微积分的基本定理微积分的基本定理一、复习引入一、复习引入1205(2)3tdt12013x dx1.1.定积分的定义定积分的定义: :2112.?dxx 由由定定积积分分的的定定义义可可以以计计算算吗吗 niinbafnabdxxf1lim xxf1 解解：令令（1 1）分割）分割 ,121个个分分点点上上等等间间隔隔的的插插入入，在在区区间间 n 个个小小区区间间等等分分成成，将将区区间间n21 , 2 , 11 ,11ninini 每每个个小小区区间间的的长长度度为为 nix1nni111 （2）近似代替）近似代替 , 2 , 111ninii 取取211dxx 试试一一试试：利利用用定定

2、积积分分的的定定义义计计算算（3）求和）求和xnifSdxxnin 121111 ninni11111 niin111 12121111nnnn怎么求怎么求探究新知：探究新知：tOy tyy BniSSSSS 21a aybSa(t )0t1it 1it nb(t )nt 1t2S1S2 iS nS1h2hihnhA by aybyS ttvSii 1 吗吗？表表示示，你你能能分分别别用用内内的的位位移移为为设设这这个个物物体体在在时时间间段段的的速速度度为为在在任任意意时时刻刻由由导导数数的的概概念念可可知知，它它是是运运动动的的物物体体的的运运动动规规律律如如图图：一一个个作作变变速速直直

3、线线S,tvtySbatytvttyy 1 itynab ttyi 1iihS tDPC tan ttyi 1D PC aybyS badtty tyy ay byniSSSSS 21 111 iiiitynabttyttvS ttvSniin 11lim niintty11lim dttvba aybydttySba 二、二、微积分基本定理微积分基本定理 牛顿牛顿莱布尼兹公式莱布尼兹公式 ,f xa bF xf x 如如果果是是区区间间上上的的连连续续函函数数并并且且则则 bafx dxF bF a bbaafx dxF xF bF a 或或 的的导导函函数数叫叫做做的的原原函函数数，叫叫做

4、做xxfxfxFF牛顿莱布尼茨公式沟通了导数与积分之间的关系牛顿莱布尼茨公式沟通了导数与积分之间的关系求定积分问题转化为求原函数的问题求定积分问题转化为求原函数的问题.微积分的基本定理微积分的基本定理nx1nnx 1x1lnxasin xcos xsin x cos xxexalnxaaxec0函数函数f(x)导函数导函数f(x)回顾：基本初等函数的导数公式回顾：基本初等函数的导数公式logaxln x被积被积函数函数f(x)一个原一个原函数函数F(x)新知：基本初等函数的原函数公式新知：基本初等函数的原函数公式ccxnx111nxn sin xcos x sin xcos xxalnxaax

5、exe1xln|x微积分的基本定理微积分的基本定理 .dxx1x22;dxx11:131221计算下列定积分计算下列定积分例例 ,x1xln1因为解2121|xlndxx1所以.2ln1ln2ln ,x1x1, x2x222因为dxx1xdx2dxx1x23123131231312x1|x.32213119 120212212113212332141_xtdtxdxxxxdxedx 1322ln 921ee 练习练习1:微积分的基本定理微积分的基本定理例例2 2 求求 .)1sincos2(20 dxxx原式原式20(2sincos)|xxx.23 例例3 3 设设 , 求求 . 215102

6、)(xxxxf 20)(dxxf解解解解 102120)()()(dxxfdxxfdxxf在在2 , 1上上规规定定当当1 x时时，5)( xf, 102152dxxdx原原式式. 6 xyo12微积分的基本定理微积分的基本定理 301141222.:cos;.xxdxdxx 例例计计算算下下列列定定积积分分 11222sincos,xx 解解因因为为001222cossin|xdxx 所所以以1120022sinsin. 212222,lnxxxx因因为为3331111122xxdxdxdxxx3311222|lnxx 8262 322 32222.lnlnln微积分的基本定理微积分的基本定

7、理22005:sin,sin,sin.xdxxdxxdx例计算下列定积分00|xcosdxxsin, xsinxcos因为解 ;20coscos22|xcosdxxsin ; 2cos2cos202|xcosdxxsin0 0 .00cos2cos微积分的基本定理微积分的基本定理问题：问题：通过计算下列定积分，进一步说明其定通过计算下列定积分，进一步说明其定积分的几何意义。积分的几何意义。通过计算结果能发现什么结通过计算结果能发现什么结论？试利用曲边梯形的面积表示发现的结论论？试利用曲边梯形的面积表示发现的结论2sin xdx20sin xdx微积分的基本定理微积分的基本定理我们发现：我们发现

8、：（）定积分的值可取正值也可取负值，还可以是（）定积分的值可取正值也可取负值，还可以是0 0；（2 2）当曲边梯形位于）当曲边梯形位于x x轴上方时，定积分的值取正值；轴上方时，定积分的值取正值；（3 3）当曲边梯形位于）当曲边梯形位于x x轴下方时，定积分的值取负值；轴下方时，定积分的值取负值；（4 4）当曲边梯形位于）当曲边梯形位于x x轴上方的面积等于位于轴上方的面积等于位于x x轴下方轴下方的面积时，定积分的值为的面积时，定积分的值为0 0得到定积分的几何意义：得到定积分的几何意义：曲边梯形面积的曲边梯形面积的。微积分的基本定理微积分的基本定理的解析式求且点是一次函数，其图象过、已知)

9、(, 1)(),4 , 3()(110 xfdxxfxf微积分与其他函数知识综合举例：微积分与其他函数知识综合举例：微积分的基本定理微积分的基本定理的最大值。求、已知)(,)2()(21022afdxxaaxaf微积分的基本定理微积分的基本定理练一练：练一练：已知已知f(x)=ax+bx+c,且且f(-1)=2,f(0)=0,的值求cbadxxf, 2)(10微积分的基本定理微积分的基本定理小结小结1.微积分基本定理微积分基本定理 bbaafx dxF xF bF a 被积被积函数函数f(x)一个原一个原函数函数F(x)2.基本初等函数的原函数公式基本初等函数的原函数公式ccxnx111nxn

10、 sin xcos x sin xcos xxalnxaaxexe1xln|x ,f xa bF xf x 如如果果是是区区间间上上的的连连续续函函数数且且则则作业：作业：P55 A组组 1 B组组 1、3微积分的基本定理微积分的基本定理牛顿牛顿 牛顿，是英国伟大的数学家、物理学家牛顿，是英国伟大的数学家、物理学家、天文学家和自然哲学家。、天文学家和自然哲学家。16421642年年1212月月2525日生于英格兰林肯郡格兰瑟姆附近的日生于英格兰林肯郡格兰瑟姆附近的沃尔索普村沃尔索普村,1727,1727年年3 3月月2020日在伦敦病逝日在伦敦病逝。 牛顿牛顿16611661年入英国剑桥大学三

11、一学年入英国剑桥大学三一学院，院，16651665年获文学士学位。随后两年在年获文学士学位。随后两年在家乡躲避瘟疫。这两年里，他制定了一家乡躲避瘟疫。这两年里，他制定了一生大多数重要科学创造的蓝图。生大多数重要科学创造的蓝图。16671667年年回剑桥后当选为三一学院院委，次年获回剑桥后当选为三一学院院委，次年获硕士学位。硕士学位。16691669年任卢卡斯教授直到年任卢卡斯教授直到17011701年。年。16961696年任皇家造币厂监督，并年任皇家造币厂监督，并移居伦敦。移居伦敦。17031703年任英国皇家学会会长年任英国皇家学会会长。17061706年受女王安娜封爵。他晚年潜心年受女王

12、安娜封爵。他晚年潜心于自然哲学与神学。于自然哲学与神学。 牛顿在科学上最卓越的贡献是微积分牛顿在科学上最卓越的贡献是微积分和经典力学的创建。和经典力学的创建。微积分的基本定理微积分的基本定理莱布尼兹莱布尼兹莱布尼兹，德国数学家、哲学家，和牛顿莱布尼兹，德国数学家、哲学家，和牛顿同为微积分的创始人；同为微积分的创始人；16461646年年7 7月月1 1日生于日生于莱比锡，莱比锡，17161716年年1111月月1414日卒于德国的汉诺日卒于德国的汉诺威。他父亲是莱比锡大学伦理学教授，家威。他父亲是莱比锡大学伦理学教授，家庭丰富的藏书引起他广泛的兴趣。庭丰富的藏书引起他广泛的兴趣。16611661年年入莱比锡大学学习法律，又曾到耶拿大学入莱比锡大学学习法律，又曾到耶拿大学学习几何，学习几何，16661666年在纽伦堡阿尔特多夫取得法学博士学位年在纽伦堡阿尔特多夫取得法学博士学位。他当时写的论文。他当时写的论文论组合的技巧论组合的技巧已含有数理逻已含有数理逻辑的早期思想，后来的工作使他成为数理逻辑的创始人。辑的早期思想，后来的工作使他成为数理逻辑的创始人。16671667年他投身外交界，曾到欧洲各国游历。年他投身外交界，曾到欧洲各国