概率的统计定义

1、上页下页铃结束返回首页12 概率 一、概率的统计定义 二、概率的古典定义 三、计算概率的例题 上页下页铃结束返回首页上页下页铃结束返回首页一、概率的统计定义 事件发生的频率 在n次重复试验中 若事件A发性了m次 则m/n称为事件A发生的频率 同样若事件B发生了k次 则事件B发生的频率为k/n 如果A是必然事件 则有mn 即必然事件的频率是1 显然 不可能事件的频率为0 而一般事件的频率必在0与1之间 如果事件A与B互不相容 那么事件AB的频率为(mk)/n 这称之为频率的可加性 下页上页下页铃结束返回首页掷硬币试验 前人掷硬币试验的一些结果列于下表 由表看出 出现正面的频率接近0.5 并且抛掷

2、次数越多 频率越接近0.5 经验告诉人们 当试验次数n很大时 事件A的频率具有一种稳定性 它的数值徘徊在某个确定的常数附近 而且一般说来 试验次数越多 事件A的频率就越接近那个确定的常数 下页上页下页铃结束返回首页掷硬币试验 前人掷硬币试验的一些结果列于下表 这种在多次重复试验中 事件频率稳定的统计规律 便是概率这一概念的经验基础 而所谓某事件发生的可能性大小 就是这个 “频率的稳定值” 下页上页下页铃结束返回首页说明 定义1.1(概率的统计定义) 在不变的条件下 重复进行n次试验 事件A发生的频率稳定地在某一常数p附近摆动 且一般说来 n越多 摆动幅度越小 则称常数p为事件A的概率 记作P(

3、A) 数值p(即P(A)就是在一次试验中对事件A发生的可能性大小的数量描述 例如 用0.5来描述掷一枚匀称的硬币 “正面”出现的可能性 下页上页下页铃结束返回首页说明 定义1.1(概率的统计定义) 在不变的条件下 重复进行n次试验 事件A发生的频率稳定地在某一常数p附近摆动 且一般说来 n越多 摆动幅度越小 则称常数p为事件A的概率 记作P(A) 频率的稳定性是概率的经验基础 但并不是说概率决定于试验 一个事件发生的概率完全决定于事件本身的结构 是先于试验而客观存在的 下页上页下页铃结束返回首页说明 定义1.1(概率的统计定义) 在不变的条件下 重复进行n次试验 事件A发生的频率稳定地在某一常

4、数p附近摆动 且一般说来 n越多 摆动幅度越小 则称常数p为事件A的概率 记作P(A) 概率的统计定义仅仅指出了事件的概率是客观存在的 但并不能用这个定义计算概率P(A) 实际上 人们是采取一次大量试验的频率或一系列频率的平均值作为P(A)的近似值的 下页上页下页铃结束返回首页举例 从对一个妇产医院6年出生婴儿的调查(见表)可以看到生男孩的频率是稳定的 可以取0.515作为生男孩概率的近似值 首页上页下页铃结束返回首页二、概率的古典定义 观察与思考 考察下述类型的试验的共同特点 (1)抛掷一枚匀称的硬币 可能出现正面与反面两种结果 并且这两种结果出现的可能性是相同的 (2)200个同型号产品中

5、有6个废品 从中每次抽取3个进行检验 共有3200C种不同的可能抽取结果 并且任意 3 个产品被取到的机会相同 这类试验的共同特点是 每次试验只有有限种可能的试验结果 即组成试验的基本事件总数为有限个 每次试验中 各基本事件出现的可能性完全相同 具有上述特点的试验称为古典概型试验 下页上页下页铃结束返回首页二、概率的古典定义 观察与思考 考察下述类型的试验的共同特点 (1)抛掷一枚匀称的硬币 可能出现正面与反面两种结果 并且这两种结果出现的可能性是相同的 (2)200个同型号产品中有6个废品 从中每次抽取3个进行检验 共有3200C种不同的可能抽取结果 并且任意 3 个产品被取到的机会相同 在

6、古典概型试验中 假定能够知道有利于某一事件A的基本事件数 就可以通过这个数与试验的基本事件总数之比计算出概率P(A) 下页上页下页铃结束返回首页定义1.2(概率的古典定义) 若试验结果一共由n个基本事件E1 E2 En组成 并且这些事件的出现具有相同的可能性 而事件A由其中某m个基本事件组成 则事件A的概率可以用下式计算 nmAAP试验的基本事件总数的基本事件数有利于)( 这里E1 E2 En构成一个等概完备事件组 首页上页下页铃结束返回首页三、计算概率的例题 例1 袋内装有5个白球 3个黑球 从中任取两个球 计算取出的两个球都是白球的概率 解 组成试验的基本事件总数为 235Cn 组成所求事

7、件A(取到两个白球)的基本事件数为 25Cm 由概率的计算公式 有 357. 0145)(2825CCnmAP下页357. 0145)(2825CCnmAP357. 0145)(2825CCnmAP 上页下页铃结束返回首页 例2 一批产品共200个 有6个废品 求 (1)这批产品的废品率 (2)任取3个恰有1个是废品的概率 (3)任取3个全非废品的概率 设事件A1表示任取一个是废品 事件A2表示任取3个恰有1个是废品 事件A3表示任取3个全非废品 则所求概率为 解 (1)03. 02006)(1AP (2)0855. 0)(32002194162CCCAP (3)9122. 0)(320031943CCAP03. 02006)(1AP03. 02006)(1AP 0855. 0)(32002194162CCCAP0855. 0)(32002194162CCCAP 9122. 0)(320031943CCAP9122. 0)(320031943CCAP 下页上页下页铃结束返回首页 例3 两封信随机地向标号为I、II、III、IV的4个邮筒投寄 求第二个邮筒恰好被投入1封信的概率 设事件A表示第二个邮筒只投入1封信 解 两封信随机地投入 4 个邮筒 共有 42种可能投法 而组成事件 A 的不同投法只有1312CC种 由概率的计算公式 有 834)(21312CCnmAP同样还可以计算