高等数学：11-8傅氏3VIP

1、以以2 l 为周期的函数的傅里叶展开思路：为周期的函数的傅里叶展开思路：周期为周期为 2l 函数函数 f (x)周期为周期为 2 函数函数 F(z)变量代换变量代换z=?x将将F(z) 作傅氏展开作傅氏展开 f (x) 的傅氏展开式的傅氏展开式一、以2l为周期的傅氏级数,2),(lTxf .22lxlxz ,lxz 令令lxl , z),()()(zFlzfxf 设设.2)(为周期为周期以以 zF),sincos(2)(10nzbnzaazFnnn )sincos(2)(10 xlnbxlnaaxfnnn .sin)(1,cos)(1 nzdzzFbnzdzzFann其中其中.sin)(1co

2、s)(1)(cos)(1cos)(1 llnlllllxznxdxlnxflbxdxlnxflxlxdlnxfnzdzzFa )()(,xfzFlxz定理定理式为式为则它的傅里叶级数展开则它的傅里叶级数展开定理的条件定理的条件满足收敛满足收敛的周期函数的周期函数设周期为设周期为,)(2xfl),sincos(2)(10lxnblxnaaxfnnn 为为其其中中系系数数nnba ,), 2 , 1 , 0(,cos)(1 ndxlxnxflalln), 2 , 1(,sin)(1 ndxlxnxflblln,)()1(为奇函数为奇函数如果如果xf则有则有,sin)(1 nnlxnbxf,sin)

3、(20dxlxnxflbblnn 为为其中系数其中系数), 2 , 1( n,)()2(为偶函数为偶函数如果如果xf则有则有,cos2)(10 nnlxnaaxfdxlxnxflaalnn 0cos)(2为为其中系数其中系数二、典型例题k2 xy2044 例例 1 1 设设)(xf是周期为是周期为 4 的周期函数的周期函数,它在它在)2 , 2 上的表达式为上的表达式为 20020)(xkxxf, 将其展将其展成傅氏级数成傅氏级数.解解., 2 满满足足狄狄氏氏充充分分条条件件 l 2002021021kdxdxa,k 202cos21xdxnk, 0 202sin21xdxnkbn)cos1

4、( nnk, 6 , 4 , 20, 5 , 3 , 12 nnnk当当当当xnnkkxfn)12sin(12122)(1 ), 4, 2, 0;( xx na), 2 , 1( n例例2. 把把展开成展开成)20()(xxxf(1) 正弦级数正弦级数; (2) 余弦级数余弦级数.解解: (1) 将将 f (x) 作奇延拓作奇延拓, 满足收敛定理条件，满足收敛定理条件，则有则有2oyx),2, 1,0(0nan2022xbnxxnd2sin0222sin22cos2xnnxnxnnncos4),2, 1() 1(41nnn14)(nxf2sin) 1(1xnnn)20( x在 x = 2 k

5、处级数收敛于何值?2oyx(2) 将将 作偶延拓作偶延拓,)(xf),2, 1(0nbn2022xanxxnd2cos0222cos22sin2xnnxnxn1) 1(422nnxxf)(200d22xxa2kn2,0,) 12(822k),2, 1(k则有则有1222) 12(cos) 12(181kxkk)20( x12 kn解解,10 xz作变量代换作变量代换155 x, 55 z)10()( zfxf),(zFz ),55()( zzzF)10()( TzF作周期延拓作周期延拓然后将然后将,收敛定理的条件收敛定理的条件满足满足).()5, 5(zF内内收收敛敛于于且且展展开开式式在在

6、x)(zFy5 501510), 2 , 1 , 0(, 0 nan 502sin)(52dzznzbn,10)1( nn), 2 , 1( n,5sin)1(10)(1 nnznnzF)55( z 1)10(5sin)1(1010nnxnnx.5sin)1(101 nnxnn)155( x另解另解 1555cos)10(51dxxnxan 1555sin)10(51dxxnxbn 1551555cos515cos2dxxnxdxxn, 0 1550)10(51dxxa, 0 ,10)1( nn ), 2 , 1( n 15sin)1(1010)(nnxnnxxf故故)155( x), 2 ,

7、 1( n当函数定义在任意有限区间上时当函数定义在任意有限区间上时,方法方法1, , )(baxxf令令2abxzzabzfxfzF, )2()()(2,2abab在在2,2abab上展成傅里叶级数上展成傅里叶级数)(zF周期延拓周期延拓将将2abxz)(xf在在,ba代入展开式代入展开式上的傅里叶级数上的傅里叶级数 其傅里叶展开方法其傅里叶展开方法:机动 目录 上页 下页 返回 结束 方法方法2, , )(baxxf令令,azxzazfxfzF, )()()(ab,0在在ab,0上展成正弦或余弦级数上展成正弦或余弦级数)(zF奇或偶延拓奇或偶延拓将将 代入展开式代入展开式axz)(xf在在,

8、ba即即axz上的正弦或余弦级数上的正弦或余弦级数 方法：做周期开拓在有限区间上有定义函数的傅氏展开,2 , 0lll（）以为周期做周期开拓l 2（）以为周期奇延拓后做周期开拓l（）以为周期偶延拓后做周期开拓l傅氏级数正弦级数余弦级数级数在端点处敛散性一开拓后函数确定三、小结求傅氏展开式的步骤求傅氏展开式的步骤;1.画图形验证是否满足狄氏条件画图形验证是否满足狄氏条件(收敛域收敛域,奇偶性奇偶性);2.求出傅氏系数求出傅氏系数;3.写出傅氏级数写出傅氏级数,并注明它在何处收敛于并注明它在何处收敛于).(xf以以2l为周期的为周期的;只在只在-l,l有定义的有定义的;在在0,l有定义的；在任意有定义的；在任意a,b有定义的。有定义的。思考思考1. 将函数展开为傅里里叶级数时为什么最好先画出其图形?答答: 易看出奇偶性及间断点, 2. 计算傅里里叶系数时哪些系数要单独算 ?答答: 用系数公式计算如分母中出现因子nk从而便于计算系数和写出收敛域 .,时nnbakkba 或则必须单独计算.练习题练习题) 11(2)(xxxf将期的傅立叶级数, 并由此求级数121nn解解:y1ox12)(xf为偶函数,0nb100d)2(2xxa5xxnxand)cos()2(2101) 1(222nn因 f (x) 偶延拓后