高斯公式与斯托克斯公式

1、第二十二章 曲面积分§3 高斯公式与斯托克斯公式授课章节：ch22-§3-高斯公式与斯托克斯公式（P290-297）教学目的：1）掌握高斯公式与斯托克斯公式的应用教学重点：定理22.3,定理22.4教学难点：定理22.3,定理22.4教学方法：讲练结合教学程序：1引导2定理22.3,定理22.4 3例题及部分习题练习4作业P295习题1(1、3),2,3(2),4(1),5(1)。一高斯公式格林公式建立了沿封闭曲线的曲线积分与二重积分的关系，沿空间闭曲面的曲面积分和三重积分之间也有类似的关系，这就是本段所要讨论的高斯（Gauss）公式。定理22.3设空间区域V由分片光滑的双

2、侧封闭曲面S围成。若函数P，Q，R在V上连续，且有一阶连续偏导数，则，（1）其中S取外侧。（1）式称为高斯公式。证下面只证读者可类似地证明这些结果相加便得到了高斯公式（1）。先设V是一个xy型区域，即其边界曲面S由曲面若S为封闭曲面，则曲面积分的积分号用表示。及以垂直于的边界的柱面组成（图226），其中。于是按三重积分的计算方法有其中都取上侧。又由于在xy平面上投影区域的面积为零，所以因此对于不是xy型区域的情形，则用有限个光滑曲面将它分割成若干个xy型区域来讨论。详细的推导与格林公式相似，这里不再细说了。高斯公式可用来简化某些曲面积分的计算。例1计算其中S是边长为a的正立方体表面并取外侧（即

3、上节习题1（1）。解应用高斯公式，所求曲面积分等于若高斯公式中Px,Q=y,R=z,则有于是得到应用第二型曲面积分计算空间区域V的体积公式二斯托克斯公式斯托克斯（Stokes）公式是建立沿空间双侧曲面S的积分与沿S的边界曲线L的积分之间的联系。在讲下述定理之前，先对双侧曲面S的侧与其边界曲线L的方向作如下规定：设有人站在S上指定的一侧，若沿L行走，指定的侧总在人的左方，则人前进的方向为边界线L的正向；若沿L行走，指定的侧总在人的右方，则人前进的方向为边界线L的负向，这个规定方法也称为右手法则，如图227所示。定理22.4设光滑曲面S的边界L是按段光滑的连续曲线。若函数P、Q、R在S（连同L）上

4、连续，且有一阶连续偏导数，则（2）其中S的侧与L的方向按右手法则确定。证先证（3）其中曲面S由方程确定，它的正侧法线方向数为，方向余弦为，所以若S在xy平面上投影区域为，L在xy平面上的投影曲线记为。现由第二型曲线积分定义及格林公式有因为所以由于。从而综合上述结果，便得所要证明的（3）式。同样对于曲面S表示为和时，可证得（4）和（5）将（3）、（4）、（5）三式相加即得（2）式。如果曲面S不能以的形式给出，则可用一些光滑曲线把S分割为若干小块，使每一小块能用这种形式来表示。因而这时（2）式也能成立。公式（2）称为斯托克斯公式。为了便于记忆，斯托克斯公式也常写成如下形式：例2计算其中L为平面x+

5、y+z=1与各坐标面的交线，取逆时针方向为正向（图228）。解应用斯托克斯公式推得由斯托克斯公式，可导出空间曲线积分与路线无关的条件.区域V称为单连通区域，如果V内任一封闭曲线皆可以不经过V以外的点而连续收缩于属于V的一点。如球体是单连通区域。非单连通区域称为复连区域。如环状区域不是单连通区域中，而是复连通区域。与平面曲线积分相仿，空间曲线积分与路线的无关性也有下面相应的定理。定理22.5设为空间单连通区域。若函数P，Q，R在上连续，且有一阶连续偏导数，则以下四个条件是等价的：（i）对于内任一按段光滑的封闭曲线L有（ii）对于内任一按段光滑的曲线L，曲线积分与路线无关；（iii）是内某一函数u的全微分，即（6）（iv）在内处处成立。这个定理的证明与定理21.12相仿，这里不重复了。例3验证曲线积分与路线无关，并求被积表达式的原函