数学高考压轴题大全

1、1、（本小题满分14分）已知函数（1）当时，如果函数仅有一个零点，求实数的取值范围；（2）当时，试比较与的大小；（3）求证：（）2、设函数，其中为常数（）当时，判断函数在定义域上的单调性；（）若函数的有极值点，求的取值范围及的极值点；（）当且时，求证：3、在平面直角坐标系中，已知椭圆.如图所示，斜率为且不过原点的直线交椭圆于，两点，线段的中点为，射线交椭圆于点，交直线于点.（）求的最小值；（）若，（i）求证：直线过定点；（ii）试问点，能否关于轴对称？若能，求出此时的外接圆方程；若不能，请说明理由.评卷人得分二、计算题（每空？ 分，共？ 分）4、设函数的图象在点处的切线的斜率为，且函数为偶函数

2、若函数满足下列条件：；对一切实数，不等式恒成立（）求函数的表达式；（）求证： 5、已知函数：（1）讨论函数的单调性；（2）若函数的图像在点处的切线的倾斜角为，问：在什么范围取值时，函数在区间上总存在极值？ (3)求证： 6、已知函数=，.()求函数在区间上的值域；（）是否存在实数，对任意给定的，在区间上都存在两个不同的，使得成立.若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由；（）给出如下定义：对于函数图象上任意不同的两点，如果对于函数图象上的点（其中总能使得成立，则称函数具备性质“”，试判断函数是不是具备性质“”，并说明理由. 7、已知函数（）若函数是定义域上的单调函数，求实数的最小

3、值；（）方程有两个不同的实数解，求实数的取值范围；（）在函数的图象上是否存在不同两点，线段的中点的横坐标为，有成立？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由8、已知函数：讨论函数的单调性；若函数的图象在点处的切线的倾斜角为45o，对于任意的，函数在区间上总不是单调函数，求m的取值范围；求证： 9、已知正方形的中心在原点，四个顶点都在函数图象上（1）若正方形的一个顶点为，求，的值，并求出此时函数的单调增区间；（2）若正方形唯一确定，试求出的值 10、已知函数，曲线在点处的切线方程为（I）求a，b的值；（II）如果当x>0，且时，求k的取值范围 11、设函数f(x)=x2+b ln(x+1)

4、,其中b0.()当b>时，判断函数f(x)在定义域上的单调性；（）求函数f(x)的极值点；（）证明对任意的正整数n,不等式ln)都成立.12、如图7，椭圆的离心率为，x轴被曲线 截得的线段长等于的长半轴长。（）求，的方程；（）设与y轴的焦点为M，过坐标原点O的直线与相交于点A,B,直线MA,MB分别与相交与D,E.(i)证明：MDME;(ii)记MAB,MDE的面积分别是,.问：是否存在直线l,使得=?请说明理由。13、已知点是直角坐标平面内的动点，点到直线的距离为，到点的距离为，且(1)求动点P所在曲线C的方程；(2)直线过点F且与曲线C交于不同两点A、B(点A或B不在x轴上)，分别过

5、A、B点作直线的垂线，对应的垂足分别为，试判断点F与以线段为直径的圆的位置关系(指在圆内、圆上、圆外等情况)；(3)记，(A、B、是(2)中的点)，问是否存在实数，使成立若存在，求出的值；若不存在，请说明理由进一步思考问题：若上述问题中直线、点、曲线C：，则使等式成立的的值仍保持不变请给出你的判断            (填写“不正确”或“正确”)(限于时间，这里不需要举反例，或证明)14、如图，在轴上方有一段曲线弧，其端点、在轴上（但不属于），对上任一点及点，满足：直线，分别交直线于

6、，两点（1）求曲线弧的方程；（2）求的最小值（用表示）；（3）曲线上是否存点，使为正三角形？若存在，求的取值范围；若不存在，说明理由 15、设、是函数的两个极值点(1)若，求函数的解析式；(2)若，求的最大值(3)若，且，求证：16、 已知函数（）求函数的单调区间；（）设，若对任意，不等式 恒成立，求实数的取值范围 17、已知函数   （1）若曲线处的切线平行，求a的值；   （2）求的单调区间；   （3）设是否存在实数a，对均成立；若存在，求a的取值范围；若不存在，请说明理由。 18、已知函数图象的对称中心为，

7、且的极小值为.（1）求的解析式；（2）设，若有三个零点，求实数的取值范围； （3）是否存在实数，当时，使函数在定义域a,b 上的值域恰为a,b，若存在，求出k的范围；若不存在，说明理由. 19、已知函数（1）若方程在区间内有两个不相等的实根，求实数的取值范围；（2）如果函数的图像与x轴交于两点，且，求证：（其中，是的导函数，正常数满足）20、已知函数f(x)axx2xlna(a0，a1)（1）当a1时，求证：函数f(x)在(0，)上单调递增；（2）若函数y|f(x)t|1有三个零点，求t的值；（3）若存在x1，x21，1，使得|f(x1)f(x2)|e1，试求a的取值范围21、已知函数处取得极

8、小值，其图象过点A（0，1），且在点A处切线的斜率为1。   ()求的解析式；  （）设函数上的值域也是，则称区间为函数的“保值区间”。证明：当不存在“保值区间”； 22、已知函数   （1）求证函数上的单调递增；   （2）函数有三个零点，求t的值；   （3）对恒成立，求a的取值范围。23、已知函数，其中       （）若函数上有极值，求的取值范围；       （）若函数有最大值

9、（其中为无理数，约为271828）,求的值；（）若函数有极大值,求的值。 24、已知函数。（1）若函数在区间上存在极值，其中，求实数的取值范围；（2）如果当时，不等式恒成立，求实数的取值范围；（3）求证：25、已知函数,，其中R       （）讨论的单调性；       （）若在其定义域内为增函数，求正实数的取值范围；       （）设函数,当时，若，总有成立，求实数的取值范围 26、 已知函数

10、0;  （1）求函数的单调区间；   （2）设m>0，求在m，2m上的最大值；   （3）试证明：对任意N+，不等式恒成立 27、已知函数（1）求函数的单调区间；（2）设，求证：；（3）设，求证：. 28、已知二次函数对都满足且，设函数（，）（）求的表达式；（）若，使成立，求实数的取值范围； （）设，求证：对于，恒有. 29、已知函数 不等式求实数的取值范围；（3）若函数 30、已知函数（）若函数是定义域上的单调函数，求实数的最小值；（）在函数的图象上是否存在不同两点，线段的中点的横坐标为，直线的斜率为，有成立？若存在，请求出的值；若不存

11、在，请说明理由 31、已知函数的图象在点（为自然对数的底数）处的切线斜率为3求实数的值；若，且对任意恒成立，求的最大值；当时，证明 32、已知函数在点的切线方程为.（）求函数的解析式；（）设，求证：在上恒成立；（）已知，求证：. 33、已知   （1）若，函数在其定义域内是增函数，求的取值范围；   （2）当时，证明：函数只有一个零点；   （3）若的图象与轴交于两点，AB中点为，求证：参考答案一、综合题1、解：（1）当时，定义域是， 令，得或  2分当或时，当时，    函数在、上单调递增，在上单调递减

12、  4分的极大值是，极小值是当时，； 当时，当仅有一个零点时，的取值范围是或5分  （2）当时，定义域为      令，       ，       在上是增函数              7分当时，即；当时，即；当时，即  9分（3）（法一）根据（2）的结论，当时，即

13、令，则有，    12分                14分 (法二)当时，即时命题成立   10分设当时，命题成立，即  时，根据（2）的结论，当时，即令，则有，则有，即时命题也成立13分因此，由数学归纳法可知不等式成立             

14、    14分（法三）如图，根据定积分的定义，得11分，  12分，又，                14分【说明】本题主要考查函数导数运算法则、利用导数求函数的极值、证明不等式等基础知识，考查分类讨论思想和数形结合思想，考查考生的计算能力及分析问题、解决问题的能力和创新意识 2、解：（1）由题意知，的定义域为，     当时， ，函数在定义域上单调递增 （2）由（

15、）得，当时，函数无极值点    时，有两个相同的解，时，时，函数在上无极值点 当时，有两个不同解， 时，,此时 ，随在定义域上的变化情况如下表：减极小值增由此表可知：时，有惟一极小值点，      ii)  当时，0<<1此时，随的变化情况如下表：增极大值减极小值增由此表可知：时，有一个极大值和一个极小值点；          综上所述：当且仅当时有极值点;   &

16、#160; 当时，有惟一最小值点；当时，有一个极大值点和一个极小值点（3）由(2)可知当时，函数，此时有惟一极小值点且   令函数   3、【解析】（）由题意:设直线,由消y得:,设A、B,AB的中点E,则由韦达定理得: =,即,所以中点E的坐标为E,因为O、E、D三点在同一直线上，所以，即，解得，所以=,当且仅当时取等号,即的最小值为2.（）（i）证明:由题意知:n>0,因为直线OD的方程为,所以由得交点G的纵坐标为,又因为,且，所以,又由（）知: ,所以解得,所以直线的方程为,即有,令得,y=0,与实数k无关,所以直线过定点(-1,0).（ii）假设点，

17、关于轴对称,则有的外接圆的圆心在x轴上,又在线段AB的中垂线上,由（i）知点G(,所以点B(,又因为直线过定点(-1,0),所以直线的斜率为，又因为，所以解得或6，又因为,所以舍去,即，此时k=1，m=1，E，AB的中垂线为2x+2y+1=0，圆心坐标为，G(,圆半径为，圆的方程为.综上所述, 点，关于轴对称,此时的外接圆的方程为. 二、计算题4、（）解：由已知得：               1分由为偶函数，得为偶函数，显然有  &#

18、160;                                       2分又，所以，即          

19、;     3分又因为对一切实数恒成立，即对一切实数，不等式恒成立     4分显然，当时，不符合题意                           5分当时，应满足注意到 ，解得      &

20、#160;                7分所以                            8分（）证明：因为，所以9分要证不等式成立,即证  &

21、#160;                  10分因为,                 12分所以所以成立             &#

22、160;   14分 5、解：（1）        (1分),当时，的单调增区间为，减区间为；2分当时，的单调增区间为，减区间为；3分当时，不是单调函数4分（2）因为函数的图像在点处的切线的倾斜角为，       所以，所以，   .6分       ，        .7分   

23、;    要使函数在区间上总存在极值，所以只需，                 ks5u.9分              解得10分令此时，所以，由知在上单调递增，当时，即，对一切成立，12分 ，则有，14分 6、 解：()   在区间上单调递增，在区间上单

24、调递减,且         的值域为      3分（）令，则由()可得，原问题等价于：对任意的在上总有两个不同的实根，故在不可能是单调函数  5分    当时, ,.s 在区间上递减，不合题意 当时, ,在区间上单调递增，不合题意当时, ,在区间上单调递减，不合题意当即时, 在区间上单调递减; 在区间上单递增，由上可得，此时必有的最小值小于等于0 而由可得，则综上，满足条件的不存在。.8分（）设函数具备性质“”，即在点处的切

25、线斜率等于，不妨设，则，而在点处的切线斜率为，故有10分即，令，则上式化为，12分令，则由可得在上单调递增，故，即方程无解，所以函数不具备性质“”. 14分7、解（）                        1分若函数在上递增，则对恒成立，即对恒成立，而当时，        

26、0;                  若函数在上递减，则对恒成立，即对恒成立，这是不可能的综上，  的最小值为1                         

27、60;                  4分（）解1、由令得=0的根为1，所以 当时，则单调递增，当时，则单调递减，所以在处取到最大值，又 ，所以要使与有两个不同的交点，则有                    &#

28、160;                      8分（）假设存在，不妨设   9分                        

29、60;          若则，即，即 （*）      12分令，（)，   则0在上增函数， ，（*）式不成立，与假设矛盾          因此，满足条件的不存在               &

30、#160;                           15分 8、 9、因为，所以，因此，   所以函数的图象在点处的切线方程为，2分   由得，由，得4分因为，所以，由题意知在上有解，因为，设，因为，则只要解得，所以b的取值范围8分不妨设因为函数在区间上是增函数，所以，函数图象的对称轴为

31、，且，（）当时，函数在区间上是减函数，所以，所以等价于，即，等价于在区间上是增函数，等价于在区间上恒成立，等价于在区间上恒成立，所以，又，所以；10分（）当时，函数在区间上是减函数，在上为增函数当时，等价于，等价于在区间上是增函数，等价于在区间上恒成立，等价于在区间上恒成立，所以，又，所以；12分当时，等价于，等价于在区间上是增函数，等价于在区间上恒成立，等价于在区间上恒成立，所以，故14分当时，由图象的对称性知，只要对于同时成立，那么对于，则存在，使恒成立；或存在，使恒成立因此，综上，b的取值范围是16分 10、解：     （）  

32、;     由于直线的斜率为，且过点，故即                                  解得，。       （）由（）知，所以  

33、60;    。考虑函数，则       。       (i)设，由知，当时，。而，故       当时，可得；当x（1，+）时，h（x）<0，可得 h（x）>0从而当x>0，且x1时，f（x）-（+）>0，即f（x）>+.（ii）设0<k<1.由于当x（1，）时，（k-1）（x2 +1）+2x>0，故 (x）>0，而 &

34、#160;     h（1）=0，故当x（1，）时，h（x）>0，可得h（x）<0，与题设矛盾。（iii）设k1.此时（x）>0，而h（1）=0，故当x（1，+）时，h（x）>0，可得 h（x）<0，与题设矛盾。       综合得，k的取值范围为（-，0解：（2）由（1）知故要证： 只需证为去分母，故分x>1与0<x<1两种情况讨论：当x>1时，需证即   即需证     

35、;  （1）设，则由x>1得，所以在（1，+）上为减函数又因g（1）=0所以 当x>1时 g（x）<0   即（1）式成立同理0<x<1时，需证      （2）而由0<x<1得，所以在（0，1）上为增函数又因g（1）=0所以 当0<x<1时 g（x）<0   即（2）式成立综上所证，知要证不等式成立点评：抓住基本思路，去分母化简问题，不可死算 11、(I) 函数的定义域为.，令，则在上递增，在上递减，.当时，在上恒成立.即当时,函数在

36、定义域上单调递增。（II）分以下几种情形讨论：（1）由（I）知当时函数无极值点.（2）当时，时，时，时，函数在上无极值点。（3）当时，解得两个不同解，.当时，此时在上有唯一的极小值点.当时，在都大于0 ，在上小于0 ，此时有一个极大值点和一个极小值点.综上可知，时，在上有唯一的极小值点；时，有一个极大值点和一个极小值点；时，函数在上无极值点。（III） 当时，令则在上恒正，在上单调递增，当时，恒有.即当时，有，对任意正整数，取得12、13、解(1) 设动点为，           &#

37、160;                                            1分依据题意，有   ，化简得  

38、                                 3分因此，动点P所在曲线C的方程是：         4分(2)  点F在以MN为直径的圆的外部理由：由题意可知，当过点F的

39、直线的斜率为0时，不合题意，故可设直线：，如图所示                                  5分联立方程组，可化为，则点的坐标满足         

40、60;          7分又、，可得点、点与圆的位置关系，可以比较点到圆心的距离与半径的大小来判断，也可以计算点与直径形成的张角是锐角、直角、钝角来加以判断因，则=9分   于是，为锐角，即点F在以MN为直径的圆的外部                      &#

41、160;   10分(3)依据(2)可算出，则                  ，                               &#

42、160;                       14分所以，即存在实数使得结论成立                        &#

43、160;     15分对进一步思考问题的判断：正确                                           1

44、8分14、解：（1）由椭圆的定义，曲线是以，为焦点的半椭圆，.  1分的方程为.  3分（注：不写区间“”扣1分）                               （2）解法1：由（1）知，曲线的方程为，设，     

45、 则有， 即      4分又，从而直线的方程为      AP：；   BP： 5分     令得，的纵坐标分别为     ；      .          7分       将代入， 得 .  

46、 .当且仅当，即时，取等号即的最小值是.   9分解法2：设，则由三点共线，得 同理，由三点共线得：    5分由×得：.由，代入上式，.即 .   7分，当且仅当，即时，取等号即的最小值是 .  9分（3）设，依题设，直线轴，若为正三角形，则必有        ，10分从而直线的斜率存在，分别设为、，由（2）的解法1知，      ；   ， 11分   

47、  于是有 ， 而，矛盾.13分不存在点，使为正三角形 14分注:如上各题若有其它解法，请评卷老师酌情给分.15、解：(1)是函数的两个极值点，解得-4分(2)是函数的两个极值点，是方程的两根，对一切恒成立，由得，  令，则当时，在(0，4)内是增函数；当时，在(4，6)内是减函数当时，有极大值为96，在上的最大值是96，的最大值是-8分(3)是方程的两根，  ，   -12分 16、解： （I）的定义域是         1分    

48、                   2分由及 得；由及得，故函数的单调递增区间是；单调递减区间是     4分（II）若对任意，不等式恒成立，问题等价于，                   5分由

49、（I）可知，在上，是函数极小值点，这个极小值是唯一的极值点，故也是最小值点，所以；                  6分当时，；当时，；当时，；             8分问题等价于 或 或         

50、0;  11分       解得 或 或        即，所以实数的取值范围是      12分 17、18、解：（1）4分(2) 7分(3) ,当时，在上单调减，9分                     

51、; 11分且，在上不单调时，     14分综上得：       15分 19、解：（1），              -1分       当时，单调递增；当时，单调递减。           

52、60;                                                -3分  

53、;     当x=1时，有极大值，也是最大值，即为-1，但无最小值。       故的单调递增区间为，单调递减区间为；最大值为-1，但无最小值。       方程化为，                       

54、60;       -3分       由上知，在区间上的最大值为-1，。故在区间上有两个不等实根需满足，       ，实数m的取值范围为。             -6分（2），又有两个实根，       两式相减，得

55、0;                        -8分       于是       =       ,。       

56、60;   -9分       要证：，只需证：       只需证：                     （）       令，（）化为     

57、;  只证即可                                -11分                 

58、           ，0<t<1，       t-1<0       u'（t）>0,u（t）在（0，1）上单调递增，u（t）<u（1）=0       u（t）<0，       即：  &

59、#160;                              13分 20、解：（1）3分由于，故当时，所以，故函数在上单调递增5分（2）当时，因为，且在R上单调递增，故有唯一解7分所以的变化情况如下表所示：x00递减极小值递增       又函数有三

60、个零点，所以方程有三个根，而，所以，解得10分（3）因为存在，使得，所以当时，11分由（2）知，在上递减，在上递增，所以当时，12分而，记，因为（当时取等号），所以在上单调递增而，故当时，；当时，即当时，；当时，14分当时，由；当时，由综上可知，所求的取值范围为16分 21、解：（1），  2分由所以  4分   （2）由（1）得，假设当存在“保值区间”于是问题转化为有两个大于1的不等实根。 6分现在考察函数，  10分当x变化时，的变化情况如下表：0+单调递减极小值单调递增所以，上单调递增。22、23、（1）   

61、; 则在（1，3）上有解，且，分离参数法，（2）由，得。当时，函数上单调递减，所以由，得时，函数有最大值。（3）当时，函数上单调递增，所以无极值。当时，函数上单调递减，所以无极值。当时，由得，则（其中）所以函数上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，由极大值，得（），又代入（）得设函数，则所以函数上单调递增，而所以    ，所以时，函数有极大值。 24、解：（1）因为当当 所以上单调递增；在上单调递减，所以函数处取得极大值。因为函数，解得。4分     （2）不等式记     

62、;     所以，令          =1>0          从而上也单调递增，所以。                9分     （3）由（2）知：当，  

63、       令则所以         ，叠加得：                  =。         则         所以14分

64、25、解：（）的定义域为，且，       -1分当时，在上单调递增；                  -2分当时，由，得；由，得；故在上单调递减，在上单调递增                -4分（），的定义域为&#

65、160;                       -5分因为在其定义域内为增函数，所以，而，当且仅当时取等号，所以            -     -  -6分（）当时，由得或当时，；当时，所以在上， &

66、#160; -8分而“，总有成立”等价于“在上的最大值不小于在上的最大值”而在上的最大值为所以有              -10分所以实数的取值范围是-12分 26、27、解：（1）定义域为，由2分令故的增区间： ，     减区间：5分（2）即证：令由，令，得，且在在，所以故当时，有得证10分（3）由（2）得，即所以则14分 28、解：（）设，于是所以 又，则所以.     3分&#

67、160;   （）当m>0时，由对数函数性质，f（x）的值域为R；4分当m=0时，对，恒成立；  5分     当m<0时，由，列表：x0减极小增                 所以若，恒成立，则实数m的取值范围是.  故使成立，实数m的取值范围9分（）因为对，所以在内单调递减.于是记，则所以函数在是单调增函数，  

68、0;  所以，故命题成立. 12分 29、30、（）                                           2分若函数在上递增，则对恒成立，

69、即对恒成立，而当时，                           若函数在上递减，则对恒成立，即对恒成立，这是不可能的综上，  的最小值为1               &

70、#160;                            6分（）假设存在，不妨设   9分                  &#

71、160;                若则，即，即 （*）    12分令，（)，   则0在上增函数， ，（*）式不成立，与假设矛盾          因此，满足条件的不存在           

72、                                16分 31、（1）解：因为，所以因为函数的图像在点处的切线斜率为3，所以，即所以（2）解：由（1）知，所以对任意恒成立，即对任意恒成立令，则，令，则，所以函数在上单调递增因为，所以方程在上存在唯一实根，且满足当，即，当，即，

73、所以函数在上单调递减，在上单调递增所以所以故整数的最大值是3（3）证明1：由（2）知，是上的增函数，所以当时，即整理，得因为， 所以即即所以来源:Zxxk.Com证明2：构造函数，则因为，所以所以函数在上单调递增因为， 所以所以即即即所以 32、解：（）将代入切线方程得       ，化简得               2分解得：. .