保守力与非保守力_势能

1、 力对质点所作的功为力在质点位移方向的分量与力对质点所作的功为力在质点位移方向的分量与位移大小的乘积位移大小的乘积 . . （功是标量、过程量）功是标量、过程量）sFrFWdcosdcosdrFWdd一一 功功 力的力的空间累积空间累积效应效应 W、E、动能定理等动能定理等. .FrdiF1drirdB*i1A1F0d,900W0d,18090W0dd90WrF4.1 功和功率功和功率iiiiWrFrFWddzFyFxFWzyxdddzyxWWWWkzjyixrddddkFjFiFFzyxBABAsFrFWdcosd 合力的功合力的功 = = 分力的功的代数和分力的功的代数和cosFAsBss

2、dsO 变力的功变力的功rFWdd 功的大小与参照系有关功的大小与参照系有关1J1N m 功的量纲和单位功的量纲和单位tWP 平均功率平均功率 瞬时功率瞬时功率vFtWtWPtddlim0cosvFP 功率的单位功率的单位 （瓦特）瓦特）W10kW131sJ1W1将将 代入，可得合力对小球做的功代入，可得合力对小球做的功6,5,4xyz解解例例1求求ddddxyzAF xF yF z一质点在合力一质点在合力 作用下自坐标原点运动到作用下自坐标原点运动到 处，处， 32(SI)Fxiyjk6m,5m,4mxyz合力合力 对小球做的功。对小球做的功。 F合力对小球做的元功合力对小球做的元功000d

3、dddzxyzxyzAAF xF yF0003 d2 ddxyzx xy yz z质点质点自坐标原点运动到自坐标原点运动到 处的过程中，合力对小球做的功处的过程中，合力对小球做的功 ,x y z2223122xyz2223165481J22A 例例2 质量为质量为 2 kg 的物体由静止出发沿直线运动的物体由静止出发沿直线运动, ,作作用在物体上的力为用在物体上的力为 F = 6 t (N) . .试求在开始试求在开始 2 秒内秒内, ,此力此力对物体作的功对物体作的功. .tmFaxx3taddvtt0d3dtvxv025 . 1 txvtt.d51dd2tvxx(J) 0 .36d9d20

4、3ttxFW解解: :解解2d4 dxttd80dxxFmttvd0dyyFmtvddxyAF xF y231320 d1200 Jtt在质点从在质点从 y1 = 16m 到到 y2= 32m 的过程中，外力做的功。的过程中，外力做的功。求求例例3 质量为质量为10kg 的质点，在外力作用下做平面曲线运动，速度为的质点，在外力作用下做平面曲线运动，速度为2416t ijvvvv, ,开始时质点位于坐标原点。开始时质点位于坐标原点。2d4dxxttv由由有有d16dyytv由由有有d16dyt16yt116my 积分可得积分可得积分上下限？积分上下限？d16dyt11st 232my 22st

5、（1 1） 万有引力作功万有引力作功以以 为参考系，为参考系， 的的位置矢量为位置矢量为 . . rmm二二 万有引力、重力、弹性力作功的特点万有引力、重力、弹性力作功的特点 对对 的万有引力为的万有引力为mmr2ermmGFrFWddrermmGdr2m移动移动 时，时， 作元功为作元功为 Frd)(tr)d(ttr rdmOmABr 方向的方向的单位矢量单位矢量)()(ABrmmGrmmGWBArrrrmmGWd2rreredcosddrrBArermmGrFWddr2)(tr)d(ttr rdmOmAB)(tr)d(ttrrddr0dymgWj yi xrddd)(ABmgymgyjmg

6、PymgrPWBAyyBAdd （2） 重力作功重力作功ABAyByPOxyrdDC0d xkxWikxFBABAxxxxxkxxFWdd)2121(22ABkxkxW（3） 弹性力作功弹性力作功AxBxFxOFxxdWdOAxBxF 保守力：保守力： 力所作的功与路径无关力所作的功与路径无关，仅决定于相，仅决定于相互作用质点的互作用质点的始末始末相对相对位置位置 . .三三 保守力和非保守力保守力和非保守力)2121(22ABkxkxW)()(ABrmmGrmmGW)(ABmgymgyW重力功重力功弹力功弹力功引力功引力功ADBACBrFrFd d ABCDABCD 非保守力：力所作的功与路

7、径有关（例如非保守力：力所作的功与路径有关（例如摩擦摩擦力）力）. . 物体沿物体沿闭合闭合路径运动一周时路径运动一周时, , 保守力对它所作的功等于零保守力对它所作的功等于零 . .0d lrFBDAACBlrFrFrFd d dABCDADBACBrFrFd d 四四 势能势能 势能曲线势能曲线 势能势能 与物体间相互作用及相对位置有关的能量与物体间相互作用及相对位置有关的能量 . . P1p2p)(EEEW 保守力的功保守力的功弹性弹性势能势能2p21kxE引力引力势能势能rmmGEp重力重力势能势能mgzE p)2121(22ABkxkxW弹力弹力功功)()(ABrmmGrmmGW引力

8、引力功功)(ABmgymgyW重力重力功功 势能具有势能具有相对相对性，势能性，势能大小大小与势能与势能零点零点的选取的选取有关有关 . .),(ppzyxEE 势能是势能是状态状态函数函数 势能是属于势能是属于系统系统的的 . .讨论讨论 势能计算势能计算pp0p)(EEEW),(),(cp000d),(zyxzyxrFzyxE0),(0000pzyxE若令若令pEyOmgyEp弹性弹性势能曲线势能曲线0, 0pEx重力重力势能曲线势能曲线0, 0pEy引力引力势能曲线势能曲线0,pErxOpE2p21kxExOpErmmGEp 势能曲线势能曲线: : 由势能函数确定的势能随坐标变化的曲线由

9、势能函数确定的势能随坐标变化的曲线. .一一 质点的动能定理质点的动能定理21222121dddd2121vvvvvvvvvmmmstmW 动能（动能（状态状态函数函数）mpmE22122kvtmFddtvsFrFrFWdddtt 动能定理动能定理k1k2EEW 合合外力对外力对质点质点所作的功所作的功, ,等于质点动能的等于质点动能的增量增量 . . 功和动能都与功和动能都与 参考系参考系有关；动能定理有关；动能定理仅适用于仅适用于惯性系惯性系 . .注意注意4.2 动能动能 动能定理动能定理二二 质点系的动能定理质点系的动能定理 质点系质点系动能定理动能定理 0kkinexEEWW1m2m

10、imexiFiniF内力可以改变质点系的动能内力可以改变质点系的动能注意注意0kk0kkinexEEEEWWiiiiiiii 对质点系，有对质点系，有0kkinexiiiiEEWW 对第对第 个质点，有个质点，有i外外力功力功内内力功力功一轻弹簧的劲度系数一轻弹簧的劲度系数 k = 100N/m，用手推一质量，用手推一质量 m = 0.1 kg的物的物体把弹簧压缩到距平衡位置为体把弹簧压缩到距平衡位置为 x1 = 0.02 m 处，如图所示。处，如图所示。 放手放手后，物体沿水平面移动到后，物体沿水平面移动到 x2= 0.1m 而停止。而停止。放手后，物体运动到放手后，物体运动到 x1 处和弹

11、簧分离。在整个过程中处和弹簧分离。在整个过程中解解例例物体与水平面间的滑动摩擦系数。物体与水平面间的滑动摩擦系数。求求2112kx2mgx摩擦力作功摩擦力作功弹簧弹性力作功弹簧弹性力作功2122kxmgx2121002kxmgx根据动能定理有根据动能定理有x1x22100 0.020.202 0.1 9.8 0.1)()(0p0kpkinncexEEEEWW机械能机械能pkEEE质点系动能定理质点系动能定理 0kkinexEEWW非非保守保守力的功力的功inncincininWWWWii)()(0pp0ppincEEEEWiiii0inncexEEWW三三 质点系的功能原理质点系的功能原理 质

12、点系的功能原理质点系的功能原理：质点系机械能的增量等于质点系机械能的增量等于外力和非保守内力作功之和外力和非保守内力作功之和 . .pkEE)(0pp0kkEEEE当当0inncexWW0EE 时，时，有有)()(0p0kpkinncexEEEEWW 功能原理功能原理四四 机械能守恒定律机械能守恒定律 机械能守恒定律机械能守恒定律: :只有保守内力作功的情况下，质只有保守内力作功的情况下，质点系的机械能保持不变点系的机械能保持不变 . . 守恒定律的守恒定律的意义意义 不究过程细节而能对系统的状态下结论，这是各不究过程细节而能对系统的状态下结论，这是各个守恒定律的特点和优点个守恒定律的特点和优

13、点 . . 如图所示的系统如图所示的系统, , 物体物体 A、B 置于光滑的桌面置于光滑的桌面上上, , 物体物体 A 和和 C, , B和和 D 之间摩擦因数均不为零之间摩擦因数均不为零, , 首先用外力沿水平方向相向推压首先用外力沿水平方向相向推压 A 和和 B, ,使弹簧压使弹簧压缩缩, ,后拆除外力后拆除外力, ,则则 A 和和 B 弹开过程中弹开过程中, ,对对 A、B、C、D 组成的系统组成的系统 讨论讨论（A）动量守恒，机械能守恒动量守恒，机械能守恒 （B）动量不守恒，机械能守恒动量不守恒，机械能守恒 （C）动量不守恒，机械能不守恒动量不守恒，机械能不守恒 （D）动量守恒，机械能

14、不一定守恒动量守恒，机械能不一定守恒 DBCADBCA质量为质量为m的小车，无摩擦地沿着图示轨道滑动。的小车，无摩擦地沿着图示轨道滑动。小车在最高点不脱离轨道的临界小车在最高点不脱离轨道的临界条件是：条件是：N = 0 ，则，则由牛顿第二定律写出小车在轨道最高由牛顿第二定律写出小车在轨道最高点的动力学方程点的动力学方程解解根据机械能守恒定律：根据机械能守恒定律：例例欲使小车在轨道内全程不出轨，问小车至少应从多高的地方欲使小车在轨道内全程不出轨，问小车至少应从多高的地方滑下？滑下？求求HRmg2BmgNmRv2BBmgmgRRvv211522222BgRBmgHmg RmHRRR vvB* 四四

15、 宇宙速度宇宙速度 牛顿的牛顿的自然哲学的数学原理自然哲学的数学原理插图，抛体插图，抛体的运轨的运轨迹取决于抛体的初速度迹取决于抛体的初速度设设: :地球质量地球质量 mE , , 抛体质量抛体质量 m , ,地球半径地球半径 REvh 解解: : 取抛体和地球为一系取抛体和地球为一系统统 ，系统的机械能，系统的机械能 E 守恒守恒 . .( (1) ) 人造地球卫星人造地球卫星 第一宇宙速度第一宇宙速度 第一宇宙速度第一宇宙速度v1，是在地面上发射人造地球卫星所是在地面上发射人造地球卫星所需的最小速度需的最小速度 . .)(21EE21RmmGmEv)(21EE2hRmmGmv解得解得hRG

16、mRGmEEEE12vvh)(21)(21EE2EE21hRmmGmRmmGmEvv2EEE2)(hRmmGhRmv由牛顿第二定律和万有引力定律得由牛顿第二定律和万有引力定律得2EERGmg )2(EEE1hRRgRv地球表面附近地球表面附近hRE故故E1gRvm/s109 . 731v计算得计算得第一宇宙速度第一宇宙速度 我国我国1977年发年发射升空的东方红三射升空的东方红三号通信卫星号通信卫星神舟六号飞船神舟六号飞船0)(21EE22RmmGmEvvh（2） 人造行星人造行星 第二宇宙速度第二宇宙速度 第二宇宙速度第二宇宙速度v2 ，是，是抛体脱离地球引力所需的最小抛体脱离地球引力所需的

17、最小发射速度发射速度 . .0;0, vFr当当若此时若此时则则EEE222gRRGmvkm/s2 .112v第二宇宙速度第二宇宙速度 设设: : 地球质量地球质量 mE , , 抛体质量抛体质量 m , , 地球半径地球半径 RE . . 取抛体和地球为一系统取抛体和地球为一系统 , , 系统的机械能系统的机械能 E 守恒守恒 . .( (3) ) 飞出太阳系飞出太阳系 第三宇宙速度第三宇宙速度 第三宇宙速度第三宇宙速度v3 ，是，是抛体脱离太阳引力所需的最小抛体脱离太阳引力所需的最小发射速度发射速度 . .取地球为参考系取地球为参考系, ,由机械能由机械能守恒得守恒得2EE2321)(21

18、vvmRmmGm 取抛体和地球为一系统取抛体和地球为一系统，抛体抛体首先要首先要脱离地球引脱离地球引力的束缚力的束缚, ,其相对于地球的速率为其相对于地球的速率为 . .v 设设: : 地球质量地球质量 mE , , 抛体质量抛体质量 m , , 地球半径地球半径 RE , , 太阳质量太阳质量mS ，抛体和太阳相距，抛体和太阳相距 RS . .地球地球为参考系为参考系2EE2321)(21vvmRmmGm取取太阳太阳为参考系为参考系, ,抛体抛体相对于太阳的速度为相对于太阳的速度为 . .3 vE3vvv则则若若 与与 同向同向, ,有有E vvE3vvv地球相对于太阳的速度地球相对于太阳的速度要要脱离太阳引力，机械能至少为零脱离太阳引力，机械能至少为零0)(21pkSS23EERmmGmEv21SS3)2(RGmv则则 设设: :地球绕太阳轨道近似为一圆，由于地球绕太阳轨道近似为一圆，由于 与与 同向同向,