人教A第二章学案4平面向量的基本定理、平面向量的正交分解及坐标表示、平面向量的坐标运算

1、开始开始 学点一学点一学点二学点二1.平面向量基本定量：如果平面向量基本定量：如果e1,e2是同一平面内的是同一平面内的 两个两个向量向量,那么对于这一平面内的任意向量那么对于这一平面内的任意向量a,有且只有一对实数有且只有一对实数1,2,使使 .其中其中,不共线的向量不共线的向量e1,e2叫做叫做表示这一平面内所有向量的一组基底表示这一平面内所有向量的一组基底.不共线不共线a=1e1+2e2返回返回 2.平面向量的正交分解平面向量的正交分解把一个向量分解为把一个向量分解为 ，叫做把向量正，叫做把向量正交分解交分解.两个互相垂直的向量两个互相垂直的向量返回返回 3.(1)两个向量和差的坐标运算

2、两个向量和差的坐标运算已知已知a=(x1,y1),b=(x2,y2),则则a+b=(x1i+y1j)+(x2i+y2j)=,即即a+b= .同理可得同理可得a-b= .这就是说，两个向量和这就是说，两个向量和(差差)的坐标分的坐标分别等于别等于 .(2)数乘向量和坐标运算数乘向量和坐标运算a=(x1i+y1j)=，即，即a= .这就是这就是说，实数与向量的积的坐标等于说，实数与向量的积的坐标等于 .(3)向量向量AB的坐标表示的坐标表示若已知若已知A(x1,y1),B(x2,y2),则则AB= .即一个向量的即一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的坐标等于表示此向量的有向线段的 .终点的坐标

3、减去始点的坐标终点的坐标减去始点的坐标(x1+x2)i+(y1+y2)j(x1-x2,y1-y2)=(x1+x2,y1+y2)这两个向量相应坐标的和（差）这两个向量相应坐标的和（差） x1i+y1j=(x1,y1)用这个实数乘原来向量的相应坐标用这个实数乘原来向量的相应坐标(x2-x1,y2-y1)返回返回 学点一学点一 用基底表示平面内的向量用基底表示平面内的向量返回返回 返回返回 返回返回 【评析【评析】AB=CB-CA=e1-e2,AM= AB= (e1-e2)=MN=NP,CM=CA+AM=e2+ (e1-e2)= e1+ e2,CN=CM+MN= e1+ e2+ (e1-e2)= e

4、1+ e2,CP=CN+NP= e1+ e2+ (e1-e2)= e1+ e2.414141414341434121212121414143如图所示，已知如图所示，已知中，顺次是中，顺次是BA的四的四等分点，等分点，e1,CA=e2,试以试以(e1,e)为基底表示为基底表示CM,CN,CP.返回返回 已知已知a=(2,1),b=(-3,4).求：求：（1）3a+4b;（2）a-3b;（3） a - b.【分析【分析】根据向量坐标运算公式计算根据向量坐标运算公式计算.【解析【解析】（1）3a+4b=3(2,1)+4(-3,4)=(6,3)+(-12,16)=(-6,19).（2）a-3b=(2,

5、1)-3(-3,4)=(2,1)-(-9,12)=(11,-11).（3） a- b= (2,1)- (-3,4)=（1, ）-（- ,1）=（ ,- ）.21412141214121434721学点二学点二 平面向量的坐标运算平面向量的坐标运算【评析】（【评析】（1）向量的坐标运算主要是用加、减、数乘运算）向量的坐标运算主要是用加、减、数乘运算法则进行法则进行.（2）若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出）若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，解题过程中要注意方程思想的运用及正确使向量的坐标，解题过程中要注意方程思想的运用及正确使用运算法则用运算法则.返回返回 已知已知b=(-3

6、,4),c=(-1,1)，且，且a=3b-2c.若若a=AB,且且B(1,0). 求点求点A的坐标的坐标.b=(-3,4),c=(-1,1)，a=3b-2c=3(-3,4)-2(-1,1)=(-9,12)-(-2,2)=(-9+2,12-2)=(-7,10).设设A点坐标为点坐标为(x,y)，又，又B(1,0),AB=(1-x,0-y)=(-7,10). 1-x=-7 x=8 0-y=10 y=-10.即即A点的坐标为点的坐标为(8,-10).返回返回 1.学习平面向量基本定理应注意些什么学习平面向量基本定理应注意些什么?(1)e1,e2是同一平面内两个不共线的向量是同一平面内两个不共线的向量

7、. (2)该平面内的任意向量该平面内的任意向量a都可用都可用e1,e2线性表示线性表示,且这种表示是且这种表示是唯一的唯一的. (3)基底的选取不唯一基底的选取不唯一,只要是同一平面内的两个不共线向量只要是同一平面内的两个不共线向量都可以作为一组基底都可以作为一组基底. (4)定理的证明定理的证明,教材是用作图法证明存在性教材是用作图法证明存在性,用反证法证明唯用反证法证明唯一性一性.返回返回 2.向量的正交分解与向量的坐标的关系是怎样的？应注意什么向量的正交分解与向量的坐标的关系是怎样的？应注意什么问题？问题？ 设向量设向量a沿单位正交基底沿单位正交基底i,j分解的线性表示为分解的线性表示为

8、a=xi+yj,于是实数于是实数对对x,y唯一确定，把唯一确定，把(x,y)叫做向量叫做向量a的坐标的坐标.可见，向量可见，向量a的坐标的坐标实质上是实质上是a的正交分解的系数的正交分解的系数.学习向量的正交分解与向量的坐学习向量的正交分解与向量的坐标应注意以下问题：标应注意以下问题：（1）把点的坐标与向量的坐标区别开来，把点的坐标与向量的坐标区别开来，相等的向量的坐标是相同的，但起点、终点的坐标可以不同相等的向量的坐标是相同的，但起点、终点的坐标可以不同.（2）两个向量两个向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),a=bx1=x2,y1=y2.（3）在书在书写向量的坐标时，注意与点的坐标的

9、区别与联系写向量的坐标时，注意与点的坐标的区别与联系.向量向量a=(x,y)中间用等号连接，而一个点的坐标中间用等号连接，而一个点的坐标A(x,y)中间没有等号，如中间没有等号，如A(4,8),B(6,5),a=(3,5)等等.（4）向量有两种表示方法：一种是几向量有两种表示方法：一种是几何法，即用向量的长度和方向表示，另一种是坐标法，即用何法，即用向量的长度和方向表示，另一种是坐标法，即用一对有序实数表示一对有序实数表示.有了向量坐标法表示，就可以将几何问题有了向量坐标法表示，就可以将几何问题转化为代数问题来解决转化为代数问题来解决.返回返回 3.如何掌握向量的直角坐标运算？应注意什么问题？

10、如何掌握向量的直角坐标运算？应注意什么问题？设设a=(a1,a2),b=(b1,b2)，则，则a+b=(a1+b1,a2+b2),a-b=(a1-b1,a2-b2),a=(a1,a2).两个向量的和与差的坐标等于两个向量相应坐标的和与差，两个向量的和与差的坐标等于两个向量相应坐标的和与差，数乘向量积的坐标等于数乘以向量相应坐标的积数乘向量积的坐标等于数乘以向量相应坐标的积.应注意以下几点应注意以下几点:（1）两向量的坐标相同时，两个向量相等，两向量的坐标相同时，两个向量相等，但是它们的起点和终点的坐标却不一定相同，如但是它们的起点和终点的坐标却不一定相同，如A(3,5),B(6,8),C(-5

11、,3),D(-2,6)，则，则AB=(3,3),CD=(3,3),显然显然AB=CD，但，但A，B，C，D各点的坐标却不相同各点的坐标却不相同.（2）在平面在平面直角坐标系中，给出了向量的坐标，将向量的运算代数化，直角坐标系中，给出了向量的坐标，将向量的运算代数化，同时也给出一种用向量运算解决问题的方法同时也给出一种用向量运算解决问题的方法向量坐标法向量坐标法.（3）一个向量的坐标等于向量终点的坐标减去始点的坐标，一个向量的坐标等于向量终点的坐标减去始点的坐标，不能记错不能记错.返回返回 1.平面向量基本定理告诉我们平面向量基本定理告诉我们,平面内任何一个向量都可平面内任何一个向量都可以沿着两

12、个不共线的方向分解成两个向量的和以沿着两个不共线的方向分解成两个向量的和,并且这种并且这种分解是唯一的分解是唯一的.2.平面向量基本定理中平面向量基本定理中“同一平面内两个不共线的向量同一平面内两个不共线的向量e1,e2”叫做基底叫做基底,基底的条件是在同一平面内不共线基底的条件是在同一平面内不共线,即同即同一平面内的两个向量一平面内的两个向量e1,e2只要不共线即可作为基底只要不共线即可作为基底,换句换句话说话说,平面内向量的基底不唯一平面内向量的基底不唯一,那么同一平面内任何一那么同一平面内任何一组不共线的向量都可作为表示这一平面内的所有向量的组不共线的向量都可作为表示这一平面内的所有向量

13、的基底基底.3.由于零向量可看成与任何向量共线由于零向量可看成与任何向量共线,所以零向量不可以所以零向量不可以作为基底作为基底.返回返回 4.在平面直角坐标系中，以原点为起点的向量在平面直角坐标系中，以原点为起点的向量OA=a，点，点A的的位置被向量位置被向量a唯一确定，此时点唯一确定，此时点A的坐标与向量的坐标与向量a的坐标统一的坐标统一为为(x,y) 5.两个向量相等等价于它们对应的坐标相等两个向量相等等价于它们对应的坐标相等.返回返回 6.建立平面向量的坐标，基础是平面向量的基本定理及建立平面向量的坐标，基础是平面向量的基本定理及正交分解，对所给向量应会根据条件在正交分解，对所给向量应会根据条件在x轴和轴和y轴进行分轴进行分解求出其坐标解求出其坐标.7向量的坐标表示，实际是向量的代数表示，在引入向向量的坐标表示，实际是向量的