几何平均数与算术平均数

1、-利用均值不等式求最值利用均值不等式求最值授课人:张旭辉复习引入复习引入定理定理:两个正数的算术平均数不小于它们的两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数几何平均数(简称均值不等式简称均值不等式). ”号号）时时取取“（当当且且仅仅当当为为正正数数，那那么么即即如如果果 baabbaba2,新课讲解新课讲解一一. .提出问题提出问题(1)xy=p(p为定值),求x+y的最小值,并指出取最小值的条件;(2)已知x+y=s (s为定值),求xy的最大值,并指出取最大值的 条件.思路思路: (1)构造函数构造函数,利用函数单调性求解利用函数单调性求解 (2)利用均值不等式利用均值不等式新课讲解新课

2、讲解二二. .解决问题解决问题方法一：函数方法 上上单单调调递递减减。，上上单单调调递递减减，在在，在在容容易易证证明明函函数数记记 ppxfxxpxxfxpxyxxpxy0)(),0()(),0()1(.2,2)(minminpyxpyxpyppppxfpx ）（时时，即即此此时时时时，当当且且仅仅当当 4S,2,2,4)(,2,2242S)()0)()(),(0,0,0)2(2max2max2 xySyxSySxgSxSxSxxxgSxxSxxgxSxxySxyxSyx时时即即此此时时时时当当且且仅仅当当又又记记且且则则且且方法二：用均值不等式新课讲解新课讲解.2,2,2,2,) 1 (p

3、yxyxyxpyxpyxpxyxyyxyx有最小值和时故当号取时当且仅当上式中即有为定值时当积都是正数.4,4,),(2,2, 0, 0)2(222SxyyxyxSxySyxyxyxxyxyyxyx有最大值积时故当号时取当且仅当上式中有为定值时当和号取时当且仅当即思考思考: : 法二的好处法二的好处新课讲解新课讲解.1. 2810. 122的值域的值域求函数求函数少？少？的值最小？最小值是多的值最小？最小值是多取什么值时，取什么值时，当，当已知已知xxyxxxx .18813.3,81,1881281. 081, 00. 12222222222的值最小，其最小值是的值最小，其最小值是时，时，故

4、故”号”号时取“时取“即即当且仅当当且仅当解：解：xxxxxxxxxxxxx .22. 2)1(212)1()(,)1()(0)1(21210. 2 ，为为综综上上可可得得原原函函数数的的值值域域，所所以以”号号时时取取“当当且且仅仅当当）（）（又又因因为为时时，当当；”号号时时取取“当当且且仅仅当当时时，解解：当当yxxxxxxxyxxxxxxyx新课讲解新课讲解的的最最大大值值？，求求函函数数，设设)31()310(. 3xxyx .212. 422的的最最小小值值求求函函数数 xxy利用均值不等式求最值应注意三点：利用均值不等式求最值应注意三点： ）条件（或目标）式中各项必须都是）条件（

5、或目标）式中各项必须都是正数正数; )目标式中含变数的各项的和或积必须是目标式中含变数的各项的和或积必须是定值定值 （常数）；（常数）； ）等号等号成立的条件必须存在成立的条件必须存在. 新课讲解新课讲解简记为简记为 “一正、二定、三相等一正、二定、三相等”新课讲解新课讲解三三. .拓展问题拓展问题.19)(1的最小值，求例：设xxxgx 分析分析在上面三个条件中，积为定值这一条件不满足，因此，我们在上面三个条件中，积为定值这一条件不满足，因此，我们结合式子结构的特点进行拼凑：结合式子结构的特点进行拼凑： 1191xxxg01, 1xx解：7119) 1(2119) 1()(xxxxxg4,19101xxxx即是上式中等号成立的条件.1)2)(5(1的最小值的最小值，求函数，求函数巩固题：设巩固题：设 xxxyx. 7)(4minxgx时，当 利用均值不等式求最值应具备三个条件，利用均值不等式求最值应具备三个条件，简单概括就是三个字简单概括就是三个字：正、定、等正、定、等正：正：两项必须都是正数；两项必须都是正数； 定：定：求两项和的最小值，它们的积应为定值；求两项和的最小值，它们的积应为定值；求两项积的最大值，它们的和应为定值。求两项积的最大值，它们的和应为