高数B第一章-5课件

1、高等数学高等数学下页结束返回温故而知新温故而知新什么是水平渐近线？还有什么样什么是水平渐近线？还有什么样的渐近线？的渐近线？高等数学高等数学下页结束返回回顾回顾1.函数极限的四则运算法则函数极限的四则运算法则定理一及推论的使用基础：极限存在。定理一及推论的使用基础：极限存在。对有理函数，不涉及分母极限为零时，定对有理函数，不涉及分母极限为零时，定理一及推论的使用。（代入）理一及推论的使用。（代入）对有理函数，当分母极限为零时，定理一对有理函数，当分母极限为零时，定理一及推论的使用。及推论的使用。对有理函数，当对有理函数，当,时时 x极限的计算。极限的计算。高等数学高等数学下页结束返回2.函数极

2、限的复合运算法则函数极限的复合运算法则3.两个重要极限两个重要极限0sinlim1uuu e1lim 1uuu e10lim 1uuu 或或或或？高等数学高等数学下页结束返回 第一章 二、二、 无穷小的比较无穷小的比较 三三 、无穷大量、无穷大量一、一、 无穷小量无穷小量 第四节 无穷小量与无穷大量下页高等数学高等数学下页结束返回阿基里斯是古希腊神话中善跑的英雄。在他和乌龟的竞赛阿基里斯是古希腊神话中善跑的英雄。在他和乌龟的竞赛中，乌龟在前面跑，他在后面追，但他不可能追上乌龟。中，乌龟在前面跑，他在后面追，但他不可能追上乌龟。 因为在竞赛中，追者首先必须到达被追者的出发点，因为在竞赛中，追者首

3、先必须到达被追者的出发点，当阿基里斯追到乌龟的的起点时，乌龟已经又向前爬了一当阿基里斯追到乌龟的的起点时，乌龟已经又向前爬了一定的距离，于是，一个新的起点产生了；阿基里斯必须继定的距离，于是，一个新的起点产生了；阿基里斯必须继续追，而当他追到乌龟这个新的起点时，乌龟又已经向前续追，而当他追到乌龟这个新的起点时，乌龟又已经向前爬了一段距离，阿基里斯只能再追向那个更新的起点。就爬了一段距离，阿基里斯只能再追向那个更新的起点。就这样，乌龟会制造出无穷个起点，它总能在起点与自己之这样，乌龟会制造出无穷个起点，它总能在起点与自己之间制造出一个距离，不管这个距离有多小，但只要乌龟不间制造出一个距离，不管这

4、个距离有多小，但只要乌龟不停的奋力向前爬，阿基里斯就永远也追不上乌龟！停的奋力向前爬，阿基里斯就永远也追不上乌龟！芝诺悖论芝诺悖论高等数学高等数学下页结束返回一一、无穷小量、无穷小量 如果函数如果函数f(x)当当xx0(或或x)时的极限为零时的极限为零 那么称函数那么称函数f(x)为当为当xx0(或或x)时的无穷小时的无穷小 1.无穷小的定义无穷小的定义 很小很小的数是否是无穷小？很小很小的数是否是无穷小？提示提示 无穷小是这样的函数无穷小是这样的函数 在在xx0(或或x)的的过程中过程中 极限为零极限为零 很小很小的数很小很小的数 作为常数函作为常数函数在自变量的任何变化过程中数在自变量的任

5、何变化过程中 其极限就是这其极限就是这个常数本身个常数本身 讨论 高等数学高等数学下页结束返回例1 因为01limxx 所以函数因为因为0) 1(lim1 - -xx 所以函数所以函数为为x- -1当当 x1 时时的的无穷小无穷小 因为因为011lim nn 所以函数所以函数x1为为当当 x 时时的的无穷小无穷小 所以数列所以数列11 n为为当当 n 时时的的无穷小无穷小 但是函数但是函数在在x1时时不是不是无穷小无穷小 x1x- -1但是函数但是函数当当x1 1时时不是不是无穷小无穷小 高等数学高等数学下页结束返回思思考考题题 下下面面说说法法是是否否正正确确 1 1、无无穷穷小小是是比比任

6、任何何数数都都小小的的数数。2 2、无无穷穷小小是是最最小小的的数数。3 3、无无穷穷小小就就是是0 0。4 4、0 0是是无无穷穷小小。高等数学高等数学下页结束返回2、无穷小与函数极限的关系、无穷小与函数极限的关系:证明证明 必要性必要性充分性充分性 )(lim)(lim00 xAxfxxxx 则则)(lim0 xAxx .A 定理定理 1),()(xAxf )(lim0Axfxx 其中其中 )(x 是当是当 0 xx 时的无穷小时的无穷小 .,)(lim0Axfxx 设设 ,)()(Axfx- - 令令 , 0)(lim0 xxx则有则有 ).()(xAxf ),()(xAxf 设设 ,时

7、的无穷小时的无穷小 )(0是当是当 其中其中 xxx 高等数学高等数学下页结束返回证明证明: 设设 及及 是当是当xx0时的两个无穷小时的两个无穷小 则则 0 1 0 当当0 |x- -x0| 1 时时 有有| | 2 0 当当0 |x- -x0| 2 时时 有有| | 取取 min 1 2 则当则当0 |x- -x0| 时时 有有 这说明这说明 也是当也是当xx0时的无穷小时的无穷小 | | | | | | 2 定理定理2 有限个无穷小的和与积也是无穷小有限个无穷小的和与积也是无穷小 、无穷小的性质、无穷小的性质 仅就两个仅就两个xx0时的无穷小之和证明时的无穷小之和证明 高等数学高等数学下

8、页结束返回 设函数设函数u在在x0的某一去心邻域的某一去心邻域x|0 |x- -x0| 1内有界内有界 即即 M 0 使当使当0 |x- -x0| 1时时 有有|u| M 又设又设 是当是当xx0时的无穷小时的无穷小 即即 0 存在存在 2 0 使当使当0 |x- -x0| 2时时 有有| | 取取 min 1 2 则当则当0 |x- -x0| 时时 有有 |u | |u| | | M 这说明这说明u 也是当也是当xx0时的无穷小时的无穷小 证明证明 定理定理3 有界函数与无穷小的乘积是无穷小有界函数与无穷小的乘积是无穷小 高等数学高等数学下页结束返回推论推论1 常数与无穷小的乘积是无穷小常数

9、与无穷小的乘积是无穷小 oyx例1. 求求.sinlimxxx解: 1sinx01limxx利用定理利用定理2 2，可知，可知 .0sinlimxxxxxysin说明说明 : y = 0 是是 xxysin的水平渐近线的水平渐近线. . 第一个重要极限？第一个重要极限？高等数学高等数学下页结束返回思考题思考题1 1、无无限限多多个个无无穷穷小小之之和和是是否否还还是是无无穷穷小小？（不一定）（不一定）2 2、两两个个无无穷穷小小之之商商是是否否是是无无穷穷小小？（不一定）不一定）例1).12111(lim222nnnnn 求求高等数学高等数学下页结束返回二、二、无穷小的比较无穷小的比较（一）无

10、穷小阶的比较无穷小阶的比较（二）等价代换等价代换高等数学高等数学下页结束返回v观察与比较观察与比较观察两个无穷小比值的极限观察两个无穷小比值的极限 两个无穷小比值的极限的各种不同情况两个无穷小比值的极限的各种不同情况 反映了不同的无穷小趋于零的反映了不同的无穷小趋于零的“快慢快慢”程程度度 03lim20 xxx 203limxxx 1sinlim0 xxx （一）无穷小阶的比较无穷小阶的比较高等数学高等数学下页结束返回v无穷小的阶设设 及及 为为同一个自变量的变化过程中的无穷小同一个自变量的变化过程中的无穷小 如果如果0lim 就说就说 是比是比 高阶的无穷小高阶的无穷小 记为记为 o( )

11、 如果如果 lim 就说就说 是比是比 低阶的无穷小低阶的无穷小 如果如果0lim c 就说就说 与与 是同阶无穷小是同阶无穷小 如果如果1lim 就说就说 与与 是等价无穷小是等价无穷小 记为记为 高等数学高等数学下页结束返回v举例所以当所以当x0时时 3x2是比是比x高阶的无穷小高阶的无穷小 例3 例2 因为因为03lim20 xxx 即即3x2 o(x)(x0) 因为因为 211limnnn 所以当所以当 n 时时 n1是比是比21n低阶的无穷小低阶的无穷小 高等数学高等数学下页结束返回所以当所以当x0时时 sin x 与与x是等价无穷小是等价无穷小 例5 所以当所以当x3时时 x2-

12、-9与与x- -3是同阶无穷小是同阶无穷小 例4 因为因为639lim23 - - -xxx 因为因为1sinlim0 xxx 即即sin xx(x0) 高等数学高等数学下页结束返回v关于等价无穷小的定理 定理5 设设 且且 lim存在存在 则则 limlim 定理4 )()()()()(xoxxxx 的高阶无穷小。的高阶无穷小。是是)()()()()(xxxxx- - 高等数学高等数学下页结束返回 求两个无穷小比值的极限时求两个无穷小比值的极限时 分子及分母都可分子及分母都可用等价无穷小来代替用等价无穷小来代替 因此因此 如果用来代替的无如果用来代替的无穷小选取得适当穷小选取得适当 则可使计

13、算简化则可使计算简化 定理5的意义:解 当当x0时时 tan 2x2x sin 5x5x 所以所以 例6 求求xxx5sin2tanlim0 xxx5sin2tanlim052 52lim0 xxx 高等数学高等数学下页结束返回解 例7 3131lim3lim3sinlim202030 xxxxxxxxx3131lim3lim3sinlim202030 xxxxxxxxx3131lim3lim3sinlim202030 xxxxxxxxx3131lim3lim3sinlim202030 xxxxxxxxx 求求xxxx3sinlim30 当当x0时时sin xx 无穷小无穷小x3 3x与它本身

14、显然与它本身显然 是等价的是等价的 所以所以 高等数学高等数学下页结束返回xxxx30sinsintanlim- -21lim22210 xxx?sinsintanlim30 - -xxxx例例8解解xxx20sincos1lim- - xxxxcos1sincos1lim20 - - 高等数学高等数学下页结束返回0limsinsintanlim3030 - - - -xxxxxxxxxxxxxsin,tan,0时时当当 讨论：讨论：?sinsintanlim30 - -xxxx例例8乘法或除法乘法或除法运运注意：无穷小的替换，在注意：无穷小的替换，在中常用，但在加中常用，但在加算算减运算中慎

15、用。减运算中慎用。高等数学高等数学下页结束返回.111xnxn- - .arcsin,tan,sinxxxxxx,2cos12xx- -,)1ln(,1xxxex - -)0 xxx注意：将上述结论中所有 换成（当（时，仍成立。等价无穷小：等价无穷小：时时, ,有下列常用的一些有下列常用的一些当0 x高等数学高等数学下页结束返回2303sinlimsin2xxxxx-2013sincoslim(1 cos )ln(1)xxxxxx201sin1lim1xxxxe-03limsin2xxx03sinlim(1 cos )xxx x201sin2limxxxx高等数学高等数学下页结束返回22sin

16、sinlimxaxaxa-思考与练习(sinsin )(sinsin )lim-xaxaxaxa2sincos(sinsin )22lim-xaxaxaxaxasin2limcos(sinsin )22-xaxaxaxaxasin2a高等数学高等数学下页结束返回limsinnnnlimnnn0高等数学高等数学下页结束返回三三、无穷大量、无穷大量 如果当如果当xx0(或或x)时时 对应的函数值的绝对应的函数值的绝对值对值|f(x)|无限增大无限增大 那么称函数那么称函数f(x)为为xx0(或或x)时的无穷大时的无穷大 记为记为 . .无穷大的定义无穷大的定义 )(lim0 xfxx(或)(lim

17、xfx) 高等数学高等数学下页结束返回讨论：讨论：无穷大的精确定义如何叙述？很大很大无穷大的精确定义如何叙述？很大很大的数是否是无穷大的数是否是无穷大?精确定义 )(lim0 xfxxM0 0 当0|x-x0| 时有| f(x)|M 说明: 当当xx0(或或x)时为无穷大的函数时为无穷大的函数f(x) 按函数极限定义来说按函数极限定义来说 极限是不存在的极限是不存在的 但为了但为了便于叙述函数的这一性态便于叙述函数的这一性态 我们也说我们也说“函数的极函数的极限是无穷大限是无穷大” 高等数学高等数学下页结束返回正无穷大与负无穷大 )(lim)( 0 xfxxx-)(lim)( 0 xfxxx例

18、如例如, , xxtanlim2 - xxtanlim2 - -xxtanlim2 - xxlnlim02limxxe xxelim高等数学高等数学下页结束返回注意注意:1).无穷大是变量无穷大是变量,不能与很大的数混淆不能与很大的数混淆;2). 函数为无穷大函数为无穷大 , 必定无界必定无界 . 但反之不真但反之不真 !例如例如, ,函数函数),(,cos)( - xxxxf )2( nf)( n n2但但0)(2 nf所以所以x时时 , ,)(xf不是无穷大不是无穷大! !oxyxxycos高等数学高等数学下页结束返回v铅直渐近线 11-xy1形的铅直渐近线形的铅直渐近线 例9 证明： 当当0 |x- -1| 时时 有有 铅直渐近线铅直渐近线水平渐近线水平渐近线证明证明 - -11lim1xx 因为因为 M 0 M1 所所 以以 - -11lim1xx Mx - -|11| 如果如果 )(lim0 xfxx则称直线则称直线 0 xx是函数是函数 y f(x)的图的图 x=1高等数学高等数学下页结束返回21( )f xx 铅直渐近线是铅直渐近线是直线直线x=0高等数学高等数学下页结束返回若若)(xf为无穷大为无穷大, )(1xf为无穷小为无穷小;若若)(xf为无穷小为无穷小, 且且 ,0)(