二随机变量1大学数学概率统计

1、1 离散型随机变量及其分布律离散型随机变量及其分布律 连续型随机变量连续型随机变量随机变量及其分布函数随机变量及其分布函数实例实例1 在一装有红球、白球的袋中任摸一个球在一装有红球、白球的袋中任摸一个球,观察摸出球的颜色观察摸出球的颜色.S=红色、白色红色、白色 非数量非数量将将 S 数量化数量化 ?可采用下列方法可采用下列方法 S红色红色 白色白色)(eXR10即即有有 X (红色红色)=1 , ., 0, 1)(白色白色红色红色eeeXX (白色白色)=0.这样便将非数量的这样便将非数量的 S=红色，白色红色，白色 数量化了数量化了.实例实例2 抛掷骰子抛掷骰子,观察出现的点数观察出现的点

2、数., 3) 3(, 2) 2(, 1) 1 ( XXX, 6)6(, 5)5(, 4)4( XXX).6 , 5 , 4 , 3 , 2 , 1(,61 iiXPS=1，2，3，4，5，6样本点本身就是数量样本点本身就是数量恒等恒等变换变换且有且有eeX )(则有则有下图给出样本点下图给出样本点w w与实数与实数X X (w w )对应的示意图对应的示意图 W1w2w3wx2.1 随机变量及其分布随机变量及其分布例例 (1)(1)随机地掷一颗骰子，随机地掷一颗骰子，表示所有的样本点表示所有的样本点, ,: : 出现出现1 1点点 出现出现2 2点点 出现出现3 3点点 出现出现4 4点点 出

3、现出现5 5点点 出现出现6 6点点X X(): 1 2 3 4 5 6(): 1 2 3 4 5 6 (2)(2)某人接连不断地对同一目标进行射击某人接连不断地对同一目标进行射击, ,直至射中为直至射中为止，止，表示射击次数，则表示射击次数，则 射击射击1 1次次 射击射击2 2次次 . . 射击射击n n次次 .X() 1 2 . n . X() 1 2 . n . (3) (3) 某车站每隔某车站每隔1010分钟开出一辆公共汽车分钟开出一辆公共汽车, ,旅客在任意旅客在任意时间到达车站时间到达车站,表示该旅客的候车时间表示该旅客的候车时间, , 候车时间候车时间X() 0, 10X()

4、0, 10一、随机变量的概念一、随机变量的概念等表示。、丁字母、或大写的拉一般用希腊字母、随机变量称之为上的单值函数得到一个定义在这样就与之对应有一个实数中每一个元素如果对空间为是随机试验，它的样本设ZYXeXXeXeE.),(,)(, WWW定义定义2.1。注意注意 随机变量是一个实值单值函数，它与微积分随机变量是一个实值单值函数，它与微积分中讨论的函数有别。中讨论的函数有别。随机变量是定义在样本空间随机变量是定义在样本空间上的，而不一定是实数轴上；上的，而不一定是实数轴上；随机变量取值是随随机变量取值是随机的，它取每一个值都有一定的概率；机的，它取每一个值都有一定的概率；随机变量随机变量是

5、随机事件的数量化。是随机事件的数量化。 按照随机变量取值情况，可以把随机变量分为两类： （1）离散型随机变量只可能取有限个或无限可列个值； （2）非离散型(即连续性)随机变量可以在整个数轴上取值，或至少有部分值取某实数区间的全部值。 第二节第二节 离散型随机变量及其分布离散型随机变量及其分布分布律常用表格分布律常用表格形式表示如下：形式表示如下：X x1x2xkpkp1p2pk定义定义2.2如果随机变量如果随机变量所有的可能取值为有限个或可所有的可能取值为有限个或可数无穷多个，而且以确定的概率取这些不同的值，则数无穷多个，而且以确定的概率取这些不同的值，则称称这种随机变量为这种随机变量为离散型

6、随机变量离散型随机变量。,.2 , 1 kpxXPkk 设离散型随机变量设离散型随机变量X的可能取值为的可能取值为xk (k=1,2,),事事件件 发生的概率为发生的概率为pk ,即即称为称为随机变量随机变量X的概率或分布律的概率或分布律。kxX 上一页上一页下一页下一页返回返回分布律的两条分布律的两条基本性质基本性质： 11)2(kkp0)1( kp, 2 , 1 k上一页上一页下一页下一页返回返回的分布。即写出来描述废品出现的情况用随机变量行检验，从中任意抽取一个进一批产品废品率为例%51列成概率分布表如下：，即”表示“产品是废品”而“，格率，即其概率为这批产品的合”，”表示“产品为合格品

7、两个值。“或取只能表示废品的个数，显然解：这个试验中，用P1%95%510P010 也可以用下面等式来表示： （）（）-（，）1.两点分布两点分布 若在一次试验中若在一次试验中X只可能取只可能取x1 或或x2 两值两值(x1x2),它的概率分布是它的概率分布是则称则称X服从两点分布。服从两点分布。 ,1),(0 121pxXPppxXP kkpxP其概率函数为)2 , 1(k.-分布分布当规定当规定x1=0,x2=1时两点分布称为（时两点分布称为（01）分布。）分布。简记为简记为X(0-1)分布。分布。X 0 1pk 1-p p上一页上一页下一页下一页返回返回kkppk1)1 (P其概率函数为

8、)1 ,0(k 例2 产品有一、二、三等品及废品4种，其一、二、三等品率及废品率分别为60%，10%，20%、10%，任取一个产品检验其质量，用随机变量描述检验结果。 解：令“=k”与产品为“k等品”（k=1,2,3）相对应， “=0”与产品为“废品”相对应。是一个随机变量，它可以取0，1，2，3这4个可能值。则，p(=0)=0.1， p(=1)=0.6， p(=2)=0.1， p(=3)=0.2，列成概率分布表0123p0.2 例3 用随机变量去描述掷一颗骰子的试验情况。 解:令表示掷一颗骰子出现的点数，它可以取1到6共6个自然数，相应概率都是1/6，列成概率分布表： 3.

9、均匀分布123456p1/61/61/61/61/61/6服从离散型均匀分布。，则称时且当），（如果有概率函数：jikxxjinknxp.211 例4 社会上定期发行某种奖券，每券1元，中奖率为p。某人每次购买1张奖券，没有中奖下次再购买1张，直至中奖为止。求该人购买次数的分布。 解：=1表示第一次购买的奖券中奖，以题意p=1=p；=2表示购买两次奖券，但第一次未中奖，其概率为1-p，而第二次中奖，其概率为p。由于各期奖券中奖与否是相互独立的，所以p=2= （1-p ）p； =i表示购买i次，前i-1次都未中奖，而第i次中奖， p=i= （1-p ）i-1p。由此得的概率函数为 p=i= （1

10、-p ）i-1p，（i=1,2,） (*) 称形如(*)式概率函数的随机变量服从几何分布。 例5 盒内装有外形与功率均相同的15个灯泡，其中10个螺口，5个卡口，灯口向下放着。现在需用1个螺口灯泡，从盒中任取一个，如果取到卡口灯泡就不再放回去。求在取到螺口灯泡之前已取出的卡口灯泡数的分布。 解：=0表示第一个就取到了螺口灯泡，=1表示第一个取到卡口灯泡而第二个才取到螺口灯泡，因此p=0=10/15=2/3， p=1=（5/15）(10/14)=5/21，同样方法，可以依次计算出p=k(k=2,3,4,5),列成概率分布表 易见012345p2/35/2120/2735/27310/3003 1

11、/3003501kkp 练习1.一袋中有5只乒乓球，编号为1，2，3，4，5，在其中同时取3只，以X表示取出的3只球中的最大号码，写出随机变量X的分布律. 【解解】353524353,4,51(3)0.1C3(4)0.3CC(5)0.6CXP XP XP X 故所求分布律为X345P 练习2设在15只同类型零件中有2只为次品，在其中取3次，每次任取1只，作不放回抽样，以X表示取出的次品个数，求： X的分布律。 解：313315122133151133150,1,2.C22(0).C35C C12(1).C35C1(2).C35XP XP XP X 故X的分布律为x012p22/35 12/35 1/35 练习3射手向目标独立地进行了3次射击，每次击中率为0.8，求3次射击中击中目标的次数的分布律及分布函数，并求3次射击中至少击中2次的概率. 【解解】设X表示击中目标的次数. 则X=0，1，2，3.31232233(0)(0.2)0.008(1)C 0.8(0.2)0.096(2)C (0.8) 0.20.384(3)(0.8)0.512P XP XP XP X 故X的分布律为x0123p0.0080.0960.3840.