电路学习CH3_2(固有频率)

1、1 电容充电方程状态方程CCssCui RuduiCdtCCsduRCuudt对于齐次方程0CCduRCudt11CCdudtuRC 01lnCCCtduucuRC 111,tstRCCutc ec esRC 对于齐次方程，令 1tRCCutc t e代入非齐次方程00Ctu2 1111121tttRCRCRCstsRCtRCsdcRCecec eudtRCudcedtRCc tcu e 12ttRCRCCsutc t euc e初始条件 00Cu求得：2scu 1tRCCsutue最后得到33.3 低阶网络的分析方法低阶网络的分析方法一 方程的解xybdtdybdtydb01222 齐次解

2、yh(t) 特征方程 : b2s2+b1s +b0 = 0一阶方程 : yh(t) = Kest ( s= - b0 /b1)二阶方程 :yh(t) = K1es1t +K2es2t , Im s1= Im s0=0, s1 s0yh(t) = (K1+ K2 t) est , Im s=0, s1 = s0 = s , yh(t) = (K1sin t + K2cos t) et , s1,2 = j yh(t) = K1sin t + K2cos t, s1,2 = j 43.3 低阶网络的分析方法低阶网络的分析方法一 方程的解（二阶线性非齐次微分方程）22100132,d ydybbb

3、yx b b bdtdt 求齐次方程的通解y221020d ydybbb ydtdt线性齐次微分方程通解的一般形式齐次方程的特征方程根为ste22100b sbsb12,ss为与时间无关的常数5当 ，通解为当 ，通解为 12ss1212s ts tyAeA e 12sss12styAA t e 2 求特解y特解y与激励x具有相同的函数形式，当x为直流激励时，y为一常数4 利用初始条件求系数12,A A010200tyydyydt 3 求解的一般形式 y ty tyt63.3 低阶网络的分析方法低阶网络的分析方法二 解的稳态分量和暂态分量 uC = (U0 US)et/ + US110V+uC2

4、FuC (0+)=5VS0.5HiL (0+)=2AiLRUS+uCCuC (0)=U0SiuC = ( 5 + 4t) e-t + 10iL = (2+8t) e-t齐次解暂态分量 特解稳态分量齐次解暂态响应特解稳态响应7特征方程和通解22100b sbsb根12,s ststseAeAyssss21212121,为实数，和且当121212stsssssyAA t e当，且 和 均为实数，1212,s ssjsj 当为两个虚根，12cossintyAtAt e 12cossinyAtAt 1212,s ssjsj当为共轭复数，93.3 低阶网络的分析方法低阶网络的分析方法二 解的瞬态和稳态分

5、量 uC = (U0 US)et/ + USRUS+uCCuC (0)=U0Si齐次解暂态响应(TSR) 特解 稳态响应(SSR) 由电路决定的(齐次方程，特征根 ）又称：固有响应(natural response NR)电路特征方程的特征根 电路的固有频率TSR: transient state responseSSR: steady state response 特征方程的根s完全由电路元件参数所决定，而与电路的激励和初始状态无关，因此电路特征方程的根反映了电路的固有特性。由于它的倒数具有时间的量纲，所以将s称为电路的固有频率。固有频率和固有响应ttstRCKeKeKettLstRKeKe

6、Ke电容的固有响应电感的固有响应113.3 低阶网络的分析方法低阶网络的分析方法1 一阶网络的固有频率与固有响应C含源电阻网络R+uCC+usL含源电阻网络RiLL+usSCCUudtduRCSLLURidtdiL固有响应: uCNR = Kest iLNR = KestRC串联电路RL串联电路R含源网络的等效内阻123.3 低阶网络的分析方法低阶网络的分析方法特征根: R+uCC+usRiLL+usSCCUudtduRCSLLURidtdiL特征根: 电容电路中，令: =RC 为时间常数量纲：RC ( (时间，时间，T T 秒秒 s)s)电感电路中，令: =L/R=GL 为时间常数量纲：L/

7、R ( (时间，时间，T T 秒秒 s)s) s=-1/ 具有频率量纲，称为电路的固有频率110,RCssRC 0,RLsRsL 133.3 低阶网络的分析方法低阶网络的分析方法电路的固有频率1 一阶网络的固有频率R+uCC+Us固有响应 uCNR = Kest , iLNR = Kest 时间常数 、固有频率 s=-1/ 决定了固有响应 y 衰减的快慢 y=Kest RiLL+usKKsdtdyt00Kty143.3 低阶网络的分析方法低阶网络的分析方法三 电路的固有频率1 一阶网络的固有频率固有响应 uCNR = Kest , iLNR = Kest 时间常数 、固有频率 s=-1/ 决定

8、了固有响应 y 衰减的快慢 y=Kest 153.3 低阶网络的分析方法低阶网络的分析方法R+uCC+Us电容电路: uC = US + Kest (s=-1/)若 uC (0) =0则 K= US ， uC = (1- e-t/ ) US (t 0)t 0 2 3 4 5 uC 0 0.63uS 0.87uS 0.95uS 0.98uS 0.99uS uS当t=(35) 时, uC已达稳态StCudtdu00uStuC163.3 低阶网络的分析方法低阶网络的分析方法例3-5已知 uC (0) =2V, 求uC (t) (t 0)i1=2, uOC=4i1+2i1=12 VR0: 10+uC0

9、.1F+12V4+uC0.1F4+ 2i1 2Ai1t=0解:(1) 求左网络的戴维宁等效uOC:44+ 2i1 2Ai1+uOC44+ 2i1 i1+u设 i1=1, 则 u=4+4+2=10 V R0=10 =1, 则 uC = 12 +Ke-t代入初始值: uC (0) = 2 = 12 + K K= -10 因此: uC = 12 -10e-t V (t 0)173.3 低阶网络的分析方法低阶网络的分析方法二阶网络的固有频率RLC串联电路的固有频率和固有响应微分方程：+uS+uCRLiCSCCCuudtduRCdtudLC22特征方程： s2 + 2s + 02 = 0令LCLR120

10、衰减因子谐振频率则齐次方程220220cccd uduudtdt齐次方程：220CCCd uduLCRCudtdt183.3 低阶网络的分析方法低阶网络的分析方法三 电路的固有频率 2 二阶网络的固有频率RLC串联电路的固有频率和固有响应022022dtdudtudcc特征方程 02202ss特征根2/12022, 1sLCLR120齐次方程 特征根即电路的固有频率，它将确定固有响应的形式。固有频率 s1 和 s2 可以有四种情况(1) 当 0时，s1, s2 为不相等的负实数；(2) 当=0时，s1, s2 为相等的负实数；(3) 当0 0时，s1, s2 为不相等的负实数；Ras1s242

11、-0.2679-3.732131.5-0.382-2.618 0.26793.73210.3822.6181.07740.0774,41.17080.1708,3ttCttCuteeRuteeR 过阻尼(2) 当=0时，s1, s2 为相等的负实数； 122 ,11,1,1tcRsAAutt e ，临界过阻尼(3) 当0 0即 时:CLR22022, 1s0 )(2121teKeKtutstscs2 s1ResjIms0固有响应：022022dtdudtudcc齐次方程 若： =2.5, 0 =2 , uC (0) =1, uC(0) = 0 , C=1F则： s1 = -1, s2 = -4

12、)0( 31344teeuttC)0( 34344teeittLOt1uC iLuCiLtm253.3 低阶网络的分析方法低阶网络的分析方法三 电路的固有频率 2 二阶网络的固有频率RLC串联电路的固有频率和固有响应 (过阻尼)对iL 求导可得 tm 值从物理意义上讲： 从初始时刻开始，电容通过电感和电阻放电，其中一部分电能转换为磁能被电感储存，另一部分被电阻消耗；由于串联回路中电阻更大(R2 4L/C)，所以能量消耗比能量转换储存更迅速；到 t=tm 时，电流达到最大值，以后磁能不再增加，而是随着电流的衰减而逐渐释放，连同电能一起被电阻消耗掉。因此电容电压单调衰减，形成非振荡放电过程。OtU

13、0uC iLuCiLtm+uCRLiC263.3 低阶网络的分析方法低阶网络的分析方法三 电路的固有频率 2 二阶网络的固有频率RLC串联电路的固有频率和固有响应 (临界阻尼)特征根2/12022, 1sLCLR1 , 20固有响应：022022dtdudtudcc齐次方程 若： =6, 0 =6 , uC (0) =1, uC(0) = 0 , C=1F则： s1 = s2 = -6)0( )61 (6tetutC)0( 366teitLOt1uC iLuCiLtm(2) 当0即 时: s1,2=CLR20 )( 21tetKKtutcs1 s2ResjIms0273.3 低阶网络的分析方法

14、低阶网络的分析方法三 电路的固有频率 2 二阶网络的固有频率RLC串联电路的固有频率和固有响应 (临界阻尼)特征根2/12022, 1sLCLR1 , 20固有响应：022022dtdudtudcc齐次方程 从上两种情况：电路固有响应仍然是非振荡性的，但如果电阻稍稍减小一点点，以致R2 4L/C，则响应将为振荡性。因此，符合条件R2 = 4L/C时的响应处于临近振荡状态，称为临界阻尼(critically damped) 。Ot1uC iLuCiLtm(2) 当0即 时: s1,2=CLR20 )( 21tetKKtutcs1 s2ResjIms0283.3 低阶网络的分析方法低阶网络的分析方

15、法三 电路的固有频率 2 二阶网络的固有频率RLC串联电路的固有频率和固有响应 (欠阻尼)特征根2/12022, 1sLCLR1 , 20固有响应：022022dtdudtudcc齐次方程 若： =4, 02 =200 , uC (0) =1, uC(0) = 0, C=1F则： s1 = -4+j13.56, s2 = -4-j13.56)0( )75 .7356.13sin(043. 140tetutC)0( )56.13(sin746.144tetitL(3) 当0即 时:CLR2djjs2202, 1220d其中为振荡角频率s1ResjIms0s2-d-dtKtKeuddtCsinco

16、s21Ot1uC iLuCiL293.3 低阶网络的分析方法低阶网络的分析方法三 电路的固有频率 2 二阶网络的固有频率RLC串联电路的固有频率和固有响应 (欠阻尼)可见： uC(t) 是衰减振荡性的，振幅Ke t 随时间作指数衰减。 00 (0R2 4L/C)、能引起衰减振荡的情况称为欠阻尼(underdamped) 。tKtKetuddtCsincos)(21)/(KK )cos()(1221KKArctgKtKetudtC将上式改写为OtuC(t)Ke t 包络线 Ke t 包络线周期 =d2U0uC(t) = Ke t cos ( dt + )303.3 低阶网络的分析方法低阶网络的分

17、析方法三 电路的固有频率 2 二阶网络的固有频率RLC串联电路的固有频率和固有响应 (欠阻尼)衰减因子： = L/2R 称为衰减因子， 越大，衰减振荡的振幅衰减得就越快，反之则越慢。 振荡角频率： d 称为振荡角频率， d 越大，衰减振荡的速度就越快，周期T越小，反之则速度越慢、周期T越大。 包络线(envelope)： 按 Ke t 变化的曲线， 将振荡信号包裹在中间，其衰减速度取决于 。 )/(KK1221KKArctgKOtuC(t)Ke t 包络线 Ke t 包络线周期 T =d2U0uC(t) = Ke t cos ( dt + )313.3 低阶网络的分析方法低阶网络的分析方法三

18、电路的固有频率 2 二阶网络的固有频率RLC串联电路的固有频率和固有响应 (欠阻尼)当振幅从K从衰减到0.01K时，可认为振荡终止设经历了N个振荡周期，时间为NT ： Ke NT 0.001K NT= ln(100)=4.6 振荡周期 N=4.6/(T)= 4.6 d /(2 )tKtKetuddtCsincos)(21)/(KK1221KKArctgKOtuC(t)Ke t 包络线 Ke t 包络线周期 T =d2U0uC(t) = Ke t cos ( dt + )323.3 低阶网络的分析方法低阶网络的分析方法三 电路的固有频率 2 二阶网络的固有频率RLC串联电路的固有频率和固有响应

19、(无阻尼)特征根2/12022, 1sLCLR1 , 20固有响应： uC=K1cos 0t + K2sin 0t 022022dtdudtudcc齐次方程 若： =0, 02 =8 , uC (0) =1, uC(0) = 0, C=1F则： s1 = j2.83, s2 = -j2.83)0( )83. 2cos(ttuC)0( )83. 2sin(83. 2ttiL(4) 当=0 即 R=0 时: s1,2= j 0s1ResjIms0s20-00t1uC iLuCiL333.3 低阶网络的分析方法低阶网络的分析方法三 电路的固有频率 2 二阶网络的固有频率RLC串联电路的固有频率和固有

20、响应 (无阻尼)固有响应： uC=K1cos 0t + K2sin 0t OtuC(t)U0周期 =02K K= 0，包络线Ke t 变成 K ，因此振荡信号就变成幅度恒定的等幅振荡。能量在L、C之间无损失地交替转换储存。谐振角频率： 当电路等幅振荡时的角频率0 = 1/ LC，称为谐振(resonant)角频率，是电路的固有频率（s = j 0）。特点：特点： 瞬时储能瞬时储能 w(t) = 初始储能初始储能 w(0)34+uC10.25HiL1FRLC3.3 低阶网络的分析方法低阶网络的分析方法三 电路的固有频率 2 二阶网络的固有频率(例)已知 uC(0)= 1V，iL(0)= 0；求i

21、L(t)，t0。解：电路处于临界阻尼状态。iL(t) = K1e 2 t + K2te 2 t A，t0iL(0) = K1 = 021 , 220LCLR21,24)0()0()0()0()0(KKLuLuuLuiCCRLL由上两式可得 K1 = 0， K2 = 4 因此 iL(t) = 4te 2 t A , t035+uC10.25HiL1FRLC3.3 低阶网络的分析方法低阶网络的分析方法三 电路的固有频率 2 二阶网络的固有频率(例)已知 uC(0)= 1V，iL(0)= 0；求iL(t)，t0。解：电路处于临界阻尼状态。iL(t) = 4te 2 t A , t0顶点计算：令diL

22、/dt = 0，可得 4te 2 t(1-2t)=0，即t=0.5S，代入原式可得 iL(0.5) = 40.5e 2 0.5 = 2/e = 0.7376 Ot0.74iL(A)0.536+uC30.5HiL0.25FRLC3.3 低阶网络的分析方法低阶网络的分析方法(例)已知 uC(0)= 2V，iL(0)= 1A；求uC(t)、 iL(t)，t0。解：代入初始条件得K1 = 6, K2 = 4即 uC(t) = 6e 2 t 4e 4 t V ，t0iL(t) = CduCdt= 4e 4 t 3e 2 t A ，t0Ot6e 2 t4e 4 tOt1iL(A)uC(V)24e 4 t3

23、e 2 t81 , 320LCLR4, 2132, 1sttceKeKu422137+uC11HiL1FRLC3.3 低阶网络的分析方法低阶网络的分析方法(例)已知 uC(0)= 1V，iL(0)= 1A；求uC(t) ，t0。解：23 1 212200d2321s1,2jjduC(0) = K1 = 1， uC(0) = K1 + dK2 =iL(0)CuC(t) = e t (K1 cos dt + K2 sin dt) ，t0= 1K1 = 1， K2 = 3因此uC(t) = e t ( cos23t +323sint ) V， t038+uC11HiL1FRLC3.3 低阶网络的分析

24、方法低阶网络的分析方法(例)uC(t) = e t ( cos23t +323sint ) V或uC(t) = 2e t cos233Vt Ot22uC(t)12e t2e t393.3 低阶网络的分析方法低阶网络的分析方法(例)已知 uC(0)= 1V，iL(0)= 1A；求uC(t) 、iL(t) ，t0。s1, 2 = j 0 = j LC1= j 2uC(t) = K1 cos 0t + K2 sin 0t即 uC(t) = cos 2t + 1/8 sin 2t = 1.008 cos(2t 7) V ，t0iL(t) = CduCdt= 8 sin 2t + cos 2t = 8.

25、06 cos(2 t + 82.875) A，t0+uC1/16 HiL4FLC解：=0 , uC(0) = K1 = 1， uC(0) = 0K2 =iL(0)C= 1/4 K1 = 1， K2 = 1/8403.3 低阶网络的分析方法低阶网络的分析方法(例)已知: R2 0 =1 过阻尼625- ,625- 2452, 1s强制响应 iLNR=1iL(0)=0=1+K1+K2iL(0)=u(0)/L=0= s1K1+ s2K2得求K1 K2：K1 =s2s1 s2K2 =s1 s2s1= 5+24=665 2466因此完全解的形式tstsLeKeKi21211 固有响应 ：0 =1 ， G/(2C )=G/2ttLeei)625()625(64625646251463.3 低阶