第二章极限与连续性函数的

1、1一、一、 连续性连续性 .)(,)(,0)()(lim0lim);()(,),()(0000000000的的连连续续点点为为处处连连续续在在则则称称或或若若内内有有定定义义，记记在在设设xfxxxfxfxxfyxfxxfyxxxxNxfyxx 第六节第六节 函数的连续性与间断点函数的连续性与间断点处处连连续续性性在在点点函函数数0)(. 1xxfy 2).()(lim0lim)1(000 xfxfyxxx .)()(, 0, 000 xfxfxx恒有恒有时时当当即即.0sin, 1sinlim0处处不不连连续续在在但但反反例例 xxxxxx注释注释.)2(之之不不然然连连续续点点必必是是极极

2、限限点点，反反3.0,0,0,0,1sin)(1处处是是否否连连续续在在问问函函数数例例 xxxxxxf.0)().0(01sinlim)(lim,0)(00处连续处连续在在所以所以且且的任一邻域内有定义的任一邻域内有定义在在因为因为解解 xxffxxxfxxfxx4;)(),()0(,()(0000处处左左连连续续在在点点则则称称且且内内有有定定义义在在若若xxfxfxfxaxf .)()(100左连续又右连续左连续又右连续既既处处在在函数函数处连续处连续在在函数函数定理定理xxfxxf.)(),()0(,),)(0000处处右右连连续续在在点点则则称称且且内内有有定定义义在在若若xxfxf

3、xfbxxf 处处单单侧侧连连续续性性在在点点函函数数0)(.2xxfy 5.0)(,1000111)21ln()(22处处连连续续在在的的值值使使确确定定设设例例 xxfbaxbxxaxxxxxf6.0)().0()00()00(,2:22)11(2lim11)21ln(lim)00(,)(lim)00(,)0(0020处处连连续续在在即即时时当当知知由由解解 xxffffbaxxxxxxxfbbxfafxxx73. 连续函数与连续区间连续函数与连续区间 在区间上每一点都连续的函数在区间上每一点都连续的函数, ,称为称为连续函数连续函数, ,或者说函数在区间上连续或者说函数在区间上连续. .

4、,)(,),()(上上连连续续在在闭闭区区间间则则称称函函数数处处左左连连续续在在右右端端点点处处右右连连续续且且在在左左端端点点内内连连续续在在开开区区间间函函数数若若baxfbxaxbaxf 连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线.8.)0)()()(),()(),()(,)(),(2000处处也也连连续续在在点点则则处处连连续续在在点点若若函函数数定定理理xxgxgxfxgxfxgxfxxgxf 4. 连续函数的四则运算连续函数的四则运算5. 反函数与复合函数的连续性反函数与复合函数的连续性定理定理 3 严格单调的连续函数必有严格单调的连续严格单调的

5、连续函数必有严格单调的连续 的反函数的反函数. .9注释注释: : 极限符号与函数符号可交换极限符号与函数符号可交换. . 即即.)(,)(,)(,)(400000也也连连续续点点在在则则函函数数连连续续点点在在而而函函数数且且连连续续在在点点设设函函数数定定理理xxxfyuuufyuxxxxu ).()()(lim)(lim0000ufxfxfxfxxxx . 1ln)1(limln)1ln(lim1010 exxxxxx如如106. .初等函数的连续性初等函数的连续性定理定理 5 基本初等函数在基本初等函数在定义域内定义域内是连续的是连续的. .定理定理 6 初等函数在其初等函数在其定义区

6、间定义区间内内都是连续的都是连续的. .注释注释 (1) 定义区间是指包含在定义域内的区间定义区间是指包含在定义域内的区间. . 初等函数初等函数在其定义域内未必连续在其定义域内未必连续. . (2) 连续连续函数求极限的方法就是代入法函数求极限的方法就是代入法. .11.)()().()()(),(,0),()()1(3内内连连续续，在在则则，若若处处连连续续内内有有定定义义且且在在在在设设证证明明下下列列各各题题例例 xfyfxfyxfyxxxf.),0()(.)(lim)()2(),0( )2(内内连连续续在在则则，且且若若 xfAxfxfxfxx12).()(lim)()()(lim)

7、(lim000 xfxfxfxfxfxxfxxx 0)0()0()0()0()1( ffff由由证证.)()(内内连连续续，在在的的任任意意性性知知由由故故 xfx. 0)0()0(lim)(lim00 fxfxfxx，),( x13. )(),0(,)()2(lim)()2(lim)(lim).,2,1( ,)2()()()2(),0()2(000000连连续续由由由由xfxAxfAxfxfAxfAxfnxfxfxfxfxnnnnxn 14;)()1(0处处有有定定义义在在点点xxf;)(lim)2(0存存在在xfxx).()(lim)3(00 xfxfxx .)(),()(,00的的间间断

8、断点点为为并并称称或或间间断断处处不不连连续续在在点点则则称称一一个个不不满满足足上上述述三三个个条条件件中中至至少少有有若若xfxxxf二、函数的间断点二、函数的间断点:)(0条条件件处处连连续续必必须须满满足足的的三三个个在在点点函函数数xxf152. 可去间断点：可去间断点：.)(,)(),()(lim,)(00000的的可可去去间间断断点点为为则则称称定定义义处处无无在在或或但但处处的的极极限限存存在在在在点点若若xfxxxfxfxfxxfxx 跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点. .其特点是函数在间断点处的其特点是函数在间断点处的 左右极

9、限都存在左右极限都存在. .1. 跳跃间断点：跳跃间断点：.)(),0()0(,)(0000的的跳跳跃跃间间断断点点函函数数为为则则称称点点但但存存在在右右极极限限都都处处左左在在点点若若xfxxfxfxxf 16，因因为为解解1)1sgn()(2 xxgf 0, 10, 2sgn1)(2xxxxfg内内处处处处连连续续；在在所所以以),()( xgf.0,),0()0 ,()(是是可可去去间间断断点点且且内内处处处处连连续续在在 xxfg.)()(,1)(,sgn)(42的的连连续续性性与与讨讨论论复复合合函函数数设设例例xfgxgfxxgxxf 17.0 是是无无穷穷型型 x3. 第二类间

10、断点：第二类间断点：.)(,)(00间间断断点点的的第第二二类类为为则则称称在在至至少少有有一一个个不不存存处处的的左左、右右极极限限中中在在点点若若xfxxxf第二类间断点包括为无穷型和振荡型第二类间断点包括为无穷型和振荡型.xy1sin oxy 0,0,1)(xxxxxf.0 是是振振荡荡型型 x18.)(01)(5的的连连续续性性和和讨讨论论函函数数例例 QRxxQxxxfQRxQxxD.,0)(.,)(且且都都是是第第二二类类间间断断点点处处间间断断处处其其余余各各点点处处连连续续仅仅在在都都是是第第二二类类间间断断点点且且间间断断在在定定义义域域内内每每一一点点处处都都解解 xxfx

11、D19可去型可去型第一类间断点第一类间断点oyx跳跃型跳跃型无穷型无穷型振荡型振荡型第第 二二 类间断点类间断点oyx0 xoyx0 xoyx0 x20.11lim)()2(01sin0sin)3()()1(.62122Rxxxxfxxxxxxxxfnnn 的的间间断断点点及及其其类类型型指指出出下下列列函函数数例例.)0(0,10,2sin)(7的的连连续续性性讨讨论论例例 axaxxxxxf21,3)3sin()3(limsin)3(lim)1(33 xxxxxxxx因因为为解解.3 为为可可去去间间断断点点所所以以 x), 3( ,sin)3(limNnnxxxnx 因因为为.为为无无穷

12、穷间间断断点点所所以以nx ,3sin)3(lim, 01sinlim020 xxxxxxx因因为为.0 为为跳跳跃跃间间断断点点所所以以 x22,1sinlim21 xxx因因为为.1 是是无无穷穷间间断断点点所所以以 x.11)01(1)01(110111)()2(1是是第第一一类类跳跳跃跃间间断断点点故故知知由由 xffxxxxxf23.000)(21;)(21).0(1)(lim,2)(lim0,)(000是是第第一一类类跳跳跃跃间间断断点点且且）内内连连续续，（），在在（时时，当当）内内是是连连续续的的，在在（时时，当当所所以以时时，当当是是连连续续的的时时，因因为为当当解解 xxf

13、axfafaxfxfxxfxxx24练练 习习 题题处处是是否否连连续续？为为什什么么？在在问问处处连连续续，在在若若020)(, )()(. 2xxfxfxxf是是否否一一定定连连续续？初初等等函函数数在在其其定定义义域域内内. 1 ?,),()(,)(,0.3为为什什么么上上是是否否连连续续？内内或或在在问问上上连连续续，在在若若babaxfbaxf 25 ,4,2, 0,1cos1 xDxy定定义义域域反反例例函数函数y y在这些孤立点的去心邻域内没有定义，在这些孤立点的去心邻域内没有定义，因而不连续因而不连续. . 10,)1(232 xxDxxy及及定定义义域域反反例例函数函数y y

14、在在0 0点的去心邻域内没有定义点的去心邻域内没有定义, ,因而不连续，因而不连续，但在但在 上连续上连续. . ), 1 解解1. 1. 初等函数在其定义域内不一定连续初等函数在其定义域内不一定连续. .26).()(lim)(lim)(lim022000 xfxfxfxfxxxxxx 因为因为.)()()(lim)()()()(0).()(lim)(.200000000处处连连续续在在即即以以所所因因为为又又连连续续，所所以以在在因因为为解解xxfxfxfxfxfxfxfxfxfxxfxxxx .)(02处处连连续续在在所所以以xxf27但反之未必成立但反之未必成立,00,10,1)(处处不不连连续续在在函函数数反反例例 xxxxf.01)()(2处处连连续续在在但但 xxfxf28 .010)(1,0)(,01)(处处不不连连续续的的左左端端点点，在在但但上上连连续续，在在，则则令令反反例例 xxfxfxxf .,),()(. 3上上未未必必连连续续内内连连续续，但但在在在在babaxf .),()(.)(,0),(内内连连续续在在的的任任意意性性可可知知由由处处连连续续在在点点从从而而使使得得