1.2高斯公式与斯托克斯公式ppt课件

1、上一页上一页 下一页下一页 主主 页页教学目的：学会用高斯公式计算第二型曲面积教学目的：学会用高斯公式计算第二型曲面积分，用斯托克斯公式计算第二型曲线积分分，用斯托克斯公式计算第二型曲线积分教学内容：高斯公式；斯托克斯公式；沿空间教学内容：高斯公式；斯托克斯公式；沿空间曲线的第二型积分与路径无关的条件曲线的第二型积分与路径无关的条件基本要求：学会用高斯公式计算第二型曲面积基本要求：学会用高斯公式计算第二型曲面积分，用斯托克斯公式计算第二型曲线积分分，用斯托克斯公式计算第二型曲线积分掌握沿空间曲线的第二型积分与路径无关的条掌握沿空间曲线的第二型积分与路径无关的条件件上一页上一页 下一页下一页 主

2、主 页页高斯高斯(Gauss)公式公式斯托克斯斯托克斯(Stokes)公式公式上一页上一页 下一页下一页 主主 页页定理定理22.3 设空间闭区域设空间闭区域 V 由分片光滑的由分片光滑的在在V 上有连续的一阶偏导数上有连续的一阶偏导数, 则有则有闭曲面闭曲面S 所围成所围成, S 的方向取外侧的方向取外侧, 函数函数 P, Q, R VzyxzRyQxPddd)( SyxRxzQzyPdddddd 一、高斯公式一、高斯公式上一页上一页 下一页下一页 主主 页页zyxzRdddyxRdd 下面先证下面先证:证明证明yxDyxyxzyxzyxz),(, ),(),(),(:21设设为XY型区域

3、, 231zyxyxD, ),(:11yxzz ,321),(:22yxzz 那么上一页上一页 下一页下一页 主主 页页) ,(yxRyxyxRdd) ,(zzRyxzyxzd),(),(21yxD),(2yxz),(1yxzyxRdd yxD2 zyxzRdddyxdd1 3yxRddyxyxRdd) ,(yxDyxD),(2yxzyxyxRdd) ,(),(1yxz上一页上一页 下一页下一页 主主 页页所以zyxzRdddyxRdd 假设 不是 XY型区域 , 则可引进辅助面将其分割成若干个 XY型区域, 故上式仍成立 .正反两侧面积分正负抵消, 在辅助面类似可证 zyxyQdddyxRx

4、zQzyPdddddd zyxzRyQxPdddxzQdd zyxxPdddzyPdd 三式相加, 即得所证 Gauss 公式：上一页上一页 下一页下一页 主主 页页例例1 计算计算 Syxxzyxzxzyzxydd)(dddd)(22其中其中 S 是由是由 x = y = z = 0, x = y = z = a 六个平面所六个平面所围的正立方体表面并取外侧为正向围的正立方体表面并取外侧为正向.xyaaazo解解 Syxxzyxzxzyzxydd)(dddd)(22 Vzyxxzyzxyzxyxddd)()()(22 Vzyxxyddd)0( aaaxxyyz000d)(dd ayaaya0

5、2d)21(4a 上一页上一页 下一页下一页 主主 页页例例计算计算 Syxzxzyzyxdddddd222所围的空间区域的表面，方向取外侧所围的空间区域的表面，方向取外侧.解解 VVzzyyxxd)()()(222222yxz 0 hz其中其中 S 为锥面为锥面与平面与平面xyzoh Syxzxzyzyxdddddd222 VVzyxd)(224h zDhyxzzddd20 hzzz02d2 VVzd2z222:zyxDz 上一页上一页 下一页下一页 主主 页页设设 S1 为上半球体的底面，为上半球体的底面，例例计算计算 Syxzxzyzyxdddddd的外侧的外侧.解解222yxaz 其中

6、其中 S 是上半球面是上半球面2221, 0:ayxzS VVd)111(取下侧取下侧. 1ddddddSyxzxzyzyx SyxzxzyzyxddddddyxzxzyzyxSSSdddddd)(11 1ddddddSSyxzxzyzyx334213a 32 a 于是于是1SxyzSaao 1ddSyxz0 上一页上一页 下一页下一页 主主 页页斯托克斯公式建立了沿曲面斯托克斯公式建立了沿曲面 S 的曲面积分与沿的曲面积分与沿 S 的边界曲线的边界曲线 L 的曲线积分之间的联系的曲线积分之间的联系.对曲面对曲面 S 的侧与其边界曲线的侧与其边界曲线 L 的方向作如下规定：的方向作如下规定：设

7、人站在曲面设人站在曲面 S 上的指定一侧，沿边界曲线上的指定一侧，沿边界曲线 L 行走，行走，指定的侧总在人的左方，则人前进的方向为边界曲线指定的侧总在人的左方，则人前进的方向为边界曲线 L 的正向的正向.二、斯托克斯公式二、斯托克斯公式这个规定方法也称为右手法则这个规定方法也称为右手法则.上一页上一页 下一页下一页 主主 页页定理定理22.4 设光滑曲面设光滑曲面 S 的边界的边界 L 是按段光滑曲线是按段光滑曲线, xzxRzPzyzQyRSdddd LzRyQxPddd 同同 L ）上具有连续一阶偏导数，则有）上具有连续一阶偏导数，则有 S 的侧与 L 的正向符合右手法则, RQP,在在

8、 S （连（连yxyPxQdd 上一页上一页 下一页下一页 主主 页页注意注意: 则斯托克斯公式就是格林公式则斯托克斯公式就是格林公式,故格林公式是斯托克斯公式的特例故格林公式是斯托克斯公式的特例.假设假设 S 是是 xoy 坐标平面上的一块平面区域坐标平面上的一块平面区域, 上一页上一页 下一页下一页 主主 页页为便于记忆为便于记忆, 斯托克斯公式还可写作斯托克斯公式还可写作: SRQPzyxyxxzzydddddd LzRyQxPddd 或用第一类曲面积分表示或用第一类曲面积分表示:SRQPzyxSdcoscoscos LzRyQxPddd 上一页上一页 下一页下一页 主主 页页yozx证

9、证:情形情形1 与平行与平行 z 轴的直线只交于轴的直线只交于 一点, 设其方程为yxDyxyxfz),(, ),(:n为确定起见, 不妨设 取上侧 (如图). yxDC那么xPdCxyxzyxPd),(,(利用格林公式) yxyxzyxPyyxDdd),(,(上一页上一页 下一页下一页 主主 页页yxyzzPyPyxDddSfzPyPydcos,cos2211yxff ,cos221yxyfffcoscosyfyozxnyxDC上一页上一页 下一页下一页 主主 页页因而SzPyPxPdcoscoscosdSyPzPdcoscosyxyPxzzPdddd同理可证yQdzyzQyxxQddddx

10、RdxzxRzyyRdddd三式相加, 即得斯托克斯公式 ;上一页上一页 下一页下一页 主主 页页情形情形2 曲面曲面 与平行与平行 z 轴的直线交点多于一个轴的直线交点多于一个, 则可则可通过作辅助线面把通过作辅助线面把 分成与分成与z 轴只交于一点的几部分轴只交于一点的几部分,在每一部分上应用斯托克斯公式在每一部分上应用斯托克斯公式, 然后相加然后相加, 由于沿辅助由于沿辅助曲线方向相反的两个曲线积分相加刚好抵消曲线方向相反的两个曲线积分相加刚好抵消,所以对这所以对这类曲面斯托克斯公式仍成立类曲面斯托克斯公式仍成立. 证毕证毕上一页上一页 下一页下一页 主主 页页zxy111oABC Sz

11、yxxyzxzyyxxzzy2dddddd例例2. 利用斯托克斯公式计算积分利用斯托克斯公式计算积分 Lzxyyzxxzyd)(d)(d)2(其中其中 L 为平面为平面 x+ y+ z = 1 与各坐标面的交线，与各坐标面的交线，解解取逆时针方向为正向如图所示取逆时针方向为正向如图所示. 记三角形记三角形ABC为为 S , 取上侧取上侧, 那么那么 Lzxyyzxxzyd)(d)(d)2(上一页上一页 下一页下一页 主主 页页zxy111oABC Szyxxyzxzyyxxzzy2dddddd Szydd)11( Syxxzzydddd2dd2 yzDzydd2 zxDxzdd2 xyDyxd

12、d 212212 21 23 xzdd)11( yxdd)21( 上一页上一页 下一页下一页 主主 页页 Szyxzyxyxxzzy1dddddd32例例. 利用斯托克斯公式计算积分利用斯托克斯公式计算积分 Lzzyxyxddd32其中其中 L 为为 y2+ z2 = 1 , x = y 所交的椭圆正向所交的椭圆正向.解解记以记以 L 为边界的椭圆面为为边界的椭圆面为 S , 其方向按右手法则其方向按右手法则确定，于是有确定，于是有 Lzzyxyxddd32上一页上一页 下一页下一页 主主 页页 Szyxzyxyxxzzy1dddddd32 Lzzyxyxddd32 Syxyxxzzydd)3

13、0(dd)00(dd)00(22 Syxyxdd3220 上一页上一页 下一页下一页 主主 页页例例. 为柱面为柱面 与平面 y = z 的交线,从 z 轴正向看为顺时针, 计算.ddd2zxzyxyxyIoz2yx解解: 设设 为平面为平面 z = y 上被上被 所围椭圆域所围椭圆域 , 且取下侧,0cos利用斯托克斯公式得SIdSzyd)(210则其法线方向余弦,21cos21coscoscoscoszyxzxyxy2yyx222上一页上一页 下一页下一页 主主 页页空间曲线积分与路径无关的条件空间曲线积分与路径无关的条件定理定理22.5 设设 是空间单连通区域是空间单连通区域, 函数函数

14、 P, Q, R 在在上具有连续一阶偏导数上具有连续一阶偏导数, 则下列四个条件相互等价则下列四个条件相互等价: (1) 对对 内任一按段光滑闭曲线内任一按段光滑闭曲线 L, 有有0ddd LzRyQxP(2) 对对 内任一按段光滑曲线内任一按段光滑曲线 L, LzRyQxPddd与路径无关与路径无关上一页上一页 下一页下一页 主主 页页(4) 在在 内处处有内处处有zPxRyRzQxQyP ,zRyQxPudddd (3) 在在 内存在某一函数内存在某一函数 u, 使使上一页上一页 下一页下一页 主主 页页zyxyxzxzyd)(d)(d)(与路径无关, 并求函数zyxyxzxzyzyxuz

15、yxd)(d)(d)(),(),()0 , 0 , 0(解解: : 令令yxRxzQzyP,1xQyP,1yRzQyPxR1 积分与路径无关, ),(zyxuzyxxy)( yxyd0zyxzd)(0zxyzxyxzyo),(zyx)0 ,(yx)0 , 0 ,(xxxd00因而 例例3. 验证曲线积分验证曲线积分上一页上一页 下一页下一页 主主 页页内容小结内容小结1. 高斯公式高斯公式 SyxRxzQzyPdddddd VzyxzRyQxPddd上一页上一页 下一页下一页 主主 页页2. 斯托克斯公式斯托克斯公式 LzRyQxPddd SzyxRQPyxxzzyddddddSRQPSzyx

16、dcoscoscos 上一页上一页 下一页下一页 主主 页页例例计算计算 SSxd,dd Szyx其中其中 S 为球面在第一卦限部分为球面在第一卦限部分 , 0, 0, 0, 1222 zyxzyx例例 设设 S 与上例相同，取球面外侧，与上例相同，取球面外侧，,dd Sxzx Syxxdd分别计算下列积分分别计算下列积分 上一页上一页 下一页下一页 主主 页页德国数学家、天文学家和物理学家德国数学家、天文学家和物理学家, 是与阿基米德是与阿基米德, 牛顿并列的伟大数学家牛顿并列的伟大数学家, 他的数学成就遍及各个领域他的数学成就遍及各个领域 , 在数论、在数论、 级数、复变函数及椭圆函数论等方面均有一系列开创级数、复变函数