北邮考研概率论与数理统计7.6(0-1)分布参数的区间估计(1)

1、7.6 大样本置信区间 在样本容量充分大(n50)时，可以用渐近分布来构造近似的置信区间。 一个典型的例子是关于比例一个典型的例子是关于比例p p 的置信区间。的置信区间。 分布参数的近似置信区间)10( 一、置信区间公式一、置信区间公式二、典型例题二、典型例题一、置信区间公式置信区间是置信区间是的的的置信度为的置信度为则则为未知参数为未知参数其中其中的分布律为的分布律为的总体的总体分布分布它来自它来自的大样本的大样本设有一容量设有一容量 1, 1, 0,)1();( ,)10(,501ppxpppxfXXnxx,24,2422 aacbbaacbb, 22/ zna 其中其中),2(22/

2、zXnb .2Xnc 推导过程推导过程如下如下: :因为因为(01)分布的均值和方差分别为分布的均值和方差分别为),1(,2ppp , , 21是一个样本是一个样本设设nXXX因为容量因为容量n 较大较大, ,由由中心极限定理中心极限定理知知)1()1(1pnpnpXnpnpnpXnii , )1 , 0( 分布分布近似地服从近似地服从 N,1)1(2/2/ zpnpnpXnzP2/2/)1( zpnpnpXnz 不等式不等式, 0)2()( 222/222/ XnpzXnpzn 等价于等价于,24,242221aacbbpaacbbp 令令, 22/ zna 其中其中),2(22/ zXnb

3、 .2Xnc 的置信区间是的置信区间是的近似置信水平为的近似置信水平为则则 1p).,(21pp二、典型例题 设从一大批产品的设从一大批产品的100个样品中个样品中, , 得一级品得一级品60个个, , 求这批产品的一级品率求这批产品的一级品率 p 的置信水平为的置信水平为0.95的的置信区间置信区间. .解解一级品率一级品率 p 是是(0-1)分布的参数分布的参数, ,100 n, 6 . 010060 x,95. 01 ,96. 1025. 02/ zz ,84.103 22/ zna则则例例1)2(22/ zXnb )2(22/ zxn ,84.123 22xnXnc ,36 aacbb

4、p2421 于是于是aacbbp2422 ,50. 0 ,69. 0 p 的置信水平为的置信水平为0.95的置信区间为的置信区间为).69. 0,50. 0( 设从一大批产品的设从一大批产品的120个样品中个样品中, , 得次品得次品9个个, , 求这批产品的次品率求这批产品的次品率 p 的置信水平为的置信水平为0.90的置信的置信区间区间. .解解,120 n,09. 01009 x,90. 01 例例222 zna 则则,71.122 )2(22 zXnb )2(22 zxn ,31.24 2Xnc 2xn ,972. 0 p 的置信水平为的置信水平为0.90的置信区间为的置信区间为).1

5、43. 0,056. 0(aacbbp2421 于是于是,056. 0 aacbbp2422 ,143. 0 附 录另外一种估计方法及例题。另外一种估计方法及例题。 设x1, xn是来自b(1, p)的样本,有 对给定 ， ，通过变形，可得到置信区间为 其中记= u21-/2，实用中通常略去/n项，于是可将置信区间近似为(0,1)(1)/xpuNppn121(1)xpPuppn 22221(1)1(1),242411xxxxxxnnnnnnnn22(1)(1),xxxxxuxunn例 对某事件A作120次观察，A发生36次。试给出事件A发生概率p 的0.95置信区间。解：此处n=120， =3

6、6/120=0.3 而u0.975=1.96，于是p的0.95（双侧）置信下限和上限分别为 故所求的置信区间为 0.218，0.382x0.3 0.70.3 1.960.218120Lp0.3 0.70.31.960.382120Up例 某传媒公司欲调查电视台某综艺节目收视率p，为使得 p 的1-置信区间长度不超过d0，问应调查多少用户？ 解：这是关于二点分布比例p的置信区间问题，由（6.5.11）知，1-的置信区间长度为 这是一个随机变量，但由于 ，所以对任意的观测值有 。这也就是说p的1-的置信区间长度不会超过 。现要求p的的置信区间长度不超过d0，只需要 即可，从而 （6.5.12）1221uxxn0,1x 2(1) 0.50.25xx12un120und2120und 这是一类常见的寻求样本量的问题。比如