2018版高考数学一轮复习第九章解析几何第7讲直线与圆锥曲线的位置关系理

1、第 7 讲直线与圆锥曲线的位置关系y2=x交于 A,B两点，若|AB= 4，则弦AB的中点到直线1x+ 2=0 的距离等于解析 直线 4kx 4yk= 0，即y=k x 1，即直线 4kx 4yk= 0 过抛物线y2=x的.117焦点14， 0 .设A(xi,yi),B(X2,y2)，则 IAB=X1+X2+ - = 4，故xi+X2=，则弦AB的71719中点的横坐标是 4，弦AB的中点到直线x+ 2=0 的距离是 + 2=4.答案 C12X。22.设斜率为-的直线l与椭圆a。+1(ab0)交于不同的两点，且这两个交点在x轴上的射影恰好是椭圆的两个焦点，则该椭圆的离心率为D.3解析 由于直线

2、与椭圆的两交点A,B在x轴上的射影分别为左、右焦点F1,F2,故|AF|=|B| =b，设直线与x轴交于C点，又直线倾斜角0的正切值为罟，结合图形易得a2tan0=pAF-=j-BF，故 ICFI + ICR| =2弊 T 尸冋 =2c,整理并化简得型 b=.2(a2c2) =ac,即卩,2(1 e2) =e,解得e= .答案 C3.抛物线y2= 2px与直线 2x+y+a= 0 交于代B两点，其中点A的坐标为(1,2)，设抛物 线的焦点为F，则|FA+ IFB的值等于().A. 7B. 3 ,5C. 6D. 5解析 点A(1,2)在抛物线y2= 2px和直线 2x+y+a= 0 上，贝 Up

3、= 2，a= 4，F(1,0)，则B(4， 4)，故 |FA+ |FB= 7.答案 A、选择题1 .直线 4kx 4yk= 0 与抛物线B.222 24.设双曲线X2占=1(a0，b0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为 e,过F2的直线与a b3双曲线的右支交于A,B两点，若FAB是以A为直角顶点的等腰直角三角形，则A. 1 + 2 2B. 4 2 2C. 5 2 2D. 3 + 2 2解析 如图，设 |AF| =m则 |BF| =2m|AF?| =m2a,|BF| = ,2m 2a,|AB= |AF2| + |BF2| =m 2a+ 2m-2a= m,得m= 2 2a,又由 |AF|2

4、+ |AF|2=|F1F2|2,可得m+(m- 2a)2= 4c2,即得(20 8 2)a22c=4c2, e2=孑=5 2 2,故应选 C.答案 C5.已知直线I:y=k(x 2)(k0)与抛物线若|AF= 2|BF，贝U k的值是 B 口3丄AA.设直线I的倾斜角为0, |AF| = 2|BF| = 2r,则 |AA| = 2|BB| = 2|AD= 2r,所以有 |AB= 3r, |AD=r,则|BD= 2 2r,k= tan0= tan /BAD=|-AD-= 2 2.法二 直线y=k(x 2)恰好经过抛物线y2= 8x的焦点2O得ky 8y 16k= 0,因为 |FA= 2|FE|

5、,所以yA= 2yB.则yA+yB= 2yB+yB=&，所以8 _ _ yB= ,yAyB= 16 ,所以一 2yB= 16 ,即yB=2詁 2.又k0 ,故k= 2 2.k答案 C2 26.过双曲线 笃一TP=1(a0)的右焦点F作一条直线,当直线斜率为2 时，直线与双曲线a5a左、右两支各有一个交点；当直线斜率为3 时，直线与双曲线右支有两个不同交点，则双曲线离心率的取值范围是().A. ( 一 2 , 5)B. ( .5 ,10)C. (1 ,2)D. (5,5 . 2)C:2、十y= 8x交于A,1A.3C. 2 .2解析 法一 据题意画图，作AA丄I,BB丄IBDAyO /F

6、卩B两点,F为抛物线C的焦点,F(2,0)，由y=k8x，.可ly=k x厶,4c解析 令b=,5二云，c=a2匸b2,则双曲线的离心率为e=a双曲线的渐近线的斜率为土b.一a2-1, 2e2 13,5e210,5eb0),FC2, 0)为其右焦点，过F垂直于X轴的直线与椭圆a bY相交所得的弦长为 2，则椭圆C的方程为 _c = 2,b2解析由题意，得b= 1,a2 2 2a=b+c,据题意，2ab0)的左顶点A且斜率为 1 的直线与椭圆的另一个交点为轴的交点为B,若|AM= |MB，则该椭圆的离心率为 _.解析由题意知A点的坐标为(一a,0) ,l的方程为y=x+a,.B点的坐标为(0,a

7、),故M点的坐标为 j 2, 2，代入椭圆方程得a= 3b,C=2b,e= *6.答案2 210.已知曲线 -y= 1(ab*0,且aM b)与直线x+y 1= 0 相交于 P,Q两点，且OP- OQa b1 1=0(O为原点)，卜一匚的值为_ .a b2 2x y2解析 将y= 1 x代入=1,得(ba)x+ 2ax (a+ab) = 0.设F(X1,y,Qx2,y2)，贝UX1+X2=,X1X2=已+ 严.OP- OQ= X1X2+y1y2=X1X2+ (1 x(1 X2) = 2x1X2abab2 2 2=t yy+1(y1+y2) + 1 + y2= 4t+ 4t+1 4 = 3.(2

8、)证明 设l:x=ty+b,代入抛物线y2= 4x,(1)解 由题意：抛物线焦点为(1,0), 设I:x=ty+ 1,代入抛物线y2= 4x, 消去x得y2 4ty 4=0,设A(X1,yj,B(X2,y, 则y1+y2= 4t,屮y= 4,a= 2,b=1解得2 2答案冷+辱1(X1+X2) + 1.所以2a+ 2abab2aab+ 1 = 0，即 2a+ 2ab 2a+ab= 0,即卩ba= 2ab,- OA- OB= X1X2+y1y2= (ty1+ 1)(ty2+ 1) +yy6消去x得y2 4ty 4b= 0,设A(xi,yi) ,B(x2,y2),则yi+y2= 4t,yiy2=

9、4b,=t yiy2+bt(yi+y2)+b+yy2 2 2 2=4bt+ 4bt+b 4b=b 4b.22令b 4b= 4,b 4b+ 4 = 0,.b= 2,直线l过定点(2,0).若6A0B= 4，则直线I必过一定点.212.给出双曲线x2与=1.(1)求以A(2,1)为中点的弦所在的直线方程；若过点A(2,1)的直线I与所给双曲线交于P1,P2两点，求线段PF2的中点P的轨迹方程；过点B(1,1)能否作直线m使得m与双曲线交于两点Q,Q,且B是QQ的中点？这样的直线m若存在，求出它的方程；若不存在，说明理由.X2)(X1+X2)= (y1y2)(y1+y2)，又X1+X2= 4,y1+

10、y2= 2,所以直线斜率k=庶2= 4.故求得直线方程为4xy 7 = 0.(2)设P(x,y) ,R(X1,y1) ,R(X2,y2),y1y22x按照(1)的解法可得XX=T,X1X2y由于P,F2,P, A四点共线,得y1屮=口 得X1X2x 2,2x y 122由可得二= ，整理得 2xy 4x+y= 0,检验当X1=X2时，x= 2,y= 0 也满足y x一 2方程，故 PR 的中点P的轨迹方程是 2x2y2 4x+y= 0.(3)假设满足题设条件的直线m存在，按照(1)的解法可得直线m的方程为y= 2x 1. SA-X1X2+yiy2= (tyi+b)(ty2+b) +yiy2解(

11、1)设弦的两端点为P(X1, y ,F2(X2,y2)，则匚22小两式相减得到 2(X17y= 2x 1,考虑到方程组2y2无解，x-2=1L8因此满足题设条件的直线m是不存在的.13.在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线Ci： 2x2-y2= 1.(1)过Ci的左顶点引C的一条渐近线的平行线，求该直线与另一条渐近线及三角形的面积.设斜率为 1 的直线I交C于P、Q两点.若I与圆x2+y2= 1 相切，求证：OPL0Q设椭圆G： 4x2+y2= 1.若M N分别是C、C2上的动点，且OMLON求证：0到直线MN的距离是定值.2x2(1)解双曲线C:1y2= 1,左顶点2不妨取过点A与渐近线y=

12、2x平行的直线方程为y=2x+证明 设直线PQ的方程是y=x+b.X1+X2= 2b, 设P(X1,y、QX2,y2)，则2凶X2= 1 -b.又y1y2= (X1+b)(X2+b)，所以SP SQ=X1X2+y1y2= 2x1X2+b(X1+X2) +b22 2 2 2=2( -1 -b) + 2b+b=b- 2 = 0.故OPL OQ证明当直线ON垂直于x轴时，|ON= 1, |OM=，贝yO到直线MN的距离为弓.23当直线ON不垂直于x轴时，设直线ON的方程为y=kx显然,x轴围成的,0，渐近线方解方程y =- g,y =2x +1X =-得y=?所以所s=弓0A|y| =#因为直线PQ

13、与已知圆相切，故|b|2 =1，即b2= 2.y=x+b,c22,2x-y= 1得x2-2bx-b2- 1 = 0.91则直线。网方程为y kx.1 kk同理IM2=iikr设。到直线MN的距离为d,因为(IM2+ ION2)d2= IMiN2,-1113k2+ 3J3所以孑=顾+ 而=k+1=3,即d=亍.综上，。到直线MN的距离是定值.14在圆X2+y2= 4 上任取一点P,过点P作x轴的垂线段，D为垂足，点M在线段PD上，且|DR= .2|DM,点P在圆上运动.(1) 求点M的轨迹方程；(2) 过定点C( 1,0)的直线与点M的轨迹交于A,B两点，在x轴上是否存在点N,使NA- NB为常

14、数，若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由.解(1)设P(xo,yo),Mx,y)，贝Uxo=x,yo= ,2y.2 2 2 2/ P(xo,yo)在x+y= 4 上，二xo+yo= 4.2 2 x2+ 2y2= 4,即x+y; = 1.2 2x y点M的轨迹方程为+ := 1(XM土 2).假设存在.当直线AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为y=k(x+ 1)(k丰0),A(X1,y,B(X2,y2) ,N(n,0),2222整理得(1 + 2k)x+ 4k x+ 2k 4= o,4k22k2 4x1+x2=1+P，x1x2= 1+P. bJA-NTB=(X1 n, y(X2 n,目2由 ：kX，24x+y= 11X= 4+k2，k24+k2，所以|ON21k k联立方程组x2y27+2x+=1,102 2 2 2=(1+ k)X1- X2+(X1+ X2)(k n)+ n + k111ln-1 -24n-11 + 2k2 IA- NlB是与k无关的常数，2n+ 7= 0. n= 7，即即N4,0，此时FJA-NB=詈11所以ab=2.答案 2三、解答题11