第八章 第七节双曲线

1、第七节 双 曲 线1.1.双曲线的定义双曲线的定义平面内的动点平面内的动点M M与两定点与两定点F F1 1,F,F2 2 _=2a _=2a (a (a为正常数为正常数) )12MFMF2a _2a _1 2FF 0(a0，b0)b0)_(a0_(a0，b0)b0)2222xy1ab2222yx1ab性性质质对称性对称性对称轴：对称轴：_对称中心：对称中心：_对称轴：对称轴：_对称中心：对称中心：_范围范围_顶点顶点顶点坐标：顶点坐标：A A1 1_,A_,A2 2 _顶点坐标：顶点坐标：A A1 1_,A_,A2 2_渐近线渐近线_坐标轴坐标轴原点原点坐标轴坐标轴原点原点 x xa a或或

2、x x-a-ay y-a-a或或yaya(-a,0)(-a,0)(a,0)(a,0)(0(0，-a)-a)byxaayxb(0(0，a)a)性性质质离心率离心率e=_,e(1,+)e=_,e(1,+)a,b,ca,b,c的关系的关系_实虚轴实虚轴线段线段A A1 1A A2 2叫做双曲线的实轴，它的长叫做双曲线的实轴，它的长|A|A1 1A A2 2|=_|=_；线段线段B B1 1B B2 2叫做双曲线的虚轴，它的长叫做双曲线的虚轴，它的长|B|B1 1B B2 2|=_|=_；a a叫做双曲线的实半轴长，叫做双曲线的实半轴长，b b叫做双曲线的虚半轴叫做双曲线的虚半轴长长ca222cab2

3、a2a2b2b判断下面结论是否正确（请在括号中打判断下面结论是否正确（请在括号中打“”或或“”）. .（1 1）平面内到点）平面内到点F F1 1(0(0，4),F4),F2 2(0,-4)(0,-4)距离之差等于距离之差等于6 6的点的集的点的集合是双曲线合是双曲线.( ).( )（2 2）平面内到点）平面内到点F F1 1（0 0，4 4）,F,F2 2（0 0，-4-4）距离之差的绝对值）距离之差的绝对值等于等于8 8的点的集合是双曲线的点的集合是双曲线.( ).( )（3 3）方程）方程 （mn0)mn0)表示焦点在表示焦点在x x轴上的双曲线轴上的双曲线.( ).( )22xy1mn

4、（4 4）双曲线方程）双曲线方程 （m0,n0,0m0,n0,0）的渐近线方程）的渐近线方程是是 即即 ( )( )（5 5）等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于）等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于 .( ).( )（6 6）若双曲线）若双曲线 (a0,b0)(a0,b0)的的离心率分别是离心率分别是e e1 1,e,e2 2, ,则则 （此结论中两条双曲线为共（此结论中两条双曲线为共轭双曲线）轭双曲线）.( ).( )2222xymn2222xy0mn ，222222222xyxy1 a0,b 01abba与2212111eexy0.m n【解析】【解析】（1 1）错误）错误. .由双

5、曲线的定义知，应为双曲线的一支，由双曲线的定义知，应为双曲线的一支，而非双曲线的全部而非双曲线的全部. .（2 2）错误）错误. .因为因为|MF|MF1 1|-|MF|-|MF2 2|=8=|F|=8=|F1 1F F2 2| |，表示的轨迹为两条，表示的轨迹为两条射线射线. .（3 3）错误）错误. .当当m0,n0m0,n0时表示焦点在时表示焦点在x x轴上的双曲线，而轴上的双曲线，而m0,m0,n0n0,b0)(a0,b0)的渐近线方程为的渐近线方程为 当当00时，时， 的渐近线的渐近线方程为方程为 即即 同理当同理当00)(a0)的渐近线方程为的渐近线方程为x x2 2-y-y2 2

6、=0=0即即y=y=x x，显然两直线互相垂直，其实轴、虚轴长均，显然两直线互相垂直，其实轴、虚轴长均为为2a,2a,（6 6）正确）正确. .双曲线双曲线 (a0,b0)(a0,b0)的离心率的离心率 同理同理答案：答案：(1)(1) (2) (2) (3) (3) (4) (5) (6) (4) (5) (6) c2ac2ae2.aa ，2222xy1ab221cabe,aa2222222222212ab11abe()()1.beeabab，1.1.已知平面内两定点已知平面内两定点A(-5,0),B(5,0)A(-5,0),B(5,0)，动点，动点M M满足满足|MA|-|MB|=6|MA

7、|-|MB|=6，则点则点M M的轨迹方程是的轨迹方程是( )( )(A) (B) (A) (B) (C) (D) (C) (D) 22xy116922xy1(x 4)16922xy191622xy1(x 3)916【解析】【解析】选选D.D.由由|MA|-|MB|=6|MA|-|MB|=6，且，且6|AB|=1060,b0)C: (a0,b0)的离心率的离心率e=2,e=2,且它的一个且它的一个顶点到相应焦点的距离为顶点到相应焦点的距离为1 1，则双曲线，则双曲线C C的方程为的方程为_._.【解析】【解析】由已知由已知 c=2a. c=2a. 又一个顶点到相应焦点的距离为又一个顶点到相应焦

8、点的距离为1 1，即，即c-a=1. c-a=1. 由由得得a=1,c=2,ba=1,c=2,b2 2=c=c2 2-a-a2 2=4-1=3,=4-1=3,双曲线双曲线C C的方程为的方程为答案：答案：2222xy1abce2,a22yx1.322yx13考向考向 1 1 双曲线的定义双曲线的定义【典例【典例1 1】（1 1）（）（20122012辽宁高考）已知双曲线辽宁高考）已知双曲线x x2 2-y-y2 2=1=1，点，点F F1 1，F F2 2为其两个焦点，点为其两个焦点，点P P为双曲线上一点，若为双曲线上一点，若PFPF1 1PFPF2 2，则，则|PF|PF1 1|+|PF|

9、+|PF2 2| |的值为的值为_._.（2 2）（）（20132013宝鸡模拟）已知定点宝鸡模拟）已知定点A(0, 7),B(0,-7),C(12,2),A(0, 7),B(0,-7),C(12,2),以以C C为一个焦点作过为一个焦点作过A A，B B的椭圆，求另一个焦点的椭圆，求另一个焦点F F的轨迹方程的轨迹方程. .【思路点拨】【思路点拨】（1 1）解题关键是根据双曲线的定义及勾股定理）解题关键是根据双曲线的定义及勾股定理构建关于构建关于|PF|PF1 1|,|PF|,|PF2 2| |的方程，进而求解的方程，进而求解. .（2 2）先根据椭圆的定义得出动点）先根据椭圆的定义得出动点

10、F F满足的等式，再根据三定点满足的等式，再根据三定点间关系，探究出动点间关系，探究出动点F F与两定点与两定点A A，B B的差为常数，从而用定义的差为常数，从而用定义法求轨迹方程法求轨迹方程. .【规范解答】【规范解答】（1 1）不妨设）不妨设|PF|PF1 1|PF|PF2 2|.|.由双曲线方程由双曲线方程x x2 2-y-y2 2=1=1知知a=b=1a=b=1，c= c= ，由双曲线定义得由双曲线定义得|PF|PF1 1|-|PF|-|PF2 2|=2a=2 |=2a=2 由已知条件由已知条件PFPF1 1PFPF2 2及勾股定理得及勾股定理得|PF|PF1 1| |2 2+|PF

11、+|PF2 2| |2 2=|F=|F1 1F F2 2| |2 2=(2c)=(2c)2 2=8 =8 上述两式上述两式联立，解得联立，解得|PF|PF1 1|= +1,|PF|= +1,|PF2 2|= -1,|= -1,故故|PF|PF1 1|+|PF|+|PF2 2|=2 .|=2 .答案：答案：2 2 23333（2 2）由椭圆的定义知）由椭圆的定义知: |AC|+|AF|=|BC|+|BF|: |AC|+|AF|=|BC|+|BF|，又因为又因为A(0,7),B(0,-7),C(12,2),A(0,7),B(0,-7),C(12,2),所以所以|AC|=13,|BC|=15,|AC

12、|=13,|BC|=15,因此因此|AF|-|BF|=2,|AF|-|BF|=2,所以所以F F的轨迹是双曲线的一支，其中的轨迹是双曲线的一支，其中c=7,a=1,c=7,a=1,b b2 2=48,=48,因此所求轨迹方程为：因此所求轨迹方程为：22xy1 y1 .48【互动探究】【互动探究】本例题（本例题（1 1）中）中“PFPF1 1PFPF2 2”改为改为“FF1 1PFPF2 2= =6060”，结果如何？，结果如何？【解析】【解析】不妨设不妨设|PF|PF1 1|PF|PF2 2| |，由双曲线方程由双曲线方程x x2 2-y-y2 2=1,=1,知知a=b=1,a=b=1, 由双

13、曲线定义得由双曲线定义得|PF|PF1 1|-|PF|-|PF2 2|=2a=2,|=2a=2,|PF|PF1 1| |2 2+|PF+|PF2 2| |2 2-2|PF-2|PF1 1|PF|PF2 2|=4 |=4 又又FF1 1PFPF2 2=60=60, ,由余弦定理得：由余弦定理得：c2,|PF|PF1 1| |2 2+|PF+|PF2 2| |2 2-|PF-|PF1 1|PF|PF2 2|=|F|=|F1 1F F2 2| |2 2=(2c)=(2c)2 2=8 =8 - -得得|PF|PF1 1|PF|PF2 2|=4 |=4 代入代入得：得：|PF|PF1 1| |2 2+|

14、PF+|PF2 2| |2 2=4+2|PF=4+2|PF1 1|PF|PF2 2| |=4+2=4+24=12.4=12.|PF|PF1 1|+|PF|+|PF2 2|= |= 212(|PFPF |)221212|PF|PF |2|PF|PF |12 2 42 5. 【拓展提升】【拓展提升】1.“1.“焦点三角形焦点三角形”中常用到的知识点及技巧中常用到的知识点及技巧（1 1）常用知识点：在）常用知识点：在“焦点三角形焦点三角形”中，正弦定理、余弦定中，正弦定理、余弦定理、双曲线的定义经常使用理、双曲线的定义经常使用. .（2 2）技巧：经常结合）技巧：经常结合|PF|PF1 1|-|PF

15、|-|PF2 2|2a2a，运用平方的方法，运用平方的方法，建立它与建立它与|PF|PF1 1|PF|PF2 2| |的联系的联系. .2.2.利用双曲线定义求点的轨迹方程的注意点利用双曲线定义求点的轨迹方程的注意点特别注意条件特别注意条件“差的绝对值差的绝对值”，弄清所求轨迹是整个双曲线，弄清所求轨迹是整个双曲线，还是双曲线的一支，若是一支，是哪一支，并且要在其方程中还是双曲线的一支，若是一支，是哪一支，并且要在其方程中准确限定变量准确限定变量x(y)x(y)的范围的范围. .【变式备选】【变式备选】过双曲线过双曲线x x2 2-y-y2 2=8=8的左焦点的左焦点F F1 1有一条弦有一条

16、弦PQPQ交左支于交左支于P P，Q Q两点，若两点，若|PQ|=7|PQ|=7，F F2 2是双曲线的右焦点，则是双曲线的右焦点，则PFPF2 2Q Q的周长的周长为为_._.【解析】【解析】因为因为x x2 2-y-y2 2=8=8，所以，所以2a=2a=由题设及双曲线的定义得由题设及双曲线的定义得:|PF:|PF2 2|-|PF|-|PF1 1|=|=|QF|QF2 2|-|QF|-|QF1 1|=|=4 2，4 2，4 2，所以所以|PF|PF2 2|+|QF|+|QF2 2|-|PF|-|PF1 1|-|QF|-|QF1 1|=|=即即|PF|PF2 2|+|QF|+|QF2 2|-

17、|PQ|=|-|PQ|=又因为又因为|PQ|=7|PQ|=7，所以，所以|PF|PF2 2|+|QF|+|QF2 2|=7+|=7+因此因此, ,PFPF2 2Q Q的周长为的周长为|PF|PF2 2|+|QF|+|QF2 2|+|PQ|=14+|+|PQ|=14+答案：答案：14+14+8 2,8 2,8 2,8 2.8 2考向考向 2 2 双曲线的标准方程和简单性质双曲线的标准方程和简单性质【典例【典例2 2】（1 1）（）（20122012湖南高考）已知双曲线湖南高考）已知双曲线C C：(a(a0,b0,b0)0)的焦距为的焦距为1010，点，点P(2,1)P(2,1)在在C C的渐近线

18、上，则的渐近线上，则C C的方的方程为程为( )( )(A) (B)(A) (B)(C) (D)(C) (D)2222xy1ab22xy120522xy152022xy1802022xy120 80（2 2）（）（20122012浙江高考改编）如图，浙江高考改编）如图，F F1 1,F,F2 2分别是双曲线分别是双曲线C C： (a(a0,b0)0,b0)的左、右焦点，的左、右焦点，B B是虚轴的端点，直线是虚轴的端点，直线F F1 1B B与与C C的两条渐近线分别交于的两条渐近线分别交于P,QP,Q两点，线段两点，线段PQPQ的垂直平分线与的垂直平分线与x x轴交于点轴交于点M M，若，若

19、|MF|MF2 2|=|F|=|F1 1F F2 2| |，则，则C C的离心率是的离心率是_._.2222xy1ab【思路点拨】【思路点拨】（1 1）利用待定系数法）利用待定系数法. .先根据双曲线的几何性质，先根据双曲线的几何性质，由焦距为由焦距为1010，求出，求出c=5,c=5,再将再将P(2,1)P(2,1)代入渐近线方程，得代入渐近线方程，得a=2ba=2b，从而由从而由a a2 2+b+b2 2=c=c2 2，求出，求出a a，b b，得方程，得方程. .（2 2）利用双曲线的简单性质，结合图形的特征，通过求）利用双曲线的简单性质，结合图形的特征，通过求PQPQ的的中点，再由中点

20、，再由|MF|MF2 2|=|F|=|F1 1F F2 2| |构建关于构建关于a,b,ca,b,c的方程，进而求解的方程，进而求解. .【规范解答】【规范解答】（1 1）选）选A. A. 的焦距为的焦距为1010， 又双曲线渐近线方程为又双曲线渐近线方程为 且且P(2,1)P(2,1)在渐近线上，在渐近线上， =1 =1，即，即a=2b a=2b 由由解得解得a=2 a=2 ，b= b= ，所以方程为，所以方程为（2 2）设双曲线的焦点坐标为）设双曲线的焦点坐标为F F1 1(-c,0),F(-c,0),F2 2(c,0);(c,0);B(0,b),B(0,b),点点F F1 1，B B所在

21、直线为所在直线为2222xy1ab22c 5ab byxa，2ba5522xy1.205xy1,cb 双曲线渐近线方程为双曲线渐近线方程为 由由得得Q( )Q( )，由，由得得P( ),P( ),线段线段PQPQ的中点坐标为的中点坐标为( ).( ).byx,abyx,axy1,cb acbc,c a c abyx,axy1,cb acbc,a c a c222222a cbc,caca由由a a2 2+b+b2 2=c=c2 2得，线段得，线段PQPQ的中点坐标可化为的中点坐标可化为( )( )，直线直线F F1 1B B的斜率为的斜率为线段线段PQPQ的垂直平分线为的垂直平分线为令令y=0

22、y=0，得，得由由|MF|MF2 2|=|F|=|F1 1F F2 2| |得得答案：答案：222a c c,bbbk,c222cca cy(x),bbb2222a ca cxc, M(c,0),bb 222a cFM.b2222222a ca c2c, 3a2c ,bca即236e, e.22 62【拓展提升】【拓展提升】1.1.利用待定系数法求双曲线方程的三种常见类型及相应技巧利用待定系数法求双曲线方程的三种常见类型及相应技巧(1)(1)当已知双曲线的焦点不明确而又无法确定时，其标准方程当已知双曲线的焦点不明确而又无法确定时，其标准方程可设为可设为 这样可避免讨论和复杂的计算；也可这样可避

23、免讨论和复杂的计算；也可设为设为AxAx2 2+By+By2 2=1(AB =1(AB 0)0)，这种形式在解题时更简便，这种形式在解题时更简便. .22xy1 mn 0mn ，(2)(2)当已知双曲线的渐近线方程当已知双曲线的渐近线方程bxbxay=0ay=0，求双曲线方程时，求双曲线方程时，可设双曲线方程为可设双曲线方程为 b b2 2x x2 2-a-a2 2y y2 2=(0)=(0)，再根据其他条件确，再根据其他条件确定定的值的值. .(3)(3)与双曲线与双曲线 有相同的渐近线的双曲线方程可设为有相同的渐近线的双曲线方程可设为 （00），再根据其他条件确定），再根据其他条件确定的值

24、的值. .2222xy1ab2222xyab2.2.双曲线的简单性质的三大关注点双曲线的简单性质的三大关注点（1 1）“六点六点”: :两焦点、两顶点、两虚轴端点两焦点、两顶点、两虚轴端点. .（2 2）“四线四线”：两对称轴（实、虚轴），两渐近线：两对称轴（实、虚轴），两渐近线. .（3 3）“两形两形”：中心、顶点、虚轴端点构成的三角形，双曲：中心、顶点、虚轴端点构成的三角形，双曲线上的一点（不包括顶点）与两焦点构成的焦点三角形线上的一点（不包括顶点）与两焦点构成的焦点三角形. .3.3.双曲线的离心率与渐近线斜率的关系双曲线的离心率与渐近线斜率的关系(1)(1)已知双曲线的离心率已知双曲

25、线的离心率e e求渐近线方程时要注意求渐近线方程时要注意及判断焦点的位置及判断焦点的位置. .(2)(2)已知渐近线方程已知渐近线方程y=mx(my=mx(m0)0)求离心率时，当焦点不确定时，求离心率时，当焦点不确定时， 因此离心率有两种可能因此离心率有两种可能. .【提醒】【提醒】双曲线中双曲线中a a，b b，c c之间的关系为之间的关系为c c2 2=a=a2 2+b+b2 2, ,不要和椭圆不要和椭圆之间的关系混淆之间的关系混淆. .2be1 ( )abammab或，【变式训练】【变式训练】已知双曲线的渐近线方程为已知双曲线的渐近线方程为2x2x3y=0.3y=0.（1 1）求该双曲

26、线的离心率）求该双曲线的离心率. .（2 2）若双曲线经过点）若双曲线经过点P P（ ），求双曲线的方程），求双曲线的方程. .【解析】【解析】（1 1）当焦点在）当焦点在x x轴上时，轴上时，所以所以当焦点在当焦点在y y轴上时，轴上时，6,2222b2ca4a3a9，即，21313ee93，解得；222b3ca9a2a4，即，所以所以即双曲线的离心率为即双曲线的离心率为 或或 . .（2 2）由双曲线的渐近线方程为）由双曲线的渐近线方程为2x2x3y=0,3y=0,可设双曲线方程为可设双曲线方程为4x4x2 2-9y-9y2 2=(0).=(0).双曲线过点双曲线过点P( ),P( ),4

27、46-96-94=,=-12,4=,=-12,故所求双曲线方程为故所求双曲线方程为4x4x2 2-9y-9y2 2=-12,=-12,即即21313ee42，解得，1321336,222yx1.433考向考向 3 3 双曲线与直线、其他圆锥曲线的综合双曲线与直线、其他圆锥曲线的综合【典例【典例3 3】（1 1）（）（20132013景德镇模拟）设离心率为景德镇模拟）设离心率为e e的双曲线的双曲线C C： （a a0 0，b b0 0）的右焦点为）的右焦点为F F，直线，直线l过焦点过焦点F F且斜且斜率为率为k k，则直线，则直线l与双曲线与双曲线C C的左、右两支都相交的充要条件是的左、右

28、两支都相交的充要条件是 ( )( )(A)k(A)k2 2-e-e2 21 (B)k1 (B)k2 2-e-e2 21 1(C)e(C)e2 2-k-k2 21 (D)e1 (D)e2 2-k-k2 21 12222xy1ab（2 2）（）（20132013蚌埠模拟）已知双曲线蚌埠模拟）已知双曲线 （a0,b0a0,b0）的两条渐近线均和圆的两条渐近线均和圆C C：x x2 2+y+y2 2-6x+5=0-6x+5=0相切，且双曲线与椭圆：相切，且双曲线与椭圆： 有相同的焦点，则该双曲线的标准方程为有相同的焦点，则该双曲线的标准方程为_._.【思路点拨】【思路点拨】（1 1）将直线）将直线l的

29、方程与双曲线的方程与双曲线C C的方程联立，消去的方程联立，消去y y得到关于得到关于x x的一元二次方程，只要保证其有相异的两实根即可的一元二次方程，只要保证其有相异的两实根即可求解求解. .（2 2）先写出渐近线方程，利用其和圆相切，构建关于）先写出渐近线方程，利用其和圆相切，构建关于a,ba,b的的方程，再利用与椭圆有相同的焦点得方程，再利用与椭圆有相同的焦点得c,c,从而得解从而得解. .2222xy1ab22xy125 16【规范解答】【规范解答】（1 1）选）选C.C.设双曲线设双曲线C C的右焦点为的右焦点为F F（c c，0 0），），（其中（其中c c2 2=a=a2 2+b

30、+b2 2），则直线），则直线l的方程为的方程为y=ky=k（x-cx-c），将其代入双），将其代入双曲线曲线C C的方程的方程 （a a0 0，b b0 0），并整理得（），并整理得（b b2 2-a-a2 2k k2 2）x x2 2+2a+2a2 2k k2 2cx-acx-a2 2（k k2 2c c2 2+b+b2 2）=0=0由已知直线由已知直线l与双曲线与双曲线C C的左、右两支都相交，所以有的左、右两支都相交，所以有b b2 2-a-a2 2k k2 20,0,且且2222xy1ab22 22222a k cb0ba k（），即：即：b b2 2-a-a2 2k k2 20 0

31、，又，又b b2 2=c=c2 2-a-a2 2，所以有所以有c c2 2-a-a2 2-a-a2 2k k2 20 0，即：即：c c2 2（1+k1+k2 2）a a2 2，ee2 21+k1+k2 2，得：，得：e e2 2-k-k2 21.1.222cc1 keaa即： ，而，（2 2）圆）圆C C：x x2 2+y+y2 2-6x+5=0-6x+5=0可化为：可化为：(x-3)(x-3)2 2+y+y2 2=4.=4.所以其圆心所以其圆心C(3,0),C(3,0),半径半径r=2,r=2,双曲线双曲线 的渐近线方程是：的渐近线方程是：bxbxay=0,ay=0,又渐近线与圆相切，所以

32、又渐近线与圆相切，所以 又椭圆又椭圆 的焦点为的焦点为(-3,0),(3,0),(-3,0),(3,0),2222xy1ab223b2ab22xy125 16双曲线的焦点为双曲线的焦点为(-3,0),(3,0),(-3,0),(3,0),即即a a2 2+b+b2 2=c=c2 2=9 =9 由由得得b=2,c=3,ab=2,c=3,a2 2=5.=5.双曲线的标准方程为：双曲线的标准方程为：答案：答案：22xy1.5422xy154【拓展提升】【拓展提升】 1.1.解决简单直线与双曲线位置关系问题的方法及相应的技巧解决简单直线与双曲线位置关系问题的方法及相应的技巧（1 1）通法：将直线）通法

33、：将直线l的方程的方程Ax+By+C=0(AAx+By+C=0(A，B B不同时为不同时为0 0）代入）代入双曲线双曲线E E的方程的方程F F（x,y)=0 x,y)=0，消去，消去y y（也可以消去（也可以消去x x）得到一个关）得到一个关于变量于变量x x（或变量（或变量y y）的一元二次方程）的一元二次方程. .解此方程或利用根与系解此方程或利用根与系数的关系整体代入的思想解题数的关系整体代入的思想解题. .（2 2）点差法：在涉及直线与圆锥曲线相交弦的中点与斜率问）点差法：在涉及直线与圆锥曲线相交弦的中点与斜率问题时，常把直线与圆锥曲线的交点坐标代入圆锥曲线方程，作题时，常把直线与圆

34、锥曲线的交点坐标代入圆锥曲线方程，作差后结合已知条件进行转化求解差后结合已知条件进行转化求解. .【提醒】【提醒】利用点差法时，对求出的结果要验证其是否满足相交利用点差法时，对求出的结果要验证其是否满足相交的要求，即的要求，即0.0.2.2.解决双曲线与圆、椭圆、双曲线交汇问题的两大策略解决双曲线与圆、椭圆、双曲线交汇问题的两大策略（1 1）以图助解，数形结合）以图助解，数形结合. .（2 2）各个击破）各个击破. .【变式训练】【变式训练】(2013(2013陕西师大附中模拟陕西师大附中模拟) )已知双曲线已知双曲线E E的中心的中心为原点，为原点，F(3,0F(3,0）是）是E E的一个焦

35、点，过的一个焦点，过F F的直线的直线l与与E E相交于相交于A A，B B两点，且两点，且A A与与B B的中点为的中点为N(-12N(-12，-15-15），则），则E E的方程为的方程为( )( )(A) (B)(A) (B)(C) (D) (C) (D) 22xy13622xy14522xy16322xy154【解析】【解析】选选B.B.方法一：设双曲线的方程为方法一：设双曲线的方程为 (a0,b0)(a0,b0)，由题意知直线由题意知直线l的斜率为的斜率为 可知直线可知直线l的方程为的方程为y=x-3.y=x-3.联立方程得联立方程得 整理得整理得(b(b2 2-a-a2 2)x)x

36、2 2+6a+6a2 2x-9ax-9a2 2-a-a2 2b b2 2=0,=0,设设A(xA(x1 1,y,y1 1),B(x),B(x2 2,y,y2 2),),则则x x1 1+x+x2 2= = 2222xy1ab15 01,12 32222y x 3,xy1,ab 2226a,ba又又A A与与B B中点中点N N（-12,-15-12,-15）, =-24, =-24,5a5a2 2=4b=4b2 2, ,又又c=3,ac=3,a2 2+b+b2 2=9,=9,可得可得a a2 2=4,b=4,b2 2=5.=5.故双曲线的方程为故双曲线的方程为方法二：设双曲线的方程为方法二：设

37、双曲线的方程为 (a0,b0)(a0,b0)，由题意知，由题意知c=3,ac=3,a2 2+b+b2 2=9=9，设，设A(xA(x1 1,y,y1 1),B(x),B(x2 2,y,y2 2) )，则有：，则有：2226aba22xy1.452222xy1ab两式作差得：两式作差得：又直线又直线ABAB的斜率是的斜率是所以所以4b4b2 2=5a=5a2 2，将，将4b4b2 2=5a=5a2 2与与a a2 2+b+b2 2=9=9联立，联立，解得解得a a2 2=4,b=4,b2 2=5=5，所以双曲线的方程为所以双曲线的方程为221122222222xy1,abxy1,ab221212

38、221212b xxyy4b,xxa yy5a15 01,12 322xy1.45【易错误区】【易错误区】忽略讨论双曲线的焦点位置致误忽略讨论双曲线的焦点位置致误【典例】【典例】（20132013淮南模拟）已知双曲线淮南模拟）已知双曲线 (mn(mn0)0)的的一条渐近线方程为一条渐近线方程为 则该双曲线的离心率则该双曲线的离心率e e为为_._.【误区警示】【误区警示】 本题易出现的错误是误认为焦点在本题易出现的错误是误认为焦点在x x轴上，不讨轴上，不讨论焦点位置而丢解论焦点位置而丢解. .22xy1mn4yx3，【规范解答】【规范解答】当当m0,n0m0,n0时，时，当当m0m0，n0n

39、0)0,b0)的的两顶点为两顶点为A A1 1,A,A2 2，虚轴两端点为，虚轴两端点为B B1 1，B B2 2，两焦点为，两焦点为F F1 1,F,F2 2. .若以若以A A1 1A A2 2为直径的圆内切于菱形为直径的圆内切于菱形F F1 1B B1 1F F2 2B B2 2，切点分别为，切点分别为A,B,C,D.A,B,C,D.则则2222xy1ab（1 1）双曲线的离心率）双曲线的离心率e=_.e=_.（2 2）菱形）菱形F F1 1B B1 1F F2 2B B2 2的面积的面积S S1 1与矩形与矩形ABCDABCD的面积的面积S S2 2的比值的比值 =_.=_.【解析】【解析】（1 1）如题干图：）如题干图： 化简得：化简得：c c4 4-3a-3a2 2c c2 2+a+a4 4=0=0，即，即e e4 4-3e-3e2 2+1=0+1=0，又，又e1,e1,则则2 222OFB11Sbcbc a,2215e.212SS（2 2）由题意知：）由题意知：S S1 1=2bc,=2b