第六章 弯曲应力

1、第六章第六章 弯曲应力弯曲应力6-1 概概 述述CL8TU1PPQMaalQM= 0= const，纯弯曲纯弯曲：QM ，00横力弯曲横力弯曲：PPCDABPPPa 在横截面上，只有法向内力元素在横截面上，只有法向内力元素dN=dA才才能合成弯矩能合成弯矩M，只有切向内力元素，只有切向内力元素dQ=dA才能合成剪力才能合成剪力QdAdAMdAdAdAQ M QdAQdAM6-2 纯弯曲时梁横截面上的正应力纯弯曲时梁横截面上的正应力从三方面考虑：从三方面考虑：一、变形几何关系一、变形几何关系 用较易变形的材料制成的矩形截面等直梁用较易变形的材料制成的矩形截面等直梁作纯弯曲试验作纯弯曲试验: 变形

2、几何关系变形几何关系 物理关系物理关系 静力学关系静力学关系aabbmnmnmmmm(1)aa、bb弯成弧线，弯成弧线，aa缩短，缩短，bb伸长伸长(2)mm、nn变形后仍保持为直线，且仍与变为变形后仍保持为直线，且仍与变为 弧线的弧线的aa，bb垂直垂直(3)部分纵向线段缩短，另一部分纵向线段伸长。部分纵向线段缩短，另一部分纵向线段伸长。梁在纯弯曲时的梁在纯弯曲时的平面假设平面假设： 梁的各个横截面在变形后仍保持为平面，并梁的各个横截面在变形后仍保持为平面，并仍垂直于变形后的轴线，只是横截面绕某一仍垂直于变形后的轴线，只是横截面绕某一轴旋转了一个角度。轴旋转了一个角度。观察到以下变形现象观察

3、到以下变形现象: 再作单向受力假设：假设各纵向纤维之间互再作单向受力假设：假设各纵向纤维之间互不挤压。于是各纵向纤维均处于单向受拉或不挤压。于是各纵向纤维均处于单向受拉或受压的状态。受压的状态。推论：推论： 梁在弯曲变形时，上面部分纵向纤维缩短，梁在弯曲变形时，上面部分纵向纤维缩短，下面部分纵向纤维伸长，必有一层纵向纤维下面部分纵向纤维伸长，必有一层纵向纤维既不伸长也不缩短既不伸长也不缩短,保持原来的长度，这一纵保持原来的长度，这一纵向纤维层称为向纤维层称为中性层中性层。 中性层与横截面的交线称为中性层与横截面的交线称为中性轴中性轴中性层中性层中性轴中性轴中性层中性层 ()y dddCL8TU

4、3-2yzdxydyy二、物理关系二、物理关系 EEy正应力与它到中性层的距离成正比，中性层上的正应力与它到中性层的距离成正比，中性层上的正应力为零。正应力为零。上式只能用于定性分析，而不能用于定量计算：上式只能用于定性分析，而不能用于定量计算：（1）由于中性轴）由于中性轴z的位置未确定，故的位置未确定，故y无法标定；无法标定；（2）式中）式中 未知，（若已知未知，（若已知M， 与与M有何关系？）有何关系？）三三、静力学关系、静力学关系dANAxAdMzAyAdMyAzAd 0 0 M设中性轴为zNAxAd0EyAAd00dAAyE0zASydA必过截面形心中性轴Zyz横截面对Z轴的静矩MzA

5、yAd00dAAzydAEAyEz0yzAIzydAMyAMzAdy EyAMAdzEIM1令：AzdAyI2截面对yz轴的惯性积截面对z轴的惯性矩由于y为对称轴、上式自然满足。1MEIzM yIz中性轴过截面形心中性轴过截面形心中性层的曲率公式：中性层的曲率公式：正应力计算公式：正应力计算公式：横截面上的最大正应力横截面上的最大正应力：tZM yI1yyy12max当中性轴是横截面的对称轴时：当中性轴是横截面的对称轴时：,cZM yI2tcmaxMWZmaxmaxM yIZWz 称为抗弯截面模量称为抗弯截面模量WIyzzmax公式适用条件：公式适用条件：1）符合平面弯曲条件（平面假设，）符合

6、平面弯曲条件（平面假设，横截面具有一根对称轴）横截面具有一根对称轴）2）p(材料服从虎克定律）材料服从虎克定律）1）沿）沿y轴线性分布，同一轴线性分布，同一坐标坐标y处，正应力相等。中处，正应力相等。中性轴上正应力为零。性轴上正应力为零。2）中性轴将截面分为受）中性轴将截面分为受拉、受压两个区域。拉、受压两个区域。3）最大正应力发生在距）最大正应力发生在距中性轴最远处。中性轴最远处。AzAyId2ybyhhd2/2/2bh312yyd同理同理:123hbIy简单截面的惯性矩的计算简单截面的惯性矩的计算矩形矩形：圆及圆环：圆及圆环：222Ryz方程：AAzdAzRdAyI)(222dyZRdA2

7、22Zy0ydy642)(42222ddyyRzRIRRz(然而：然而：322)(422222dIIIdAzdAydAzydAIzyzAAAAp)6424dIIIzyz圆环：圆环：yxDd)1 (6464644444DdDIIIIzzzy小大Dd其中IbhZ312IdZ464IDdDZ()()444464641,WbhZ26,WdZ332WDZ34321 ()6-3 横力弯曲时的正应力横力弯曲时的正应力 正应力强度计算正应力强度计算上式是在上式是在和和的基础上推导的基础上推导的，实验证明在纯弯曲情况下这是正确的。的，实验证明在纯弯曲情况下这是正确的。对于横力弯曲，由于剪力的存在，横截面产生剪对

8、于横力弯曲，由于剪力的存在，横截面产生剪切变形，使横截面发生翘曲，不再保持为平面。切变形，使横截面发生翘曲，不再保持为平面。M yIz 弹性力学精确分析结果指出：当梁的跨度大于弹性力学精确分析结果指出：当梁的跨度大于梁的横截面高度梁的横截面高度5倍倍(即即l5h)时，剪应力和挤时，剪应力和挤压应力对弯曲正应力的影响甚小，可以忽略不压应力对弯曲正应力的影响甚小，可以忽略不计。因此由纯弯曲梁导出的正应力计算公式，计。因此由纯弯曲梁导出的正应力计算公式，仍可以应用于横力弯曲的梁中。仍可以应用于横力弯曲的梁中。xlh二、梁的正应力强度条件二、梁的正应力强度条件利用上式可以进行三方面的强度计算：利用上式

9、可以进行三方面的强度计算：已知外力、截面形状尺寸、许用应力，校核已知外力、截面形状尺寸、许用应力，校核梁的强度梁的强度已知外力、截面形状、许用应力，设计梁的已知外力、截面形状、许用应力，设计梁的截面尺寸截面尺寸已知截面形状尺寸、许用应力，求许可载荷已知截面形状尺寸、许用应力，求许可载荷maxmax MWZ 例：两矩形截面梁，尺寸和材料的许用应力例：两矩形截面梁，尺寸和材料的许用应力均相等，但放置如图均相等，但放置如图(a)、(b)。按弯曲正应力。按弯曲正应力强度条件确定两者许可载荷之比强度条件确定两者许可载荷之比 P1P2？l解：解：maxmax111126MWPlbhzmaxmax22222

10、6MWP lhbz由得maxmax :12PPhb12 例：例： 矩形截面梁当横截面的高度增加一倍，矩形截面梁当横截面的高度增加一倍，宽度减小一半时，从正应力强度条件考虑，宽度减小一半时，从正应力强度条件考虑，该梁的承载能力将是原来的多少倍？该梁的承载能力将是原来的多少倍？解：解： 由公式由公式maxmaxmaxMWMbhz26可以看出，可以看出， 该梁的承载能力将是原来的该梁的承载能力将是原来的 2 倍。倍。 例：主例：主梁梁AB，跨度为，跨度为l，采用加副梁，采用加副梁CD的方法的方法提高承载能力，若主梁和副梁材料相同，截面提高承载能力，若主梁和副梁材料相同，截面尺寸相同，则副梁的最佳长度

11、尺寸相同，则副梁的最佳长度a为多少？为多少？a2a2l2l2PABCDAB2P2P2aL2aLMPlaABmax()4PaCDMPaCDmax4主梁主梁AB附梁附梁CDMM解：解：主梁主梁AB的最大弯矩的最大弯矩PlaPa44()副梁副梁CD的最大弯矩的最大弯矩MPaCDmax4由由MMABCDmaxmax即即得得al2MPlaABmax()4 例：图示梁的截面为例：图示梁的截面为T形，材料的许用拉应力形，材料的许用拉应力和许用压应力分别为和许用压应力分别为t和和c，则，则 y1 和和 y2 的最佳比值为多少？（为截面形心）的最佳比值为多少？（为截面形心） PCy1y2z解：解：( )( )1

12、212得：yytctztMyImax1czcMyImax2( ) 1( )2 例：图示外伸梁，受均布载荷作用，材料的例：图示外伸梁，受均布载荷作用，材料的许用应力许用应力=160MPa，校核该梁的强度。，校核该梁的强度。 10kN / m2m4m100200解：由弯矩图可见解：由弯矩图可见Mmax20kN m10kN / m2m4m10020045kN15kNQ()kN202515M()kN m201125.tzMWmax20100102632. 30MPa 该梁满足强度条件，安全该梁满足强度条件，安全 例：图示三种截面梁，材质、截面内例：图示三种截面梁，材质、截面内max、max全相同，求三

13、梁的重量比。并指出哪种截全相同，求三梁的重量比。并指出哪种截面最经济。面最经济。A1A2A32bbaad解：由题意可知解：由题意可知WWWzzz123A1A2A32bbaad即即bbad()26632233AAA123:24222bad:bada063001193. 0794 1 112.: : .zWMmaxmax 例：图示铸铁梁，许用拉应力例：图示铸铁梁，许用拉应力t =30MPa，许用压应力许用压应力c =60MPa,z=7.6310-6m4，试校核此梁的强度。试校核此梁的强度。9kN4kNCz52881m1m1mABCDtzI2588.9kN4kNCz52881m1m1mM(kN m)

14、25 . kN105 . kN25 .4ABCDczI2552.tzI452czI488C截面截面：B截面截面： 288 . MPa 170 . MPa 273 . MPa 461 . MPa注：强度校核（选截面、荷载）注：强度校核（选截面、荷载）1）ctct：（等截面）只须校核：（等截面）只须校核Mmax处处2）:（等截面）（等截面）a)对称截面情况只须校核对称截面情况只须校核Mmax处使处使cctt,maxmaxB)非非对称截面情况，具体分析，一般要校核对称截面情况，具体分析，一般要校核Mmax（+） 与与 Mmax（-）两处。）两处。 例：简支梁例：简支梁AB，在截面下边缘贴一应变，在截

15、面下边缘贴一应变片，测得其应变片，测得其应变= 610-4，材料的弹性模，材料的弹性模量量 E=200GPa，求载荷，求载荷P的大小。的大小。04 . m05 . m1mPABCD4020解：解：04 . m05 . m1mPABCD4020C点的应力点的应力CE2001061034 120MPaC截面的弯矩截面的弯矩MWCCzMRCA 05 .由由得得P 32 . kN0504. P 02 . P640N m640N m 例：简支梁受均布荷载，在其截面的下例：简支梁受均布荷载，在其截面的下边缘贴一应变片，已知材料的边缘贴一应变片，已知材料的E=200GPa，试，试问该应变片所测得的应变值应为

16、多大？问该应变片所测得的应变值应为多大？q 40kN / m15 . mABC20030015 . mq 40kN / m15 . mABC20030015 . m解：解：C截面下边缘截面下边缘的应力的应力CCzMWC截面的弯矩截面的弯矩MqlC2845kN mCE应变值应变值15MPa1510200106975105. 例：图示木梁，已知下边缘纵向总伸长为例：图示木梁，已知下边缘纵向总伸长为 10 mm，E=10GPa，求载荷，求载荷P的大小。的大小。P2mABC2003002mP2mABC2003002m解：解：AClxx( ) d0/2xdx( )xExld0/2M xW Exzl( )

17、d0/2PxW Exzl2d0/2PlW Ez216PW ElzAC162 164020361051022103. 150kN 例：我国营造法中，对矩形截面梁给出的尺例：我国营造法中，对矩形截面梁给出的尺寸比例是寸比例是 h:b=3:2。试用弯曲正应力强度证明：。试用弯曲正应力强度证明：从圆木锯出的矩形截面梁，上述尺寸比例接从圆木锯出的矩形截面梁，上述尺寸比例接近最佳比值。近最佳比值。bhd（使Wz最大）解：解：bhd222bhdWbhz26b db()226Wbdbz22620由此得由此得bd3hdbd2223hd26-4 6-4 弯曲剪应力和强度校核弯曲剪应力和强度校核一、矩形截面梁的剪应

18、力一、矩形截面梁的剪应力q x( )Pbhxdxq x( )M x( )M xM x( )( ) dM yIzzy对于短跨、截面高的梁对于短跨、截面高的梁须计算弯曲剪应力须计算弯曲剪应力假设：的方向都与平行1)Qy沿宽度均布。)2NINII在在h b的情况下的情况下NAAId*NAMM yIAMMIy AMMISAzAzAzzIIdddddd*()*M yIAzAd*MIy AzAd*MISzz*NINIIMMISMISb xzzzzdd*SI bMxzz*ddQSI bzz*NNb xIIIdNINIIQ SIbZZ*式中IbhZ312,Sb hyZ*242264322Qbhhymax323

19、2QbhQAmaxzbh max=32FQbh二、二、工字形截面梁的剪应力工字形截面梁的剪应力 腹板腹板 翼缘翼缘在腹板上：在腹板上：Q SIbZZ*max()QIbBHBbhZ2288minQIbBHBhZ2288maxminQQ1095097 ( . .)QbhbBh Hy 在翼缘上，有平行于在翼缘上，有平行于Q的剪应力分量，分的剪应力分量，分布情况较复杂，但数量很小，并无实际意义，布情况较复杂，但数量很小，并无实际意义，可忽略不计。可忽略不计。 在翼缘上，还有垂直于在翼缘上，还有垂直于Q方向的剪应力分方向的剪应力分量，它与腹板上的剪应力比较，一般来说也是量，它与腹板上的剪应力比较，一般来

20、说也是次要的。次要的。 腹板负担了截面上的绝大部分剪力，翼缘腹板负担了截面上的绝大部分剪力，翼缘负担了截面上的大部分弯矩。负担了截面上的大部分弯矩。maxmax*max*Q SIbQbISZZZZ对于标准工字钢梁：对于标准工字钢梁：三、圆截面梁的剪应力三、圆截面梁的剪应力max43QAyZZQ SIb*下面求最大剪应力：下面求最大剪应力：QzyyABydy1y1yZZQSIb*23212121211*22_)(32221yRdyyRydAySyRABbRyAZyIyRQ3)(22ZyBAIyRRQyRR3)(212222中性轴上中性轴上：22max343RQIRQZy max=43FQA弯曲剪

21、应力强度条件弯曲剪应力强度条件maxmaxmax* QSIbZZ例：圆形截面梁受力如图所示。已知材料的许例：圆形截面梁受力如图所示。已知材料的许用应力用应力=160MPa，=100MPa，试，试求最小直径求最小直径dmin。q 20kN / m4mABdq 20kN / m4mABd解：解：Qmax 40kN,maxmax MWzMqlmax2840kN m由正应力强度条件：由正应力强度条件：即40103216010336d得d 137mmmaxmax 43QA即434010410010326d得d 261 . mm由剪应力强度条件：由剪应力强度条件：所以dmin 137mm例：例：两个尺寸完

22、全相同的矩形截面梁叠在一起承受荷载如图两个尺寸完全相同的矩形截面梁叠在一起承受荷载如图所示。若材料许用应力为所示。若材料许用应力为 ，其许可载荷，其许可载荷p为多少？如将两为多少？如将两个梁用一根螺栓联成一体，则其许可荷载为多少？若螺栓许个梁用一根螺栓联成一体，则其许可荷载为多少？若螺栓许用剪应力为用剪应力为，求螺栓的最小直径？，求螺栓的最小直径？b2h2hPL解：解：一、两梁叠放承载一、两梁叠放承载时，每梁将各自弯曲两时，每梁将各自弯曲两梁都有自己的中性层梁都有自己的中性层每梁的最大正应力：每梁的最大正应力：WM2maxmax其中：其中：246222bhhbW2maxmax122bhPLWM

23、QPPLMb2h2h二、当两梁用螺栓联二、当两梁用螺栓联为一体时，中性轴只为一体时，中性轴只有一个：有一个：62maxmaxbhPLWMP62maxBhPL由正应力强度条件：由正应力强度条件：LbhP62可见，两梁结为一体后，承载能力提高一倍。可见，两梁结为一体后，承载能力提高一倍。三、求螺栓最小直径：三、求螺栓最小直径：螺栓主要是受剪螺栓主要是受剪zzbhPAQ2323max设梁达到了许用应力设梁达到了许用应力pLhLbhbhbhP4623232max中性轴处：中性轴处：全梁中性层上的剪力：全梁中性层上的剪力：4bhbLQ 由螺栓剪切强度条件：由螺栓剪切强度条件：442dbhAQ螺可得：可得

24、：bhd minbhd讨论：讨论：Q 与何力平衡？与何力平衡？Q QbhhLPbhLbhPIMbhybdyIMbdyNzhzh423128832220206-5 提高梁强度的主要措施提高梁强度的主要措施控制梁弯曲强度的主要因素是弯曲正应力，即控制梁弯曲强度的主要因素是弯曲正应力，即以以maxmax MWZ作为梁设计的主要依据。因此应使作为梁设计的主要依据。因此应使Mmax尽可尽可能地小，使能地小，使WZ尽可能地大。尽可能地大。一、梁的合理截面一、梁的合理截面合理的截面形状应使截面积较小而抗弯截面模合理的截面形状应使截面积较小而抗弯截面模量较大。量较大。hbhbPzzW大的同时，大的同时，A要较

25、小。要较小。较大合理AWhbhbhAW167. 062dddAW125. 043223aaaAW167. 062327. 0AW0.31h21maxmaxctctyyy1Pzy2C1）对于）对于 t= c的材料，可用与中性轴对称的截面，使的材料，可用与中性轴对称的截面，使截面上、下边缘截面上、下边缘tmax= cmax2）对于）对于 t c的材料，如铸铁的材料，如铸铁 t c，宜用中性轴偏于，宜用中性轴偏于受拉边的截面。受拉边的截面。二、合理安排梁的受力情况二、合理安排梁的受力情况CL8TU22qqMMql28002142.qlxl 0207.xxllPMPl / 4al2l2PPl /8Ml

26、2l2l2a2a2三、采用变截面梁、等强度梁的概念三、采用变截面梁、等强度梁的概念梁的各横截面上的最大正应力都等于材料的许梁的各横截面上的最大正应力都等于材料的许用应力用应力时，称为时，称为等强度梁等强度梁。Pl2l2)()(maxxWxM即：例：矩形截面梁，跨中例：矩形截面梁，跨中C处处受集中力受集中力P,设截面高设截面高h为常数，为常数，宽度宽度b可变化，可变化，b=b（x）,求求b（x）LPAB解：由对称性，研究一半梁解：由对称性，研究一半梁ACC2P2PxxpxM2)(2)(61)(hxbxW由等强度条件：由等强度条件：)()(maxxWxM2)(61)(2xPhxbxWxhPxb23

27、)(b(x)考虑到剪切强度条件：考虑到剪切强度条件：对于矩形截面：对于矩形截面：22323maxmaxbhpAQhPxb 43)(hPxb 43)(min即：b(x)min同理：若同理：若b为常量，高度为常量，高度h=h(x)LPABC2P2Px2)(61)(2xPxbhxWbPxxh3)(按抛物线变化按抛物线变化考虑到剪切强度条件：考虑到剪切强度条件：bPxh 43)(minmin)(xh)(xhPNN鱼腹梁鱼腹梁6-6 非对称截面梁平面弯曲的条件非对称截面梁平面弯曲的条件 开口薄壁截面梁的弯曲中心开口薄壁截面梁的弯曲中心一、非对称截面梁平面弯曲的条件一、非对称截面梁平面弯曲的条件 前面讨论

28、的平面弯曲，仅限于梁至少有一前面讨论的平面弯曲，仅限于梁至少有一个纵向对称面，外力均作用在该对称面内且个纵向对称面，外力均作用在该对称面内且垂直于轴线。垂直于轴线。 对于非对称截面梁。横截面上有一对形心对于非对称截面梁。横截面上有一对形心主惯性轴主惯性轴y、z，形心主惯性轴，形心主惯性轴y、z与轴线与轴线x组组成两个形心主惯性平面成两个形心主惯性平面xOy、xOz形心主惯性平面形心主惯性平面y、z轴为形心主惯性轴轴为形心主惯性轴对于非对称截面梁，由实验和弹性理论分析可对于非对称截面梁，由实验和弹性理论分析可以得到它发生平面弯曲的条件是以得到它发生平面弯曲的条件是:(1)当外力偶作用在平行于形心主惯性平面的当外力偶作用在平行于形心主惯性平面的任一平面内时任一平面内时,梁产生平面弯曲。梁产生平面弯曲。(2)当横向外力作用在平行于形心主惯性平面当横向外力作用在平行于形心主惯性平面的平面内，并且通过特定点时，梁发生平面的平面内，并且通过特定点时，梁发生平面弯曲。否则将会伴随着扭转变形。但由于实弯曲。否则将会伴随着扭转变形。但由于实体构件抗扭刚度很大，扭转变形很小，其带体构件抗扭刚度很大，扭转变形很小，其带来的影响可以忽略不计。来的影响