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文档简介
1、第第6章章 微分方程微分方程6 61 1 微分方程的概念微分方程的概念6 62 2 一阶微分方程一阶微分方程6 63 3 二阶常系数线性微分方程二阶常系数线性微分方程首页首页上页上页返回返回下页下页61 微分方程的概念微分方程的概念首页首页上页上页返回返回下页下页基础知识基础知识引例引例1(曲线的方程)(曲线的方程) 求过(求过(1,2)点,且在曲线上任一)点,且在曲线上任一)(xfy 分析分析 设设所求曲线的方程为所求曲线的方程为,则,则2d3dyxx2d3dyxx,或,或23x点点M(x,y)处的切线斜率等于)处的切线斜率等于的曲线方程的曲线方程.12xy且首页首页上页上页返回返回下页下页
2、Cxy313 xy对等式两端积分,得对等式两端积分,得1C 得. 所以,所求曲线的方程为所以,所求曲线的方程为12xy由首页首页上页上页返回返回下页下页sm/202/4 . 0sm引例引例2(列车的运动方程)(列车的运动方程) 在直线轨道上,以在直线轨道上,以的速度行驶的列车,制动获得的加速度为的速度行驶的列车,制动获得的加速度为求开始制动后列车的运动方程求开始制动后列车的运动方程. 4 . 022dtsd)(tfs 分析分析 设列车的运动方程为设列车的运动方程为,则物体运动的速度为,则物体运动的速度为dtds22dtsd)(tfs ,加速度为,加速度为. 于是,于是,应满足方程应满足方程首页
3、首页上页上页返回返回下页下页0,2000ttsdtds14 . 0Ctdtds2122 . 0CtCts020,tdsdt由00,ts得0,2021CC且应满足条件:且应满足条件:再积分,得再积分,得tts202 . 02 所以,所求物体的运动方程是:所以,所求物体的运动方程是:.4 . 022dtsd对对 两端积分,得两端积分,得首页首页上页上页返回返回下页下页微分方程的定义微分方程的定义 含有未知函数的导数或微分的方含有未知函数的导数或微分的方 程叫做程叫做微分方程微分方程. 例例 30,yxyd2 d0,yxx2445,x yxyx(4)49104sinyyyyyx首页首页上页上页返回返
4、回下页下页问:问:上述各方程中,所出现的最高阶数是多少?上述各方程中,所出现的最高阶数是多少?微分方程的阶微分方程的阶 微分方程中所出现的未知函数的最微分方程中所出现的未知函数的最 高阶导数的阶数叫做高阶导数的阶数叫做微分方程的阶微分方程的阶. 讨论:讨论:你能说出上述各方程的阶数吗?你能说出上述各方程的阶数吗?一般地,一般地,n阶微分方程可表示为阶微分方程可表示为,y ,y , y , xFn0)()(其中其中 ( )( , ,)nF x y yy 是是 2n个变量的函数个变量的函数. 讨论:讨论:在上述方程中,在上述方程中, )(ny必须出现吗?为什么?必须出现吗?为什么? 首页首页上页上
5、页返回返回下页下页微分方程的解微分方程的解 若将一个函数代入微分方程中,使若将一个函数代入微分方程中,使 方程成为恒等式,则称这个函数是该方程成为恒等式,则称这个函数是该微分方程的解微分方程的解. 例例 在案例在案例7.1中,函数中,函数2122stC tC ( 21C,C为任意常数)为任意常数) 2220stt 都是微分方程都是微分方程 22d4dst 的解的解. 首页首页上页上页返回返回下页下页问:问:上述两个解有什么区别?上述两个解有什么区别? 若微分方程的解中含有任意常数,且独立的任若微分方程的解中含有任意常数,且独立的任意常数的个数与微分方程的阶数相同,则这样的解意常数的个数与微分方
6、程的阶数相同,则这样的解叫做叫做微分方程的通解微分方程的通解. 例例 函数函数 2122stC tC ( 21C,C为任意常数)为任意常数) 是是 22d4dst 的通解的通解. 首页首页上页上页返回返回下页下页讨论讨论 (1) xxeCeCy21中有几个本质的任意常中有几个本质的任意常 数?数? (2)方程)方程 0( ,)axbyca b不同为零中本质上中本质上 有几个任意常数?有几个任意常数? 若微分方程的一个解不含任意常数,则称这个若微分方程的一个解不含任意常数,则称这个解是微分方程在某一特定条件下的解,简称为解是微分方程在某一特定条件下的解,简称为特解特解. 例例 函数函数 222d
7、2204dssttt 是的特解的特解. 首页首页上页上页返回返回下页下页确定特解的条件叫做确定特解的条件叫做初始条件初始条件. 例例 案例案例7.1中的中的 00d200,0dttsst是初始条是初始条 件件. 求微分方程的解的过程叫做求微分方程的解的过程叫做解微分方程解微分方程. 注意注意 若不特别声明,也没有给出初始条例,解微若不特别声明,也没有给出初始条例,解微 分方程就是求微分方程的通解分方程就是求微分方程的通解. 首页首页上页上页返回返回下页下页例例1 验证:函数 ktsinCktcosCx21是微分方 程 222d0dxk xt的解. 解解 12dsincos,dxC kktC k
8、ktt 222122212dcossind(cossin).xC kktC kkttkCktCkt 首页首页上页上页返回返回下页下页代入微分方程,得代入微分方程,得212(cossin)kCktCkt212(cossin)0.kCktCkt所以,所以, ktsinCktcosCx21是所给微分方程的解是所给微分方程的解. 首页首页上页上页返回返回下页下页例例2 解微分方程解微分方程 .xxy1232 解解 对方程两端积分,得对方程两端积分,得2d(321)d ,yxxxx.Cxxxy123321d()d ,yxxxxCx.CxCxxxy21234213141所以,所求微分方程的通解为所以,所求
9、微分方程的通解为.CxCxxxy21234213141首页首页上页上页返回返回下页下页例例3 解微分方程解微分方程30d(cos )d ,1.xyxxxy解解 对方程两端积分,得对方程两端积分,得3d(cos )d ,yxxx即即 .Cxsinxy441将初始条件将初始条件 10 xy代入上述通解中,得代入上述通解中,得 .C1所以,所以, 满足初始条件的特解为满足初始条件的特解为 .xsinxy1414首页首页上页上页返回返回下页下页小结:小结:1微分方程的概念;微分方程的概念;2微分方程的阶;微分方程的阶;3微分方程的解:通解,特解;微分方程的解:通解,特解;4解微分方程。解微分方程。首页
10、首页上页上页返回返回下页下页应用案例应用案例( )180.3(P tt美元)案例(油井的收入)案例(油井的收入) 一个月产一个月产300300桶原油的油井,桶原油的油井,t t个月后,原油价格将是每桶个月后,原油价格将是每桶假定油产后即被售出,问从这口井可得到多少美元的收入?假定油产后即被售出,问从这口井可得到多少美元的收入?首页首页上页上页返回返回下页下页( )180.3P tt300(180.3) td( )dR tt300(180.3) t( )R t解解 设设为从现在开始到第为从现在开始到第t t个月的总收入,则第个月的总收入,则第d( )dR tt( )R tt t个月的收入为个月的
11、收入为关于关于t t的导数,即的导数,即又第又第t t个月售出个月售出300300桶原油,价格为桶原油,价格为所以收入为所以收入为于是,得于是,得. . 首页首页上页上页返回返回下页下页d( )d300(180.3)ddR ttttt3/ 2( )540060R tttC3/ 2(36)5400366036207360 ()R美元(0)0R初始条件是初始条件是对微分方程两边积分对微分方程两边积分, ,得得(0)0R0C 将初始条件将初始条件代入上式,得代入上式,得3/ 2( )540060R ttt所以,总收入函数为:所以,总收入函数为:因为这口井将在因为这口井将在3636个月后干枯,所以总收入是个月后干枯,所以总收入
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