必修4-平面向量知识点总结

1、、向量的基本概念1. 向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别注意：不能说向量就是有向线段，为什么？提示：向量可以平移.举例 1 已知A(1,2)，B(4,2)，则把向量AB按向量a二,3)平移后得到的向量是.2. 零向量：长度为 0 的向量叫零向量，记作： 0，规定：零向量的方向是任意的;平面向量知识点小结.向量常用有向线段来表示结果：(3,0)3.单位向量:长度为一个单位长度的向量叫做单位向量(与AB 共线的单位向量是翌)；I AB|:长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性;(也叫共线向量)：方向相同或相反的非零向量4. 相等向量5. 平行向量 规定：零向量

2、和任何向量平行.注：相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；2两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线，但两条直线平行不包含两条直线重合;3平行向量无传递性！(因为有 0);4三点A、B、C共线：=扁、共线.6. 相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量.a 的相反向量记作-a .举例 2 如下列命题：(1)若禺品，则a.、b 叫做平行向量，记作：a / b，(2 )两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点相同.(3)若AB -DC，则ABCD是平行四边形.(4)若ABCD是平行四边形，则AB -DC.(5 )若a，b=C，则a =C.(6)若

3、a/b，b/C则a/C.其中正确的是结果：(4)( 5)二、向量的表示方法T1.几何表示：用带箭头的有向线段表示，如AB，注意起点在前，终点在后；2. 符号表示：用一个小写的英文字母来表示，如a，b，c 等；43. 坐标表示：在平面内建立直角坐标系，以与x轴、y 轴方向相同的两个单位向量i , j为基底，则平面内的任一向量 a 可表示为a =xi* - yj =(x, y)，称(x, y)为向量 a 的坐标，a=(x,y)叫做向量 a 的坐标表示.结论：如果向量的起点在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标相同三、平面向量的基本定理定理设 e,e2同一平面内的一组基底向量，a 是该平面内任一向量

4、，则存在唯一实数对(1)定理核心: #=涓+躺2； (2)从左向右看，是对向量 a 的分解，且表达式唯一；反之，是对向量 a 的合成.(3)向量的正交分解：当囂右时，就说a二爲-厶g为对向量a的正交分解.(1, -2)，使 a =，e 26举例 3(1)若a 41,1)，b =(1,_1)，c二,2)，贝u c二 .结果：la _3b.2 2(2)下列向量组中，能作为平面内所有向量基底的是BA.e却,0)，62=(1,/)B.6=(42),62=(5,7)C.e=(3,5)，e(6,10)D.q=(2, A),(3)已知AD, BE分别是ABC的边BC，AC上的中线，且AD左，BE -b ,则

5、BC可用向量a,b表示为结果:(4)已知 ABC中，点D在BC边上，且CD -2DB，CDTAB:：；sAC，贝U r讦s-的值是 .结果：0.勺耳.四、 实数与向量的积实数，与向量 a 的积是一个向量，记作-a，它的长度和方向规定如下：(1) 模:i，齐 |；(2)方向：当二、0 时， a 的方向与 a 的方向相同，当二”0 时，舄的方向与 a 的方向相反，当=0 时， = 0,注意：NT.五、 平面向量的数量积H_ 斗H1. 两个向量的夹角：对于非零向量 a，b，作 OA /，OB =b，贝U把 EAOB - v(0 ： v 二)称为向量 a，b 的夹角.44n4当”0 时，a，b 同向；

6、当一二时，a，b 反向；当时，a，b 垂直.22. 平面向量的数量积：如果两个非零向量(，b，它们的夹角为 v，我们把数量|a|b|cos叫做 a 与 b 的数量积 (或内积或点积)，记作:a b，即a b =| a | | b | co.规定：零向量与任一向量的数量积是0.注：数量积是一个实数，不再是一个向量 T ._ _举例 4 (1) ABC中，|AB| -3，|AC|，| BC |-5，则AB BC1结果：-9c = 4kb，d-b，t与d的夹角为卫，则k =_.4七丿,r 弓(3)_已知 |引=2，|b|=5，ab3，贝U |a总 |_. 结果：23.(4) 已知a,b是两个非零向量

7、，且|a|b|#a -b|，则a与a亠b的夹角为3.向量 b 在向量 a 上的投影：|b|cos，它是一个实数，但不一定大于(2)已知a结果：1.Zb，贝U | a结果：30：.0.举例 5 已知a,ibs，且ab2，则向量a在向量b上的投影为_ .结果：12.54.a b 的几何意义：数量积 a b 等于 a 的模|a|与 b 在 a 上的投影的积.5.向量数量积的性质：设两个非零向量 a，b，其夹角为 则：(1)扌_6a b =0 ;2)当 a、b 同向时，a b a| |b|，特别地,申爲；# |2二诅|=扌；a 44j 4a b 4a | | b |是 a、b 同向的充要分条件；III

8、LIILI当 a、b 反向时，a b . .| a | | b |，a .| a | | b |是才、b 反向的充要分条件；当二为锐角时，a b .0，且 a、b 不同向，a b .0 是二为锐角的必要不充分条件； 当二为钝角时，a b：0，且旨、b 不反向；a b：0 是二为钝角的必要不充分条件. (3)非零向量才，b 夹角二的计算公式：COST=；b:；b 二a b) c:(a_b)2ar_2心|崗.|b2；一c a (b - c),(，a)b/.(a b) =a (/.b);(a b) = a* 讥b，(a b)c=acbc.若a b，则a或b；若a bb则a J; 筍2:学=?:畠b)

9、2J2b2:G _b)2_a2卫b -b2其中正确的是_结果：.说明：(1)向量运算和实数运算有类似的地方也有区别：对于一个向量等式，可以移项，两边平方、两边同乘以一个实数，两边同时取模，两边同乘以一个 向量，但不能两边同除以一个向量，即两边不能约去一个向量，切记两向量不能相除(相约)；(2)向量的“乘法”不满足结合律，即a (b右=(a b) c，为什么？八、向量平行(共线)的充要条件2 2a/b a F = (a b) (| a | b |)X1y2y1X2=0.14 (1)举例若向量a jxi),b二4,x)，当x _时，a与b共线且方向相同(2)已知a -(1,1)，b _(4,x)，

10、u _a 2b，V -2 b，且u /v，则(3)九、 向量垂直勺a _b：=设PA =k,12)，PB丄4,5)要条件b = 0| a1b | 斗 a b |=为 X2y y 0 .，PC =(10,k)，贝U -时，A,B,C共线.结果：2.结果：4.结果：2或 11.AB.AC特别地-AC _乂AB| |AC|丿|JAB| |AC|丿15 (1)已知OA 4,2),OB丄3,m)，若3AOB，则以原点O和A(4,2)为两个顶点作等腰直角三角形OAB，. B丿0，则点B举例结果:(2)3m .;2的坐标是_结果：(1,3) 或( 3, 1);(3)已知n 4a,b)向量n |m，且| n|

11、 J：m|，则m-的坐标是十、线段的定比分点P是直线 PP2上异于 P、F2的任意一点，若存在一个实数人，使PP =hPP2，则实数 X 叫做点P九的定比分点.结果：(b, _a)或(_b,a).1.定义：设点分有向线段RF2所成的比，P点叫做有向线段P1P2的以定比为2.的符号与分点斗勺位置之间的关系(1)P内分线段PP2，即点P在线段 RP2上二X0 ;(2)P外分线段PP2时，点P在线段PP2的延长线上二 一 1：: ：: 0.注：若点P分有向线段 萌所成的比为，则点P分有向线段举例 16若点P分AB所成的比为3，则A分BP所成的比为43. 线段的定比分点坐标公式：结果:二丸，点P在线段

12、 PP2的反向延长线上P2p所成的比为舟.x X2x =设 P(X1,yJ，卩2区，丫2)，点 P(x,y)分有向线段PP，所成的比为人，则定比分点坐标公式为(y二L1+人1 (2-1).1y2特别地，当九=1 时，就得到线段 pp2的中点坐标公式 2y=X1X2X,2% +y2说明：(1)在使用定比分点的坐标公式时，应明确(x,y)，(x,%)、(X2,yj的意义，即分别为分点，起点，终点的坐标(2)在具体计算时应根据题设条件，灵活地确定起点，分点和终点，并根据这些点确定对应的定比举例17(1)若M (3, 2)，N (6, 4)，且MP =-MN，则点P的坐标为3结果:(V);已知A(a,

13、0)，B(3,2 a)，直线y Jax与线段AB交于M，且AM =2MB，则a =2 -结果：2或-4.卜一、平移公式2.(2)如果点 P（x,y）按向量=（h,k）平移至 P（x, y ），贝U；曲线 f（x,y）=o 按向量=（h,k）平移得曲线y=y + kf （xh, y _k） =0.说明：（1）函数按向量平移与平常“左加右减”有何联系？ （2）向量平移具有坐标不变性，可别忘了啊！举例 18 （ 1）按向量a把（2,卫）平移到（1,_2），则按向量a把点（_7,2）平移到点. 结果：（_8,3）；（2）函数y仝in2x的图象按向量呀平移后，所得函数的解析式是yos2x，则a二_. 结

14、果：（,1）.4十二、向量中一些常用的结论1. 一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量，要注意运用；2. 模的性质：乜；bMa| |b |.（1）右边等号成立条件：a、b 同向或 a、b 中有 0bHai ibi；（2）左边等号成立条件:ab 反向或 a b 中有 0：=悟_,由| ibi；（3）当 a b 不共线二崗_血|：+冷扌|+|1?|.3. 三角形重心公式5.二角形“二心”的向量表示心.6.点P分有向线段P P,所成的比九向量形式_I1设点P分有向线段RF2所成的比为 若M为平面内的任一点，贝 U MP =1+人話的中点二 MP.MPJP27.向量PA,PB,PC中三终点 A,B,C 共线=存在实数:,举例 20 平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点A（3,1），B（,3），若点C满足 6C= .QA2OB,其中2三R且32=1,则点C的轨迹是结果：直线在 ABC 中，若 A（N,yJ， B（x2, y2）， C（x3,y3），则其重心的坐标为